6.9 直线的相交 课件（2课时 共29张PPT）

第6章 图形的初步知识
6.9??直线的相交
第1课时
1、什么叫做互为余角？
如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角．
互余的数学表达式：∠α ＋∠β ＝ 90 °．
如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角．
互补的数学表达式为: ∠α＋∠β ＝180 °．
2、什么叫做互为补角？
知识回顾
同角或等角的
补角相等
同角或等角的
余角相等
互余
互补
两角间的数量关系
对应图形
性质
知识回顾
在生活中，我们会经常看到两条直线相交的情景．如图若把交叉的两条公路看成两条直线AB、CD ，则直线AB、CD相交于点O．
A
B
C
D
O
新课导入
我们知道，如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交，该公共点叫做这两条直线的交点.
数学描述：如图，直线 AB和CD相交，其交点是O点.
问题1：两直线相交时构成了几个角？表示出来.
答案1：
答案2：它们的顶点相同，角的两边互为反向延长线.
问题2： 与 及 与 分别有何联系？
新课讲解
对顶角的顶点相同，角的两边互为反向延长线.
特征
如图，直线AB与CD相交，其交点是O，∠1，∠2， ∠ AOD和∠COB是AB与CD相交所成的角．我们把其中相对的任何一对角： ∠1与∠2，或∠AOD与∠COB叫做对顶角．
新课讲解
1． 如图，点O， P是直线AB上的两点，∠1=∠2. ∠1和∠2是对顶角吗？请说明理由．
解：∠1和∠2不是对顶角，
因为∠1和∠2的顶点不相同．
2．如图，已知∠3=∠4．∠3和∠4是对顶角吗？请说明理由．
解：∠3和∠4不是对顶角，
因为∠3和∠4的两边不互为反向延长线．
巩固练习
例1 如图三条直线相交于点O，说出图中的6组对顶角．
解：∠AOF与∠BOE，
∠FOD与∠EOC，
∠DOB与∠COA，
∠AOD与∠BOC，
∠FOB与∠EOA，
∠DOE与∠COF．
例题讲解
变式练习
如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，OG平分∠BOD，则图中对顶角(小于180°的角)有多少对？
解：对顶角(小于180°的角)有∠AOF和∠BOE，∠FOD和∠EOC，∠AOD和∠BOC，∠AOC和∠DOB，∠FOB和∠EOA，∠FOC和∠EOD共6对.
如图，如果∠1=52°，那么∠2等于多少度？请说明理由．
解：∠2 =52°，
理由：∵∠1+∠AOD ＝180° ，
∠2+∠AOD ＝180° ，
∴∠1= ∠2 =52° ．（同角的补角相等）
对于任意两个对顶角相等吗？为什么？
对于任意两个对顶角它们的补角相同，所以它们是相等的，根据“同角的补角相等”．
对顶角的性质：对顶角相等．
新课讲解
例2 如图，已知直线AD与BE相交于点O，∠DOE与∠COE互余，∠COE=62°，求∠AOB的度数．
解：∵∠DOE与∠COE互余，（已知）
∴ ∠DOE+∠COE =90 ° ，(互余的定义）
∴ ∠DOE= 90 ° - ∠COE= 90 ° -62 ° =28 °．
又∵ ∠AOB与∠DOE是对顶角，（已知）
∴ ∠AOB=∠DOE ，（对顶角相等）
∴ ∠AOB=28 °．
例题讲解
1、相交线的概念．
2、对顶角的定义及判定条件．
3、对顶角的性质：对顶角相等．
4、利用学习过的有关事实解决实际问题，体会数学在生活中的应用．
（1）顶点相同，
（2）角的两边互为反向延长线．
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课后总结
第6章 图形的初步知识
6.9??直线的相交
第2课时
把一张正方形纸片按下图方式折叠，得到∠1，∠1是什么角？
把这张纸片展开，如下图，AB、CD是两条折痕，相交于点O，则∠AOC、∠AOD、∠BOC、∠BOD与∠1有什么关系？它们是什么角？
新课导入
当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时，我们就称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足．
如图AB与CD垂直，记做AB⊥CD（或CD⊥AB）．如果用l，m表示这两条直线，那么直线l与m垂直，记做l⊥m，点O是垂足．
“⊥”是“垂直”的符号，而“ ”是图形中“垂直”(直角)的标记．
新课讲解
（1）∵AB⊥CD (已知），
∴∠AOC=∠BOC=∠AOD= ∠BOD=90°． (垂直的定义)
（2）∵∠BOC = Rt∠ (已知)，
∴AB⊥CD（垂直的定义）．
新课讲解
过点A 作 l 的垂线，你能作出来吗？每个图中你能作几条？
作法：
1、贴
2、靠
3、过
l
l
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
A
4、画
点A在直线上l
点A在直线外l
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
B
新课讲解
P
A B
你会用量角器过点P画直线AB的垂线吗？
过直线AB上一点P画AB的垂线，可以画几条？
若点P在直线AB外呢？
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线．
新课讲解
例3 如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB．已知∠BOD=45°，求∠ COE的度数．
解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，
（垂直的定义）
∵∠AOC=∠BOD=45°，
∴∠COE=∠AOE+∠AOC=90°+45°=135°．
（对顶角相等）
例题讲解
如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM．若∠AOC=70°，则∠CON的度数为（　　）
解：∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∵OM平分∠AOC，∠AOC=70°，
∴∠CON=90°﹣35°=55°，
故选：B．
∴∠MOC=????????∠AOC=35°，
?
变式练习
如图，点P是直线l外的一点，画PO⊥l于O，线段PO称为点P到直线l的垂线段．点P与直线l上所有各点之间的距离中，哪一个距离最小？你能设计一个实验来验证你的判断吗？
答：点P与直线l上的点O距离最小．
测量法或叠合法验证．
根据圆的半径最短验证．
合作学习
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．垂线段PO的长度，就是点P到直线l的距离．
已知P是直线外的一点，过点P画直线l的垂线，交直线l于点O，则线段PO叫做点P到直线l的垂线段．
直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．也可简单地说成：垂线段最短．
合作学习
巩固练习
如图，计划把水从河中引到水池A中，先过点A作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是　 　．
解：先过点A作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是垂线段最短；
故答案为：垂线段最短．
垂直定义：两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角．
垂线的画法：三角尺和量角器 ．
垂直的表示方法：用符号“⊥”表示．
垂直的性质：在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线．
垂线段最短：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度．
课后总结
课后练习
1．平面内三条直线的交点个数可能有（　　）
A．1个或3个 B．2个或3个
C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3个
解：如图所示，
分别有0个交点，1个交点，2个交点，3个交点，
∴交点个数可能有0个或1个或2个或3个．
故选D．
2．如图所示，直线AB、CD相交于点O，且∠AOD+∠BOC=100°，则∠AOC是（　　）
A．150° B．130° C．100° D．90°
解：∵∠AOD与∠BOC是对顶角，
∴∠AOD=∠BOC，又已知∠AOD+∠BOC=100°，
∴∠AOD=50°．
∵∠AOD与∠AOC互为邻补角，
∴∠AOC=180°﹣∠AOD=180°﹣50°=130°．故选B．
课后练习
3.如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，∠1=95°，∠2=32°，则∠BOE=________.
解：∵∠2和∠COE为对顶角 ∴∠2=∠COE=32° ∵∠1+∠COE+∠BOE=180° 即95°+32°+∠BOE=180° ∴∠BOE=53° 故答案为：53°。
课后练习
课后练习
解：（1）∠COE的邻补角为∠COF和∠EOD；
（2）∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF；
（3）∵∠BOF=90°，
∴AB⊥EF
∴∠AOF=90°，
又∵∠AOC=∠BOD=60°
∴∠FOC=∠AOF+∠AOC=90°+60°=150°．
4．如图，直线AB、CD、EF相交于点O．
（1）写出∠COE的邻补角；
（2）分别写出∠COE和∠BOE的对顶角；
（3）如果∠BOD=60°，∠BOF=90°，求∠AOF和∠FOC的度数．
感
谢
看
观