初中数学浙教版九年级上册3.3垂径定理同步练习（Word版 含解析）

初中数学浙教版九年级上册第三章3.3同步练习
一、选择题
如图，在中，直径，垂足为C，则下列结论错误的是?
?
?
A.
B.
C.
D.
如图，在中，AB为弦，，垂足为若，，则弦AB的长为?
?
?
A.
10
B.
8
C.
6
D.
4
已知的直径，弦于点E，且，则AE的长为
A.
12
B.
8
C.
12或28
D.
8或32
如图，已知在同心圆O中，大圆的弦AB交小圆于C，D，若，，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为
A.
B.
C.
D.
如图，圆弧形桥拱的跨度，拱高，则拱桥的半径为
A.
B.
9m
C.
13m
D.
15m
如图，在中，AB是弦，，垂足为C，若，，则的半径OA等于?
?
?
A.
16
B.
12
C.
10
D.
8
如图所示，AB为的直径，弦于点E，若，，则CD等于
A.
5
B.
8
C.
D.
如图所示，已知的半径为10，弦，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是
A.
5
B.
7
C.
9
D.
11
一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽，最深处水深，则此输水管道横截面的直径是
A.
B.
1m
C.
2m
D.
4m
一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O为圆心，5为半径的圆的一部分，M是中弦CD的中点，EM经过圆心O交于点若，则隧道的高的长为
A.
4
B.
6
C.
8
D.
9
二、填空题
半径为5的内有一点P，且，则过点P的最长的弦长是??????????，最短的弦长是??????????．
如图，的半径，设，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为??????????cm．
已知的半径为5，弦，，，则四边形ABDC的面积为??????????．
若点P是半径为5的内一点，且，在过点P的所有的弦中，弦长为整数的弦有??????????条
如图是一个水平放置的圆柱形水管的横截面，已知水面高，水面宽AB为48cm，那么水管横截面圆的半径是??????????cm．
三、解答题
如图，经过原点，平行于y轴的直线交圆于B，C两点已知点B的坐标是，求A和C的坐标．
如图，为等腰三角形，底边CD交于A，B两点，求证：．
如图，M为内一点，请你利用直尺和圆规作一条弦AB，使得M为AB的中点不写作法，保留作图痕迹．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查的是对垂径定理的记忆与理解，掌握垂径定理内容即：垂直于弦的直径，平分弦，且平分弦所对的劣弧，平分弦所对的优弧并能够灵活运用是解题关键．
【解答】
解：根据MN为的直径，且，垂足为C，
则MN是垂直于弦AB的直径，满足垂径定理．因而：
A.是垂径定理的结论，该选项正确；
B.是垂径定理的结论，该选项正确；
C.是垂径定理的结论，该选项正确；
D.不是垂径定理的结论，该选项错误．
故选：D．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查的是勾股定理及垂径定理的应用．
在中，根据勾股定理易求得AC的长；由垂径定理知，由此可求得AB的值．
【解答】
解：中，，，
根据勾股定理，得，
所以，
故选B．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确理解应分两种情况讨论是解题关键．在直角中，利用勾股定理即可求得OE的长，则或，据此即可求解．
【解答】
解：如图，连接OC，
弦于点E
，
在直角中，，
则，
或，
故AE的长是8或32．
故选D．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查垂径定理，勾股定理，首先过O作于E，连接OC，OA，则OA为大圆半径，OC为小圆半径，而弦心距OE等于1，根据垂径定理结合AB，CD的长可知，，分别用勾股定理求出中OA的长度，再求出中OC的长度，进而可求出本题结果．
【解答】
解：过O作于E，连接OC，OA，如图：
的弦心距等于1
，
在中，
在中，
即两个同心圆的半径之比为：
故选C．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理的性质，能够运用到实际生活当中．由圆弧先假设一圆心，跨度为已知量，设圆心半径为R，桥拱高，则可利用勾股定理在中求解．
【解答】
解：设圆心为O，圆心半径为R，连接AO、OD，
由题中已知条件可得，
，，，
，
，
，
故选A．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题是垂径定理和勾股定理的运用，属简单题目．本题用垂径定理和勾股定理即可解答．
【解答】
解：如图，连接OA．
在中，AB是弦，，垂足为C，，，
．
在中，，，
，
故选C．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
连接OD，先根据垂径定理得出，再由，求出的半径，根据勾股定理求出DE的长，进而可得出结论．
【解答】
解：连接OD，
为的直径，弦于点E，
．
，，
的半径，
，
在中，
，，
，
．
故选B．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了垂径定理解决与弦有关的问题，一般是构造直角三角形，利用勾股定理解题由题意知，OM的最大值是10，弦AB的弦心距是OM的最小值，利用垂径定理和勾股定理，可求出OM的最小值为8，因而答案中只有9符合条件?
【解答】
解：过点O作，垂足为M，
，，
，
在中，，
所以．
故应选C．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
?本题考查的是垂径定理，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．根据题意知，已知弦长和弓形高，求半径直径，根据垂径定理和勾股定理求解即可．
【解答】
解：如图，设半径为r，过O作交AB于点D，连接OA、OB，则米，
设，则，
在中，
，即，
解得米，
故此输水管道的直径米．
故选B．
10.【答案】D
【解析】解：是弦CD的中点，
根据垂径定理：，
又则有：，
设OM是x米，
在中，有，
即：，
解得：，
所以．
故选D．
因为M是弦CD的中点，根据垂径定理，，则，在中，有，可求得OM，进而就可求得EM．
此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
11.【答案】10，6
【解析】
【分析】
本题结合勾股定理考查了垂径定理，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
过点P的最长弦就是直径，最短弦就是垂直于OP的弦，根据垂径定理和勾股定理可求得．
【解答】
解：
过点P的最长弦就是直径，，
最短弦就是垂直于OP的弦，
如图所示，于P，
，，
，
弦．
故答案为：10，6．
12.【答案】6
【解析】
【分析】
本题利用了垂线段最短和垂径定理及勾股定理求解．根据垂线段最短，可以得到当时，点P到圆心O的距离最短．根据垂径定理和勾股定理即可求解．
【解答】
解：根据垂线段最短知，
当点P运动到时，点P到到点O的距离最短，
由垂径定理知，此时点P为AB中点，，
由勾股定理得，此时，
故答案为6．
13.【答案】49或7
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
由于弦AB、CD的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：弦AB和CD在圆心同侧；弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【解答】
解：当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，
过点O作，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，
，
，
，，
，，
，
由勾股定理得：，，
则四边形ABDC的面积为：
当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，
过点O作于点E，反向延长OE交CD于点F，连接OA，OC，
同理可得，，，
，
则四边形ABDC的面积为：
则四边形ABDC的面积为7或49．
故答案为49或7．
14.【答案】4
【解析】
【分析】
此题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，勾股定理．由，则AB是过P的最短的弦，过P的最长的弦是圆的直径，首先根据垂径定理和勾股定理可以求出AB的长度，然后结合已知条件就可以求出弦长为整数的弦的条数．
【解答】
解：如图，
CD为过P点的直径，AB是与OP垂直的弦，连OA，
则过点P的所有的弦中CD最长，AB最短，并且，
，
，
在中
，，
，
，
过点P的弦中弦长可以为整数9，由圆的对称性得到弦长为9的弦有两条，
在过点P的所有的弦中，弦长为整数的弦的条数共有4条，
故答案为4．
15.【答案】26
【解析】
【分析】
本题主要考查了垂径定理和勾股定理，作出恰当的辅助线，利用定理是解答此题的关键．连接OA，根据垂径定理得，根据勾股定理即刻得到结论．
【解答】
解：连接OA，
，
，
在中，，
即，
，
水管横截面圆的半径是26cm，
故答案为26．
16.【答案】解：过A作于N，连接AB，
设的半径为R，则，
点B的坐标是，
，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
点的坐标是，，
，AO过圆心A，
，
即，
，
点的坐标是．
【解析】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，能求出半径AO的长是解此题的关键．根据勾股定理求出OA，求出BN，根据垂径定理求出，即可求出答案．
17.【答案】证明：过点O作，
，
，
又在中，
，
．
【解析】
【分析】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．
过点O作，由等腰三角形的性质可知，再由垂径定理可知AE，故可得出结论．
18.【答案】解：如图，弦AB即为所求．
【解析】作直线OM，过点M作直线交于A，B，弦AB即为所求．
本题考查垂径定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
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