6.8 余角和补角 课件（共26张PPT）

第6章 图形的初步知识
6.8??余角和补角
1、角的和差及表示方法．
2、用量角器画一个角等于已知角．
3、角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．
4、与角平分线有关的角的计算．
知识回顾
O
B
A
C
教学目标：
1.了解补角和余角的概念．
2.理解等角的余角相等，等角的补角相等．
3.了解角在解决实际问题中的一些简单应用．
重难点：
●本节教学的重点是余角和补角的概念和性质.
●关于余角、补角的性质的应用常常需要说理，或综合运用代数知识，是本节教学的难点.
目标难点
台球比赛中，一次被击打母球的线路如图．若角∠α为30°，则入射角、反射角、∠β分别为多少度（入射角与反射角相等）？
新课导入
观察，∠1+∠2与 Rt∠AOB 相等吗？你是怎样判断的？
1
2
A
O
B
观察 ，∠α+∠β与 ∠AOB 相等吗？你是怎样判断的？
α
β
合作学习
如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角．
互余的数学表达式：∠α ＋∠β ＝ 90 °．
如图∠1与∠2互为余角， ∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角．数学表达式：∠1＋∠2＝ 90 °．
新课讲解
如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角．
互补的数学表达式为: ∠α＋∠β ＝180 °．
如图，∠AOC与∠BOC互为补角，∠AOC是∠BOC的补角，∠BOC也是∠AOC的补角．∠AOC＋∠BOC ＝180 °
新课讲解
3、?1与?2互补，除用符号语言表示为?1＋ ?2＝180°外，还可以用其它形式等式表示为?1＝180°－?2，或 ?2＝180°－?1．
1、定义中的“互为”一词如何理解？
2、互补、互余的两角是否一定有公共顶点或公共边？
如果?1与?2互余，那么?1的余角是?2，?2的余角是?1．
互补或互余的两角不一定有公共顶点或公共边．
新课讲解
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}概念
定义
数量关系
共同点
互为余角
（互余）
互为补交
（互补）
如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，也可以说其中一个角是另一个角的余角.
如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，也可以说其中一个角是另一个角的补角.
①互余、互补是两个角的关系；
②互余、互补只跟角的大小有关，与位置无关.
总结
1、如图，已知∠1=42°，∠2=138°，∠3=48°．图中有没在互余或互补的角？若有，请把它们写出来，并说明理由．
解：∠1与∠3互余，∵∠1+∠3=90°，∴∠1与∠3互余．
∠1与∠2互补，∵∠1+∠2=180°，∴∠1与∠2互补．
做一做
2、如图，点O为直线AB上一点，∠AOC=Rt∠，OD是∠BOC内的一条射线．图中有哪些角互补？有哪些角互余？请说明理由．
3、填空：
（1）∠α的余角=90°-_______．
（2）∠β的余角=_______-∠β．
∠α
90°
互补的角：∠AOC和∠BOC，
∠AOD和∠BOD．
互余的角：∠BOD和∠COD．
做一做
如图，点O为直线AB上一点，∠AOC=Rt∠，OD是∠AOC内的一条射线．OE是? BOC内的一条射线．回答下列问题：
（1）图中? DOC的余角有______________．
（2）图中? AOD的余角有______________．
（3） 通过上述两小题你能得到什么结论？
? AOD与?COE
? DOC与?BOE
同 角(等角)的 余 角 相 等
∵ ? AOD + ? COD =90°，? COE + ? COD = 90°，
∴ ? AOD= ? COE．
（4）? AOD和?COE的补角分别是_______________．
（5）通过此题，你又能得到什么结论？
? BOD与?BOD
同角（等角）的补角相等
新课讲解
同角或等角的余角相等．
若∠α+∠β=90°，∠β+∠γ=90°，则∠α=∠γ．
同角或等角的补角相等．
若∠α+∠β=180°，∠β+∠γ=180°，则∠α=∠γ．
归纳
例1 如图，已知∠AOC=∠BOD=Rt∠．指出图中还有哪些角相等，并说明理由．
解：∠AOB=∠COD．
理由：∵∠AOC=∠BOD=Rt∠，
∴∠AOB+∠BOC=Rt∠，
∠COD+∠BOC=Rt∠．
即∠AOB与∠COD都是∠BOC的余角，
∴∠AOB=∠COD（同角的余角相等）．
例题讲解
例2 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数．
解:设这个角为x度，则这个角的余角是(90－x) 度，补角是(180－x)度，由题意得,
180－x=4(90－x)，
解得x=60，
答：这个角的度数为60°．
例题讲解
一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍，求这个角．
解：设这个角为x°，则它的余角为90°﹣x°，补角为180°﹣x°，
根据题意，得180°﹣x°+10°=3×（90°﹣x°），
解得x=40，
答：这个角为40度．
变式练习
什么是方位角？怎样表示方位角？
在航海、探险、飞行等领域，为了表示某一地区的地理位置，常用方位角这一概念．具体做法：先在某地确定一点把它固定，然后以这点为基点，确定出东南西北四个方向，最后再根据要求画出所要的方位角．
例如：以平面内O点为基点，画出北偏东60°角和南偏西25°角．
知识拓展
东
西
北
南
O
正东：
正南：
正西：
正北：
西北方向：
西南方向：
东北方向：
东南方向：
射线 OA
A
B
C
D
45°
E
G
F
H
45°
八大方位
45°
45°
射线 OB
射线 OC
射线 OD
射线 OE
射线 OF
射线 OH
射线 OG
知识拓展
课后练习
1．如果∠a=36°，那么∠a的余角等于（　　）
A．54° B．64° C．144° D．134°
解：∠a的余角=90°﹣∠α=90°﹣36°=54°．
故选A．
2．如图，AB、CD相交于点O，EO⊥AB，则∠1与∠2的关系是（　　）
A．相等 B．互余 C．互补 D．对顶角
解：∵EO⊥AB，
∴∠EOB=90°，
∵∠1+∠BOE+∠2=180°，
∴∠1+∠2=90°，
即∠1和∠2互余．故选B．
课后练习
3．若∠A与∠B互为余角，则∠A+∠B=（　　）
A．180° B．120° C．90° D．60°
解：∵∠A与∠B互为余角，
∴∠A+∠B=90°，
故选：C．
课后练习
4．对于互补的下列说法中：①∠A＋∠B＋∠C＝90°，则∠A，∠B，∠C互补；②若∠1是∠2的补角，则∠2是∠1的补角；③同一个锐角的补角一定比它的余角大90°；④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角．其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
课后练习
解：设∠2=x，则∠1=x+20，由题意得：∠1+∠2=x+20+x=180，
∴x=80°，
∴∠2=80°，∠1=x+20°=100°．
5.已知∠1与∠2互为补角，且∠1比∠2大20°，求∠1、∠2的度数．
课后练习
课后练习
6. 如图，∠AOB＝160°，∠AOD与∠DOC互余，∠BOD＝90°，求∠COD的度数．
解：因为∠AOB＝160°，∠BOD＝90°，所以∠AOD＝70°.因为∠AOD与∠DOC互余，所以∠AOD＋∠DOC＝90°.所以∠COD＝90°－∠AOD＝90°－70°＝20°.
同角或等角的
补角相等
同角或等角的
余角相等
互余
互补
两角间的数量关系
对应图形
性质
课后总结
感
谢
看
观