1.等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，简单地说；在同一个三角形中，等角对等到边。
2.等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
一、选择题
1.由下列条件可以作出等腰三角形的是（ D ）
A．已知等腰三角形的两腰
B．已知一腰和一腰上的高
C．已知底角的度数和顶角的度数
D．已知底边长和底边上的中线的长
2.如图，若AB=AC，BG=BH，AK=KG，则∠BAC的度数为（ C
）
A．30°
B．32°
C．36°
D．40°
如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD.若AC＝5，
BC＝3，则BD的长为(
A
)
A.
1
B.
1.5
C.
2
D.
2.5
【解】 延长BD交AC于点E.∵∠A＝∠ABD，∴BE＝AE.∵CD⊥BD，CD平分∠ACB，BC＝3，∴EC＝BC＝3，BD＝DE.又∵AC＝5，∴AE＝2.∴BE＝2.∴BD＝1.
4．Rt△ABC中，斜边BC=2，则AB2+AC2+BC2的值为（ C ）
A．4???
??
??????
B．6??
???
????C．8???
????
D．无法计算
5．如图，E是等边三角形ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是(
B
)
A．一般等腰三角形
B．等边三角形
C．不等边三角形
D．不能确定形状
【解】 ∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°．又∵∠1＝∠2，BE＝CD，∴△ABE≌△ACD(SAS)．∴AE＝AD，∠CAD＝∠BAE＝60°．∴△ADE是等边三角形．
如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有(
C
)
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个
二、填空题
1.
如图①，△ABD，△CBD是两个边长均为1的等边三角形，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图②，则阴影部分的周长为__2__．
2．如图，已知OA＝5，P是射线ON上的一个动点，∠AON＝60°．当OP＝__5__时，△AOP为等边三角形．
3.如图，D、E分别是等边三角形ABC的两边AB、AC上的点，且AD=CE，BE，DC相交于点P，则∠BPD的度数为 60° ．
4.如图，正方形ABCD中，AB=30，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G．连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=15；③△CFG是正三角形；④△FGC的面积为90．其中正确的是 ①②④ （填所有正确答案的序号）．
5．如图，两块完全一样的含30°角的直角三角尺重叠在一起，若绕长直角边AC的中点M转动，使上面一块直角三角尺的斜边A′B′刚好过下面一块直角三角尺的直角顶点C.若∠A＝30°，AC＝10，则此时两直角顶点C，C′间的距离是__5__．
【解】 连结C′C.∵M是AC的中点，AC＝10，△ABC，△A′B′C′是两块完全一样的含30°角的直角三角尺，∴AM＝CM＝A′M＝C′M＝5，∴∠A′CM＝∠A′＝30°，∴∠C′MC＝60°，∴等腰三角形MCC′是等边三角形，∴C′C＝CM＝5.
三、解答题
1.
如图，一艘轮船在近海处由南向北航行，点C是灯塔，轮船在A处测得灯塔在其北偏西38°的方向上，轮船又从A处向北航行30海里到B处，测得灯塔在其北偏西76°的方向上．
(1)求∠ACB的度数；
(2)轮船在B处时，到灯塔C的距离是多少？
解：(1)∠ACB＝∠NBC－∠NAC＝76°－38°＝38°
(2)∵∠ACB＝∠NAC＝38°，∴AB＝BC＝30海里，即轮船在B处时，到灯塔C的距离是30海里
2．如图，已知△ABC为等边三角形，延长BA至点E，延长BC至点D，并使AE＝BD，连结CE，DE.求证：△ECD为等腰三角形．
【解】 过点E作EF∥AC交BD的延长线于点F.∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°.∵AC∥EF，∴∠F＝∠ACB＝60°，
∴∠BEF＝180°－∠B－∠F＝60°，
∴∠B＝∠F＝∠BEF，∴△BEF为等边三角形，∴BE＝BF＝FE.∵AE＝BD，
∴BE－AE＝BF－BD，即AB＝FD.
∴BC＝FD.
在△EBC和△EFD中，∵∴△EBC≌△EFD(SAS)，
∴EC＝ED，∴△ECD为等腰三角形．
3.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AD⊥CF；
（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．
【解】（1）证明：在等腰直角三角形ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°．
又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°．∴∠BDE=45°．又∵BF∥AC，∴∠CBF=90°．
∴∠BFD=45°=∠BDE．∴BF=DB．又∵D为BC的中点，∴CD=DB．即BF=CD．
在△CBF和△ACD中，，∴△CBF≌△ACD（SAS）．
∴∠BCF=∠CAD．又∵∠BCF+∠GCA=90°，∴∠CAD+∠GCA=90°．即AD⊥CF．
△ACF是等腰三角形，理由为：连接AF，如图所示，由（1）知：△CBF≌△ACD
∴CF=AD，∵△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，
∴BE垂直平分DF，∴AF=AD，∵CF=AD，∴CF=AF，
∴△ACF是等腰三角形
4．△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动(与A，C不重合)，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q与B不重合)，过P作PE⊥AB于E，连结PQ交AB于D．
(1)当∠BQD＝30°时，求AP的长；
(2)当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
解：(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB＝60°，
∵∠BQD＝30°，∴∠QPC＝90°，设AP＝x，则PC＝6－x，QB＝x，
∴QC＝QB＋BC＝6＋x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，∴PC＝QC，即6－x＝(6＋x)，
解得x＝2，∴AP＝2；
当点P，Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
作QF⊥AB，交直线AB于点F，连结QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，∵点P，Q速度相同，∴AP＝BQ，
∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°，
在△APE和△BQF中，∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，∴△APE≌△BQF(AAS)，
∴QF＝PE，BF＝AE，
在△QFD和△PED中，∵∠QFD＝∠PED＝90°，∵∠QFD＝∠PDE，QF＝PE，
∴△QFD≌△PED，∴FD＝DE．
∵BD＋DE＋AE＝6，又∵AE＝BF，∴BD＋DE＋BF＝6，即DE＋DF＝6，
∴DE＝DF＝3．1.等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，简单地说；在同一个三角形中，等角对等到边。
2.等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
一、选择题
1.由下列条件可以作出等腰三角形的是（ ）
A．已知等腰三角形的两腰
B．已知一腰和一腰上的高
C．已知底角的度数和顶角的度数
D．已知底边长和底边上的中线的长
2.如图，若AB=AC，BG=BH，AK=KG，则∠BAC的度数为（
）
A．30°
B．32°
C．36°
D．40°
如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD.若AC＝5，
BC＝3，则BD的长为(
)
A.
1
B.
1.5
C.
2
D.
2.5
4．Rt△ABC中，斜边BC=2，则AB2+AC2+BC2的值为（ ）
A．4???
??
??????
B．6??
???
????C．8???
????
D．无法计算
5．如图，E是等边三角形ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是(
)
A．一般等腰三角形
B．等边三角形
C．不等边三角形
D．不能确定形状
6.
如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有(
)
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个
二、填空题
1.
如图①，△ABD，△CBD是两个边长均为1的等边三角形，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图②，则阴影部分的周长为__
__．
2．如图，已知OA＝5，P是射线ON上的一个动点，∠AON＝60°．当OP＝__
__时，△AOP为等边三角形．
3.如图，D、E分别是等边三角形ABC的两边AB、AC上的点，且AD=CE，BE，DC相交于点P，则∠BPD的度数为
．
4.如图，正方形ABCD中，AB=30，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G．连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=15；③△CFG是正三角形；④△FGC的面积为90．其中正确的是
（填所有正确答案的序号）．
5．如图，两块完全一样的含30°角的直角三角尺重叠在一起，若绕长直角边AC的中点M转动，使上面一块直角三角尺的斜边A′B′刚好过下面一块直角三角尺的直角顶点C.若∠A＝30°，AC＝10，则此时两直角顶点C，C′间的距离是____．
三、解答题
1.
如图，一艘轮船在近海处由南向北航行，点C是灯塔，轮船在A处测得灯塔在其北偏西38°的方向上，轮船又从A处向北航行30海里到B处，测得灯塔在其北偏西76°的方向上．
(1)求∠ACB的度数；
(2)轮船在B处时，到灯塔C的距离是多少？
2．如图，已知△ABC为等边三角形，延长BA至点E，延长BC至点D，并使AE＝BD，连结CE，DE.求证：△ECD为等腰三角形．
3.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AD⊥CF；
（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．
4．△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动(与A，C不重合)，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q与B不重合)，过P作PE⊥AB于E，连结PQ交AB于D．
(1)当∠BQD＝30°时，求AP的长；
(2)当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
