例1：如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，求证：△ABC≌△DCB．
例2：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．
请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
(2)证明：DC⊥BE
.
例3：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．
（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；
（2）求证：BG2-GE2=EA2．
选择题
1.
下列句子中不是命题的是(
)
A．两直线平行，同位角相等
B．将4开平方
C．若|a|＝|b|，则a2＝b2
D．同角的补角相等
2.
命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是(
)
A．垂直
B．两条直线
C．同一条直线
D．两条直线垂直于同一条直线
3.
如图，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CE，则由“SSS”可以直接判定(
)
A．△ABD≌△ACD
B．△BDE≌△CDE
C．△ABE≌△ACE
D．以上都不对
4.
如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是(
)
A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．三角形的稳定性
5.
如图，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下列条件：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE.可利用的是(
)
A．①或②
B．②或③
C．①或③
D．①或④
6.
下列各组图形中，一定全等的是（
）
A．两个等边三角形
B．有个角是45°的两个等腰三角形
C．腰和顶角对应相等的两个等腰三角形
D．各有一个角是40°，腰长都为30cm的两个等腰三角形
7.
两边和一角对应相等的两个三角形（
）
A．全等
B．不全等
C．不一定全等
D．以上判断都不对
8.
在△ABC和△DEF中，下列条件中，能根据它判定△ABC≌△DEF的是（
）
A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D
B．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF
C．AB=DE，BC=EF，△ABC的周长=△DEF的周长
D．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
9.
如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若边BC长为8cm，则△ADE的周长为（
）
A．不能确定
B．8cm
C．16cm
D．4cm
10.
如图所示，AB∥CD，直线
EF
与
AB，CD
分别交于点
M，N，过点
N
的直线
GH
与
AB
交于点
P，则下列结论中，错误的是（
）
A.∠EMB=∠END
B.∠BMN=∠MNC
C.∠CNH=∠BPG
D.∠DNG=∠AME
11.
如图，能运用“ASA”定理证明△AOB≌△DOC的是(
)
A．AO＝DO，∠A＝∠D
B．AO＝DO，∠B＝∠C
C．AO＝DO，BO＝CO
D．AO＝DO，AB＝CD
如图，AD平分∠BAC，AB=AC，连接BD、CD，并延长交AC、AB于F、E，则图形中全等三角形有（
）
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
如图所示，∠AOB
的一边
OA
为平面镜，∠AOB=37°36′，在
OB
上有一点
E，从点
E
射出一束光线经
OA
上一点
D
反射，反射光线
DC
恰好与
OB
平行，则∠DEB
的度数是（
）
A.75°36′
B.75°12′
C.74°36′
D.74°12′
填空题
如图BC⊥AC，BD⊥AD，垂足分别是C和D，若要根据AAS定理，使△ABC≌△ABD（AAS），应补上条件_
______或____
______．
如果点P是三角形三条角平分线的交点，则点P到三角形_______的距离相等．
如图，AB＝AC，DE垂直平分AB交AB于点D，交AC于点E，若△ABC的周长为28，BC＝8，求△BCE的周长
．
如图所示，含
30°角的直角三角尺
DEF
放置在△ABC
上，30°角的顶点
D
在边
AB
上，且
DE⊥AB，∠A=50°，BC∥DF，则∠DNM=
.
如图，AB＝AC，D为BC的中点，下列结论：①∠B＝∠C；②AD平分∠BAC；③AD⊥BC；④△ABD≌△ACD.其中正确的是_____．(填序号)
证明题
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD平分∠CBA，DE⊥AB于E，试说明：AD+DE=BE．
如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E，∠C=∠D，AM⊥CD于M，BC=DE，试说明M为CD的中点．
如图，△ABE≌△ACD.求证：∠1＝∠2.
如图，AE、CP分别是钝角三角形ABC（∠ABC＞90°）的高，在CP上截取CD=AB，在AE的延长线上截取AQ=BC，连接BD、BQ．
（1）写出图中BD、BQ所在的三角形
；
△BDC，△BDP，△QBE，△QAB
（2）结合条件CD=AB，通过一组三角形全等，证明BD=BQ；
（3）求证：BD⊥BQ．
命题：“两个连续奇数的平方差是8的倍数”是真命题还是假命题？如果认为是假命题，请说明理由；如
果认为是真命题，请给出证明.
如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.例1：如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，求证：△ABC≌△DCB．
【思路点拨】直接利用全等三角形的判定方法：SSS可证明．
【答案与解析】证明：在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）．
例2：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．
请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
(2)证明：DC⊥BE
.
【思路点拨】△ABE与△ACD中，已经有两边，夹角可以通过等量代换找到，从而证明△ABE≌△ACD；通过全等三角形的性质，通过导角可证垂直.
【答案与解析】解：（1）△ABE≌△ACD
证明：∠BAC＝∠EAD＝90°
∠BAC
＋∠CAE＝∠EAD
＋∠CAE
即
∠BAE＝∠CAD
又AB＝AC，AE＝AD，△ABE≌△ACD（SAS）
（2）由（1）得∠BEA＝∠CDA,
又∠COE＝∠AOD
∠BEA＋∠COE
＝∠CDA＋∠AOD＝90°
则有∠DCE＝180°－
90°＝90°，所以DC⊥BE.
例3：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．
（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；
（2）求证：BG2-GE2=EA2．
证明：（1）BH=AC.
∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°.
∵∠ABC=45°，∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC.∴DB=DC，
∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，
∴∠HBD=∠ACD.
在△DBH和△DCA中∴△DBH≌△DCA（ASA）∴BH=AC．
（2）连接CG，
∵∠ABC=45°，CD⊥AB，∴∠BCD=90°?∠ABC=45°=∠ABC，∴DB=CD.
∵F为BC的中点，∴DF垂直平分BC.∴BG=CG.
∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，∴EC=EA.
在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2-GE2=CE2.
∵CE=AE，BG=CG，∴BG2-GE2=EA2．
选择题
1.
下列句子中不是命题的是(
B
)
A．两直线平行，同位角相等
B．将4开平方
C．若|a|＝|b|，则a2＝b2
D．同角的补角相等
2.
命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是(
D
)
A．垂直
B．两条直线
C．同一条直线
D．两条直线垂直于同一条直线
3.
如图，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CE，则由“SSS”可以直接判定(
C
)
△ABD≌△ACD
B．△BDE≌△CDE
C．△ABE≌△ACE
D．以上都不对
4.
如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是(
D
)
A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．三角形的稳定性
5.
如图，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下列条件：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE.可利用的是(
A
)
A．①或②
B．②或③
C．①或③
D．①或④
6.
下列各组图形中，一定全等的是（C
）
A．两个等边三角形
B．有个角是45°的两个等腰三角形
C．腰和顶角对应相等的两个等腰三角形
D．各有一个角是40°，腰长都为30cm的两个等腰三角形
7.
两边和一角对应相等的两个三角形（C
）
A．全等
B．不全等
C．不一定全等
D．以上判断都不对
8.
在△ABC和△DEF中，下列条件中，能根据它判定△ABC≌△DEF的是（
C
）
A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D
B．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF
C．AB=DE，BC=EF，△ABC的周长=△DEF的周长
D．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
9.
如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若边BC长为8cm，则△ADE的周长为（
B
）
A．不能确定
B．8cm
C．16cm
D．4cm
10.
如图所示，AB∥CD，直线
EF
与
AB，CD
分别交于点
M，N，过点
N
的直线
GH
与
AB
交于点
P，则下列结论中，错误的是（
D
）
∠EMB=∠END
∠BMN=∠MNC
∠CNH=∠BPG
D.∠DNG=∠AME
11.
如图，能运用“ASA”定理证明△AOB≌△DOC的是( C )
AO＝DO，∠A＝∠D
B．AO＝DO，∠B＝∠C
C．AO＝DO，BO＝CO
D．AO＝DO，AB＝CD
如图，AD平分∠BAC，AB=AC，连接BD、CD，并延长交AC、AB于F、E，则图形中全等三角形有（D
）
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
如图所示，∠AOB
的一边
OA
为平面镜，∠AOB=37°36′，在
OB
上有一点
E，从点
E
射出一束光线经
OA
上一点
D
反射，反射光线
DC
恰好与
OB
平行，则∠DEB
的度数是（B）
A.75°36′
B.75°12′
C.74°36′
D.74°12′
【解析】如答图所示，过点
D
作
DF⊥AO
交
OB
于点
F．∵入射角等于反射角，∴∠1=∠3.
∵CD∥OB，∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.在△DOF
中，∠ODF=90°，∠AOB=37°36′，∴∠2=90°-37°36′=52°24′.∴在△DEF
中，∠DEB=180°-2∠2=75°12′．故选
B．
填空题
如图BC⊥AC，BD⊥AD，垂足分别是C和D，若要根据AAS定理，使△ABC≌△ABD（AAS），应补上条件__∠CAB=∠BAD
______或_____∠CBA=∠DBA______．
如果点P是三角形三条角平分线的交点，则点P到三角形__三边_____的距离相等．
如图，AB＝AC，DE垂直平分AB交AB于点D，交AC于点E，若△ABC的周长为28，BC＝8，求△BCE的周长
18
．
如图所示，含
30°角的直角三角尺
DEF
放置在△ABC
上，30°角的顶点
D
在边
AB
上，且
DE⊥AB，∠A=50°，BC∥DF，则∠DNM=
40°
.
【解析】∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°.
∵∠A=50°，∴∠DNM=90°-50°=40°.
如图，AB＝AC，D为BC的中点，下列结论：①∠B＝∠C；②AD平分∠BAC；③AD⊥BC；④△ABD≌△ACD.其中正确的是_①②③④____．(填序号)
证明题
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD平分∠CBA，DE⊥AB于E，试说明：AD+DE=BE．
证△BCD≌△BED，得BC=BE，DC=DE
∴AD+DE=AD+DC=AC=BC=BE
如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E，∠C=∠D，AM⊥CD于M，BC=DE，试说明M为CD的中点．
证明：延长AB、AE交CD的延长线于H、F
∠ABC=∠AED
∠BCD=∠EDC
∴∠HBC=∠FED
∠BCH=∠EDF
又BC=DF
∴△BCH≌△EDF（AAS）
∴CH=DF
在△AMH与△AMF中，∠H=∠F
∠AMH=∠AMF
AM=AM
∴△AMH≌△AMF（AAS）
∴HM=FH
∴CM=DM
如图，△ABE≌△ACD.求证：∠1＝∠2.
证明：∵△ABE≌△ACD，∴AD＝AE，AB＝AC，BE＝CD，∴AB－AD＝AC－AE，∴BD＝CE.在△BDE和△CED中，∵BD＝CE，BE＝CD，DE＝ED，∴△BDE≌△CED(SSS)，∴∠1＝∠2
如图，AE、CP分别是钝角三角形ABC（∠ABC＞90°）的高，在CP上截取CD=AB，在AE的延长线上截取AQ=BC，连接BD、BQ．
（1）写出图中BD、BQ所在的三角形
；
△BDC，△BDP，△QBE，△QAB
（2）结合条件CD=AB，通过一组三角形全等，证明BD=BQ；
（3）求证：BD⊥BQ．
【思路点拨】（1）写也含有BD、BQ的三角形即可；（2）根据已知利用SAS判定△ABQ≌△CDB，根据全等三角形的对应边相等，即可求得BD=BQ；（3）根据全等三角形的对应角相等，可得到∠1=∠2，∠3=∠4，又因为CP是△ABC的高，可推出BQ⊥BD．
【答案与解析】
解：（1）△BDC，△BDP，△QBE，△QAB；
（2）AE、CP分别是△ABC的高
∴∠ABE=∠CBP∴∠1=∠2
在△ABQ和△CDB中
∴△ABQ≌△CDB（SAS）∴BD=BQ
（3）∵△ABQ≌△CDB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠5=∠6
∴∠QBD=∠6+∠PBD=∠5+∠PBD=∠PBD+∠4+∠2
∵CP⊥AB∴∠PBD+∠4+∠2=90°∴BQ⊥BD
命题：“两个连续奇数的平方差是8的倍数”是真命题还是假命题？如果认为是假命题，请说明理由；如
果认为是真命题，请给出证明.
【解析】“两个连续奇数的平方差是
8
的倍数”是真命题.
证明：设两个连续奇数为
2n+1，2n-1，
它们的平方差是（2n+1）2-（2n-1）2
=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=4n·2=8n.
∴两个连续奇数的平方差是
8
的倍数.
如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.
证明：∵AE⊥AB，AD⊥AC，
∴∠EAB＝∠DAC＝90°
∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE
，即∠DAB＝∠EAC.
在△DAB与△EAC中，
∴△DAB≌△EAC
（ASA）
∴BD＝CE.
