浙教版数学八年级上册同步练习 2.3等腰三角形的性质(原卷版+ 答案版)

文档属性

名称 浙教版数学八年级上册同步练习 2.3等腰三角形的性质(原卷版+ 答案版)
格式 zip
文件大小 285.2KB
资源类型 教案
版本资源 浙教版
科目 数学
更新时间 2020-09-26 19:30:15

文档简介

1.等腰三角形的两个底角相等。
(简写成“等边对等角”)
2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合(简写成“等腰三角形的三线合一”)
3.等腰三角形的两底角的平分线相等。(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)
7.等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴
一、选择题
1.
如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD∥BC,若∠1=70°,则∠BAC的大小为(
B
)
A.
30°
B.
40°
C.
50°
D.
70°
2.
如图是人字形屋架的设计图,由AB,AC,BC,AD四根钢条焊接而成,其中A,B,C,D均为焊接点,且AB=AC,D为BC的中点.现在焊接所需的四根钢条已截好,且已标出BC的中点D.如果焊接工身边只有可检验直角的角尺,那么为了准确快速地焊接,他首先应取的两根钢条及焊接的点是(
C
)
A.
AC和BC,焊接点C
B.
AB和AC,焊接点A
C.
AD和BC,焊接点D
D.
AB和AD,焊接点A
3.
已知一足够长的钢架MAN,∠A=15°,现要在其内部焊上等长的钢条(相邻钢条首尾相接)来加固钢架,如图是已焊上的两根钢条B1C1和B1C2,且B1C1=B1C2=AC1.照此焊接下去,在该钢架内部最多能焊接钢条(
C
)
7根
B.
6根
C.
5根
D.
4根
【解】 如解图.
∵B1C1=AC1,∴∠1=∠A=15°,∴∠2=30°.∵C2B1=B1C1,∴∠3=∠2=30°,∴∠C1B1C2=120°,∴∠4=45°.易知∠6=∠7=60°,∠8=∠9=75°,∴∠B2C3B3=30°,∴∠C2C3B3=90°,∴∠B3C3M=90°.∴第6个三角形将有两个底角等于90°,不符合三角形内角和定理,故最多只能焊5根.
如图,有一
△ABC,今以
B为圆心,AB长为半径画弧,交
BC于
D点,以
C为圆心,AC长为半径画弧,交
BC于
E
点,若∠B=40°,∠C=36°,则关于AD,AE,BE,CD的大小关系正确的是

D

A.
AD=AE
B.
AD<AE
C.
BE=CD
D.
BE
<CD
5.
如图,在
△ABC
中,AB=AC,AD

∠BAC
的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是
E,F,则下列四个结论:①
AD上任意一点到点
C
的距离与到点
B
的距离相等②
AD
上任意一点到
AB
的距离与到
AC
的距离相等③
BD=CD,AD⊥BC

∠BDE=∠CDF其中,正确的个数是?(
D
)
A.
1

B.
2

C.
3

D.
4

6.
如图,△ABC内有一点D,且DA=DB=DC.若∠DAB=20°,∠DAC=30°,则∠BDC=(
A
)
A.
100°
B.
80°
C.
70°
D.
50°
二、填空题
1.
如图,在△ABC中,∠ABC=30°,∠ACB=50°,且D,E两点分别在BC,AB上.若AD为∠BAC的平分线,AD=AE,则∠AED=65°.
2.
如图,△ABC和△BDE都是等边三角形,则AE__=__CD(填“>”“<”或“=”).
3.
如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB.已知∠ADE=40°,则∠DBC=__15°__.
4.如图,在△ABC中,PM,QN分别是AB,AC的垂直平分线,∠BAC=110°,则∠PAQ=40°.
【解】 ∵PM垂直平分AB,∴PA=PB,∴∠PAB=∠B.
同理,∠QAC=∠C.
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=70°,
∴∠PAB+∠QAC=70°.
∴∠PAQ=∠BAC-(∠PAB+∠QAC)=110°-70°=40°.
5.在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线.若∠BAD=50°,则∠BAC=100°,∠ADC=90°.
6.如图,在△ABC中,∠ABC=30°,∠ACB=50°,且D,E两点分别在BC,AB上.若AD为∠BAC的平分线,AD=AE,则∠AED=65°.
三、计算题
1.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=50°.∠BAC的平分线与AB的中垂线相交于点O,点C沿EF折叠后与点O重合,求∠CEF的度数.
【解】连结BO.∵∠BAC=50°,∠BAC的平分线与AB的中垂线相交于点O,∴∠OBA=∠OAB=∠BAC=25°.∵AB=AC,∠BAC=50°,∴∠ABC=∠ACB=65°.∴∠OBC=65°-25°=40°.根据等腰三角形的对称性,得∠OCB=∠OBC=40°.∵点C沿EF折叠后与点O重合,∴EO=EC,∠CEF=∠OEF,∴∠EOC=∠ECO=40°,∴∠CEF=∠OEF==50°
2.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,BF⊥AC于点F,交AD于点E,∠BAC=45°.求证:△AEF≌△BCF.
【解】 过点F作FG⊥AB于点G.∵∠BAC=45°,BF⊥AF,∴∠ABF=45°.∵FG⊥AB,∴∠AGF=∠BGF=90°.在△AGF和△BGF中,∵
∴△AGF≌△BGF(AAS),∴AF=BF.∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC,∴∠EAF+∠C=90°.∵BF⊥AC,∴∠AFE=∠BFC=90°,∠CBF+∠C=90°,∴∠EAF=∠CBF.在△AEF和△BCF中,∵∴△AEF≌△BCF(ASA).
3.如图,在五边形ABCDE中,∠B=∠E,AB=AE,BC=ED,AM⊥CD,CM=3,求CD的长.
【解】 连结AC,AD.在△ABC和△AED中,∵∴△ABC≌△AED(SAS),
∴AC=AD.
又∵AM⊥CD,∴CM=DM,∴CD=2CM=6.
4.如图,在△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,分别以AB,AC为边作等边三角形ABE和等边三角形ACD,连结ED交AB于点F.求证:
(1)BC=AB.
(2)EF=DF.
【解】 (1)过点E作EG⊥AB于点G.
∵△ABE为等边三角形,
∴BG=AB,∠BEG=∠AEB=30°,BA=BE.
∵∠BCA=90°,∠BAC=30°,
∴∠BCA=∠BGE,∠BAC=∠BEG.
又∵BA=BE,∴△BCA≌△BGE(AAS),
∴BC=BG,∴BC=AB.
(2)∵△BCA≌△BGE,∴AC=EG.
∵△ACD为等边三角形,
∴∠CAD=60°,AC=AD.∴EG=DA.
∵∠BAC=30°,∴∠DAF=∠CAD+∠BAC=90°,∴∠EGF=∠DAF.
在△EGF和△DAF中,∵
∴△EGF≌△DAF(AAS),∴EF=DF.1.等腰三角形的两个底角相等。
(简写成“等边对等角”)
2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合(简写成“等腰三角形的三线合一”)
3.等腰三角形的两底角的平分线相等。(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)
7.等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴
一、选择题
1.
如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD∥BC,若∠1=70°,则∠BAC的大小为(
)
A.
30°
B.
40°
C.
50°
D.
70°
2.
如图是人字形屋架的设计图,由AB,AC,BC,AD四根钢条焊接而成,其中A,B,C,D均为焊接点,且AB=AC,D为BC的中点.现在焊接所需的四根钢条已截好,且已标出BC的中点D.如果焊接工身边只有可检验直角的角尺,那么为了准确快速地焊接,他首先应取的两根钢条及焊接的点是(
)
A.
AC和BC,焊接点C
B.
AB和AC,焊接点A
C.
AD和BC,焊接点D
D.
AB和AD,焊接点A
3.
已知一足够长的钢架MAN,∠A=15°,现要在其内部焊上等长的钢条(相邻钢条首尾相接)来加固钢架,如图是已焊上的两根钢条B1C1和B1C2,且B1C1=B1C2=AC1.照此焊接下去,在该钢架内部最多能焊接钢条(
)
7根
B.
6根
C.
5根
D.
4根
4.如图,有一
△ABC,今以
B为圆心,AB长为半径画弧,交
BC于
D点,以
C为圆心,AC长为半径画弧,交
BC于
E
点,若∠B=40°,∠C=36°,则关于AD,AE,BE,CD的大小关系正确的是


A.
AD=AE
B.
AD<AE
C.
BE=CD
D.
BE
<CD
5.
如图,在
△ABC
中,AB=AC,AD

∠BAC
的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是
E,F,则下列四个结论:①
AD上任意一点到点
C
的距离与到点
B
的距离相等②
AD
上任意一点到
AB
的距离与到
AC
的距离相等③
BD=CD,AD⊥BC

∠BDE=∠CDF其中,正确的个数是?(
)
A.
1

B.
2

C.
3

D.
4

6.
如图,△ABC内有一点D,且DA=DB=DC.若∠DAB=20°,∠DAC=30°,则∠BDC=(
)
A.
100°
B.
80°
C.
70°
D.
50°
二、填空题
1.
如图,在△ABC中,∠ABC=30°,∠ACB=50°,且D,E两点分别在BC,AB上.若AD为∠BAC的平分线,AD=AE,则∠AED=

2.
如图,△ABC和△BDE都是等边三角形,则AE____CD(填“>”“<”或“=”).
3.
如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB.已知∠ADE=40°,则∠DBC=__
__.
4.如图,在△ABC中,PM,QN分别是AB,AC的垂直平分线,∠BAC=110°,则∠PAQ=

5.在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线.若∠BAD=50°,则∠BAC=100°,∠ADC=

6.如图,在△ABC中,∠ABC=30°,∠ACB=50°,且D,E两点分别在BC,AB上.若AD为∠BAC的平分线,AD=AE,则∠AED=

三、计算题
1.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=50°.∠BAC的平分线与AB的中垂线相交于点O,点C沿EF折叠后与点O重合,求∠CEF的度数.
2.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,BF⊥AC于点F,交AD于点E,∠BAC=45°.求证:△AEF≌△BCF.
3.如图,在五边形ABCDE中,∠B=∠E,AB=AE,BC=ED,AM⊥CD,CM=3,求CD的长.
4.如图,在△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,分别以AB,AC为边作等边三角形ABE和等边三角形ACD,连结ED交AB于点F.求证:
(1)BC=AB.
(2)EF=DF.