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2020年九年级数学单元检测题
第3章：垂径定理
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于（ ）
A．3mm
B．4mm
C．5mm
D．8mm
2．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（ ）
A．8
B．10
C．
D．
3．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M．若AB=12，OM∶MD=5∶8，则⊙O的周长为 ( )
A．26π
B．13π
C．
D．10π
4．如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为(
)
A．10cm
B．16
cm
C．24
cm
D．26cm
5．如图，在⊙O中，若点C是
的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
6．如图，因为⊙O的直径CD过弦EF的中点G，弦EF不是直径，所以CD⊥EF，根据是（ ）
A．垂直于弦的直径平分这条线
B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦
D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角也相等
7．如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（ ）
A．（-5，-6）
B．（4，-6）
C．（-6，-4）
D．（-4，-6）
8．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为（ ）
A．2
B．8
C．
D．2
9．如下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为
A．
B．
C．
D．
10．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ＝7，AC+BC＝26，则AB的长是（ ）
A．17
B．18
C．19
D．20
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．若是的直径，是弦，于点，若，则____．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是_____．13．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为4cm，则经过P点的最短弦长为_________；过P点的最长弦长为_______．
14．如图，⊙O的直径CD与弦AB交于点M，添加条件：
_______________得到M是AB的中点．
15．如图，是⊙的一条弦，⊥于点，交⊙于点，连接.
如果，，那么⊙的半径为_________．
16．如图，在⊙O中，C是弦AB上一点，AC＝2，CB＝4．连接OC，过点C作DC⊥OC，与⊙O交于点D，DC的长为_____．
三、解答题（共52分）
17．（本题6分）已知：在中，AB＝AC．
（1）求作：的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若的外接圆的圆心O到BC边的距离为8，BC＝12，则求出⊙O的面积．
18．（本题6分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，BE＝CD＝16，试求⊙O的半径．
19．（本题6分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？“其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深DE=1寸，锯道长AB=10寸，问这块圆形木材的直径是多少？”
20．（本题6分）如图，点A，D，B，C在⊙O上，AB⊥BC，DE⊥AB于点E．若BC=3，AE=DE=1，求⊙O半径的长．
21．（本题8分）如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2
m，拱高CD为2.4
m.
(1)求拱桥的半径；
(2)现有一艘宽3
m，船舱顶部为长方形并高出水面2
m的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？
22．（本题10分）如图，在中，AB是直径，P为AB上一点，过点P作弦MN，°.
(1)若AP=2，BP=6，求MN的长.
(2)若MP=3
;NP=5，求AB的长
23．（本题10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为的与x轴交于、两点，且点C在x轴的上方．
（1）求圆心C的坐标；
（2）已知一个二次函数的图像经过点、B、C，求这二次函数的解析式；
（3）设点P在y轴上，点M在（2）的二次函数图象上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点M的坐标.
第1题图
第2题图
第3题图
第4题图
第5题图
第6题图
第7题图
第8题图
第9题图
第10题图
第11题图
第12题图
第14题图
第15题图
第16题图
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答案或解析
1．C
2．D
3．B
4．C
5．A
6．C
7．D
8．D
【详解】
解：连结BE，设⊙O的半径为R，∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣2，∵OC2+AC2＝OA2，
∴（R﹣2）2+42＝R2，解得R＝5，∴OC＝5﹣2＝3，∴BE＝2OC＝6，
∵AE为直径，∴∠ABE＝90°，在Rt△BCE中，CE＝．
9．C
【解析】
如图，过C作CM⊥AB，交AB于点M，
由垂径定理可得M为AD的中点，∵，且AC=3，BC=4，AB=5，
∴．在Rt△ACM中，根据勾股定理得：，
∴（舍去负值）．∴．故选C．
10．C
连接OP，OQ，分别交AC，BC于H，I，
∵M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q，
∴OP⊥AC，OQ⊥BC，由对称性可知：H，P，M三点共线，I，Q，N三点共线，
∴H、I是AC、BC的中点，∴OH+OI＝（AC+BC）＝13，
∵MH+NI＝AC+BC＝13，MP+NQ＝7，∴PH+QI＝13﹣7＝6，
∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝13+6＝19，
11．6
12．（2，1）
13．cm
8cm
14．CD⊥AB（答案不唯一）．
15．5
16．.
延长DC交⊙O于点E．
∵OC⊥DE，
∴DC＝CE，
∵AC?CB＝DC?CE（相交弦定理，可以证明△ADC∽△EBC得到），
∴DC2＝2×4＝8，
∵DC＞0，
∴DC＝2，
故答案为2．
17．（1）见解析；（2）100π．
【详解】
解：（1）如图，⊙O即为所画的图形．
（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E．
由题意得：OE＝8，BE＝EC＝6，
在Rt中，OB＝＝10，
∴
18．10
【详解】
解：连接OD，设OB＝OD＝R，则OE＝16﹣R，
∵直径AB⊥CD，CD＝16，
∴∠OED＝90°，DE＝CD＝8，
由勾股定理得：OD2＝OE2+DE2
则R2＝（16﹣R）2+82
解得：R＝10，
∴⊙O的半径为10．
CD=26寸．
【详解】
解：连接OA，
∵AB⊥CD，且AB=10，
∴AE=BE=AB
=5（寸），
设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x
∵DE=1，
∴OE=x-1，
在Rt△AOE
中，根据勾股定理得：OA2-OE2=AE2
，
解得：x=13
所以CD=26（寸）．
故答案为：CD=26寸．
20．⊙O半径的长
【详解】
如图，连接AD，AC，连接CD与AB交于点F，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°．
∴AC为直径．
∴∠ADC=90°．
∵AE=DE，DE⊥AB，
∴∠DAB=∠ADE=45°．
∴∠BCF=∠DAB=45°．
∴BC=BF=3．
在△ADF中，∠DAB=∠AFD=45°，
∴EF=ED=1．
∴AB=5．
∴．
∴⊙O半径的长．
21．
解：(1)连接OB.
∵OC⊥AB，∴D为AB的中点．
∴BD＝AB＝3.6(m).
设OB＝OC＝r，则OD＝(r－2.4)m.
在Rt△BOD中，OB2=OD2+BD2，即r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9.
∴拱桥的半径为3.9
m.
(2)作出拱桥下的矩形，交拱桥于M，N，交CD于E，连接ON.
∵CD＝2.4
m，DE=2
m，
∴CE＝CD－DE＝0.4(m)．
∴OE＝OC－CE＝3.9－0.4＝3.5(m)．
在Rt△OEN中，EN＝＝＝(m2)，
∵OD⊥MN，
∴MN＝2EN＝2×≈3.44
m＞3
m.
∴此货船能顺利通过拱桥．
22．
【详解】
解：(1)如图，过点O作OH⊥MN于点H，连接ON，
则MN=2HN，
∵AB是的直径，AP=2，BP=6，
∴的半径=
∴OP=4-AP=4-2=2，
∵∠NPB=45
°，
∴是等腰直角三角形，
∴OH=，
在Rt△OHN中，
∴MN=
2HN
=2
(2)
∵
OH⊥MN，
∴MH=
NH=，
∴PH=HM-PM=4-3=1，
在中，∠NPB=45°.
∴OH=PH=1，
在中，
∴
23．
【详解】
（1）连接AC，过点C作CH⊥AB，垂直为H，
由垂径定理得：AH=AB=2，
则OH=1，
由勾股定理得：CH=4．
又点C在x轴的上方，
∴点C的坐标为（1，4）．
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
由题意，得，解这个方程组，得，
∴这二次函数的解析式为y=-x2+2x+3．
（3）①当四边形APBM是平行四边形时，过点M作MK⊥x轴，
∴PA=BM，∠AOP=∠BKM=90°，∠OAP=∠KBM，
∴△AOP≌△BKM，则BK=OA=1，则点M的横坐标为2，
∴y=-4+4+3=3，
∴此时点M的坐标为（2，3）；
②∵当PM∥AB，PM=AB时，四边形APMB是平行四边形，
则设M的坐标为（4，y），则可得y=-16+8+3=-5，
则此时点M的坐标为（4，-5）；
③当四边形ABPM是平行四边形时，
设点M的坐标为（-4，y），
则可得y=-16-8+3=-21，
则此时点M的坐标为（-4，-21）．
∴点M的坐标为（2，3）或（4，-5）或（-4，-21）．
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