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2020年九年级数学单元检测
3.3~3.4圆心角、圆周角
一、单选题
1．如图，点A，B，C都在⊙O上，∠ABC＝70°，则∠AOC的度数是（ ）
A．35°
B．70°
C．110°
D．140°
2．如图，在⊙O中，A，B，P为上的点，，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，点A，B，D，C是圆O上的四个点，连接AB，CD并延长，相交于点E，若∠BOD＝20°，∠AOC＝90°，求∠E的度数．（ ）
A．30°
B．35°
C．45°
D．55°
4．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若AD=8，∠B=30°，则AC的长度为（）
A．3
B．4
C．4
D．
5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（ ）
A．2
B．﹣1
C．
D．4
6．如图，扇形中，，半径是的中点，，交于点，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图，MN是的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点若，则的最小值是
A．
B．
C．1
D．2
8．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，弧线两两交于M、N两点，作直线MN，与边AC、BC分别交于D、E两点，连接BD、AE，若∠BAC=90°，在下列说法中：
①E为△ABC外接圆的圆心；
②图中有4个等腰三角形；
③△ABE是等边三角形；
④当∠C=30°时，BD垂直且平分AE．
其中正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．如图，点A，B，C，D在⊙O上，弦AD的延长线与弦BC的延长线相交于点E．用①AB是⊙O的直径，②CB＝CE，③AB＝AE中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，则组成真命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
10．如图，已知正方形的边长为，点为正方形的中心，点为边上一动点，直线交于点，过点作，垂足为点，连接，则的最小值为（
）
A．2
B．
C．
D．
二、填空题（每小题4分,共24分）
11．如图，在⊙O中，，若∠AOB＝40°，则∠COD＝____．
12．如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，则∠D=
度．
13．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC＝60°，则∠BAC=__．
14．如图，梯形ABCD内接于圆O,AB∥CD,AB为直径，DO平分∠ADC,则∠DAO的度数是_____.
15．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为______.
16．如图，点A是直线y＝﹣x上的动点，点B是x轴上的动点，若AB＝2，则△AOB面积的最大值为_____．
三、解答题（共66分）
17．(本题6分)如图，已知⊙O的弦AB，E，F是弧AB上两点，弧AE=弧BF，OE、OF分别交于AB于C、D两点，求证：AC=BD．
18．(本题6分)如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝120°，延长BO交⊙O于点D．
(1)试求∠BAD的度数；
(2)求证：△ABC为等边三角形．
19．(本题6分)如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB．
求证：．
20．(本题8分)如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是劣弧的中点．
（1）试判断四边形OACB的形状，并说明理由；
（2）延长OA至P，使得AP=OA，连接PC，若PC为，求BC长．
21．(本题8分)如图，在直角中，∠
C=90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．
若∠A=25°，求弧DE的度数；
若BC=2,AC=6，求BD的长．
22．(本题10分)如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
23．(本题10分)如图，BC是半⊙O的直径，点P是半圆弧的中点，点A是弧BP的中点，AD⊥BC于D，连结AB、PB、AC，BP分别与AD、AC相交于点E、F．
（1）求证：AE=BE；
（2）判断BE与EF是否相等吗，并说明理由；
（3）小李通过操作发现CF=2AB，请问小李的发现是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出CF与AB正确的关系式．
24．(本题12分)已知如图，抛物线y＝x2+mx+n的顶点为（1，﹣），其图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）点P在抛物线的对称轴上，当∠APC＝∠BAC时，求点P的坐标；
（3）点M为线段AC的中点，点N是线段AB上的动点，在△ABC绕点C按逆时针方向旋转的过程中，点N的对应点是点N′，直接写出线段MN′长度的最大值和最小值．
第1题图
第2题图
第3题图
第4题图
第5题图
第6题图
第7题图
第8题图
第9题图
第10题图
第11题图
第12题图
第13题图
第14题图
第15题图
第16题图
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答案或解析
1．D
2．B
3．B
4．B
5．A
6．D
7．D
8．B
9．D
10．D
【详解】
解：连接OD，AC，
由题意可知，在正方形中，OD⊥AC，
∵在△ODE中OD的长为定值，∠OED始终为90°，
∴点E在以OD中点F为圆心，OD为直径的圆上，
连接EF，CE，当点C、E、F三点在同一直线上时，CE取最小值，
∵正方形的边长为，点O为正方形中心，
∴，
∴，
∴在Rt△ABC中，，
∴CE的最小值为
故选：D．
11．40°
12．35．
13．30°
14．60
15．3
16．+1
【详解】
解：如图所示，作△AOB的外接圆⊙C，连接CB，CA，CO，过C作CD⊥AB于D，则CA＝CB，
由题意可得∠AOB＝45°，∴∠ACB＝90°，
∴CD＝AB＝1，AC＝BC＝＝CO，
连接OD，则OD≤OC+CD，
∴当O，C，D在同一直线上时，OD的最大值为OC+CD＝+1，此时OD⊥AB，
∴△AOB的面积最大值为AB×OD＝×2（+1）＝+1，
当点A在第二象限内，点B在x轴正半轴上时，同理可得，△AOB面积的最大值为﹣1．
当点B在x轴负半轴的时，根据对称性可得：△AOB的面积最大值为+1.
故答案为：+1．
17．
【详解】
连接OA、OB，
∵OA=OB，
∴∠A=∠B，
∵=，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD．
18．(1)∠BAD＝90°；(2)证明见解析.
【详解】(1)解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°.
(2)证明：∵∠BOC＝120°，
∴∠BAC＝∠BOC＝60°.
又∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
19．
【详解】
如图，连接OE、CE
∵
∴
又∵D是OC中点
∴DE是OC的垂直平分线
∴
∴是等边三角形
∴
∴
∴．
20．
【详解】
解：（1）四边形OACB是菱形．
理由：连接OC，
∵∠AOB=120°，C是劣弧的中点，
∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，
∵OA=OC=OB，
∴△AOC与△BOC都是等边三角形，
∴AC=OA=OC=OB=BC，
∴四边形OACB是菱形．
（2）∵AP=OA，AC=OA，
∴AP=AC，
∴∠P=∠ACP=∠OAC=30°，
∴∠OCP=90°，
设圆O的半径为x，则OC=x，OP=2x
∴，
∴x=3
∵四边形OACB是菱形．
∴BC=3
21．(1)40°（2）
【详解】
解：（1）连接CD，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，
∴∠B=65°，
∵BC=CD,
∴∠BDC=65°,
∴∠BCD=50°，
∴弧DE的度数是90°-50°=40°；
（2）作CH⊥BD，如图，则BH=DH，
在Rt△ACB中，AB===，
∵
CH?AB=BC?AC，
∴CH==，
在Rt△BCH中，BH==，
∴BD=2BH=.
22．解：（1）∵是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OD∥BC，，
∴∠AEO=90°，∠AOD=∠B=70°，
∴，
连接OC，如图，则∠AOD=∠COD=70°，
∴∠CAD=∠COD=35°；
（2）在Rt△ABC中，∵，，
∴，
∵OD⊥AC，∴AE=CE，
又∵AO=BO，
∴．
23．（1）如图1，连接AP，
∵BC是半⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=90°，
∴∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ACB=∠BAD，
∵点A是弧BP的中点，
∴∠P=∠ACB=∠ABP，
∴∠ABE=∠BAE，
∴AE=BE；
（2）BE=EF，
理由是：∵BC是直径，AD⊥BC，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
∴∠BAD=∠ACB，
∵A为弧BP中点，
∴∠ABP=∠ACB，
∴∠BAD=∠ABP，
∴BE=AE，∠FAD=∠AFB，
∴EF=AE，
∴BE=EF；
（3）小李的发现是正确的，
理由是：如图2，延长BA、CP，两线交于G，
∵P为半圆弧的中点，A是弧BP的中点，
∴∠PCF=∠GBP，∠CPF=∠BPG=90°，BP=PC，
在△PCF和△PBG中，
，
∴△PCF≌△PBG（ASA），
∴CF=BG，
∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，
∵A为弧BP中点，
∴∠GCA=∠BCA，
∴△BAC≌△GAC（ASA），
∴AG=AB=BG，
∴CF=2AB．
24．（1）∵抛物线y＝+mx+n的顶点为（1，﹣），
∴x＝﹣＝1，
∴m＝﹣，
∴，
解得n＝﹣2，
故答案为：﹣，﹣2；
（2）以O为圆心，OC为半径作圆O，⊙O与x轴交于点D，与抛物线的对称轴交于点P1，P2，
∵抛物线的解析式为y＝x﹣2，
∴y＝0时，x＝﹣2或4，x＝0，y＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣2），
∴OA＝OC＝2，
∴⊙O经过点A，
∵OC⊥AB，
∴∠BAC＝∠ADC，
∵∠AP1C＝∠ADC，
∴∠BAC＝∠AP1C，
∵抛物线y＝x﹣2与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1，
∴C（0，﹣2），
∵OC＝2，OE＝1，
∴OP1＝2，
∴P1E＝＝＝，
∴P1（1，）；
∵P1与P2关于x轴对称，
∴P2（1，﹣）；
综合以上可得，满足条件的点P的坐标为（1，）或（1，﹣）；
（3）∵AO＝OC＝2，
∴AC＝2，
∵M为AC的中点，
∴CM＝AC＝，
以C为圆心，OC为半径画圆交AC于点G，
∴MN'的最小值为MG＝GC﹣MC＝2﹣，
∵OC＝2，OB＝4，
∴BC＝＝＝2，
以C为圆心，CB为半径画圆交AC的延长线于点H，
∴MN'的最大值＝MH＝MC+CH＝+2，
即MN'的最小值为2﹣，最大值为+2．
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