名师导学——2.2 等腰三角形的性质

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2．2等腰三角形的性质
1．等腰三角形的两个______角相等，也就是说，在同一个三角形中，________________．
2．等腰三角形的顶角________，底边上的______和______互相重合，简称____________________________.
3．等腰三角形的底角是50°，则顶角是_________．
4．在△ABC中，AB=AC．若∠A=70°，则∠C=__________．
5．(1)如图，已知AB=AC，∠l=∠2， BD=5cm，那么BC=__________．
(2)如图，已知AB=AC，AD⊥BC，∠1=28°，则∠BAC=__________．
典型例题1 如图，已知在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠C=20°，求, ∠BAD的度数．
巩固练习1 如图，在△ABC中，AB=AC，BE和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，则BE=CD，请说明理由．
典型例题2 如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E，AB=AE，BC=DE，M为CD中点，则AM⊥CD吗 请说明理由．
巩固练习2 如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，A0的延长线交BC于点D．试说明AD⊥BC，BD=CD．
一、选择题
1．在△ABC中，AB=BC，∠A=80°，则∠B= ( )
A．100° B．80° C．20° D．80°或20°
2．等腰三角形的一个外角为l40°，则顶角的度数为 ( )
A．40° B．40°或70° C．70° D．40°或l00°
3．如图，AB=AC，BD=BC，若∠A=40°，则∠ABD的度数是 ( )
A．20° B．30° C．35° D．40°
4．如图，在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是 ( )
A．15° B．30° C．50° D．65°
二、填空题
5.已知，如图，在△ABC中，AB=AC，(1)若AD是BC边上的中线，则∠ADC=__________；(2)若AD⊥BC，BD=2cm，则BC=__________．
6．已知一个等腰三角形的顶角是底角度数的，则顶角的度数为_____.
7.等腰三角形的一个内角等于120°，则另两个角的度数分别是________.
三、解答题
8．如图，已知△ABC中，AB=AC，D是AC上一点，且AD=BD=BC．求∠A的度数．
9．如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在AB，AC上，且AD=AE，则DE∥BC吗 请说明理由．
10．如图，AB=AC，AD=AE，请说明BD=CE的理由．
2．2提高班习题精选
1．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于 ( )
A．90°
B．75°
C．60°
D．45°
2．若等腰三角形的顶角为a，则它一腰上的高与底边的夹角等于 ( )
A．90°－α B． C．90°- D．
3．如图，在△ABC中，AB=AC，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=145°,则∠EDF=_______．
4．如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中最大角的度数是——．
5．如图，在△ABC中，AC=BC，∠BAC的外角平分线AD交BC的延长线于点D，若∠ADC=
∠CAD，则∠ABC=______．
6．(1)等腰三角形的一个角是32°，求底角．
(2)等腰三角形的一个角是l00°，求底角．
(3)作为等腰三角形的顶角，应在什么范围内 而作为一个等腰三角形的底角，应在什么范围内
7．已知：如图所示，在△ABC中，E是AB延长线上的一点，AE=AC，AD平分∠EAC，BD=BE，则∠ABC=2∠C，请说明理由．
8．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，
(1)如图(1)，若∠α=35°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠β=______；
(2)如图(2)，若∠α=46°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠β=______；
(3)如图(3)，D为BC上任意一点．请你思考，在△ABC中，若AB=AC，AD=AE，则∠α和∠β之间有什么关系 如果有，请你写出来，并说明你的理由．
9．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是△ABC内一点，点E和点D在AC的异侧，并且AD=AE，∠AED=∠ACB，则BD=CE吗 请说明理由．
1．【2010·深圳】如图，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°，则∠B的度数是 ( )
A．40° B．35° C．25° D．20°
2．【2010·黄石】如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为________.
参考答案
2.2等腰三角形的性质
【课前热身】
1．底 等边对等角 2．平分线 中线 高 等腰三角形三线合一 3．80° 4．55° 5．(1) 10cm (2) 56°
【课堂讲练】
典型例题1 解∵AB=AD ∴∠B=∠ADB ∵AD=DC ∴∠DAC=∠C=20° ∵∠ADB=∠C+∠DAC ∴∠ADB=2∠C=40°∵∠BAD+∠B+∠ADB=180°∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-40°-40°=l00°
巩固练习1 解：∵AB=AC(已知) ∴∠ABC=∠ACB(在同一个三角形中，等边对等角) ∵BE和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线 ∴∠BCD=∠CBE ∵BC=CB ∴△BDC≌△CEB(ASA) ∴BE=CD
典型例题2 解：AM⊥CD 理由：连结AC、BD AB=AE ∠B=∠E BC=DE ∴△ABC≌△AED
∴AC=AD(全等三角形的对应边相等) 又∵MC=MD ∴AM⊥CD(等腰三角形三线合一)
巩固练习2 解：在△AOB和△AOC中 ∵ ∴△AOB≌△AOC(SSS) ∴∠BAD=∠CAD ∴AD⊥BC BD=CD(等腰三角形三线合一)
【跟踪演练】
1．C 2．D 3．B 4．A 5．90°4cm 6．20° 7．30°30° 8．解：设∠A=x ∵AD=BD ∴∠ABD=∠A=x ∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C=2x ∵∠A+∠ABC+∠C=180° ∴ x=36° 即∠A=36° 9．解：DE∥BC ∵AB=AC ∴∠B= ∠C ∵AD=AE ∴∠ADE=∠AED ∵∠A+∠ADE+∠AED=∠A+∠B+∠C=180°∴2∠ADE=2∠B 即∠ADE=∠B ∴DE∥BC 10．解：方法一:作AF⊥DC于F，根据等腰三角形三线合一 ∵AB=AC ∴BF=CF ∵AD=AE ∴DF=EF ∴BD=CE 方法二: ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵AD=AE ∴∠ADE=∠AED ∴∠ADB=∠AEC ∴△ABD≌△AEC ∴BD=CE
2.2 提高班习题精选
【提高训练】
1．C 2．D 3．55° 4．125° 5．36° 6．解：(1)32°或74°(2)40°(3)顶角可以是大于0°而小于180°，而底角是大于0°而小于90° 7．解：AE=AC，AD=AD，∠EAD=∠CAD ∴△AED≌△ACD(SAS) ∴∠E=∠C 又∵BD=BE ∴∠E=∠BDE ∴∠ABC=∠E+∠BDE=2∠E=2∠C 8．解：(1)17.5° ( 2)23°( 3) ∠β=∠α理由：∠β=∠AED-∠C=∠ADE-∠C=∠ADC-∠β-∠C=∠β+∠α-∠β-∠C=∠α-∠β∴2∠β=∠α ∠β=∠α9．解：∵AB=AC，AD=AE ∴△ABC和△ADE均为等腰三角形 ∵∠AED=∠ACB ∠BAC=180°-2∠ACB，∠DAE=180°-2∠AED ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即∠BAD=∠CAE∵ →△ABD≌△ACE ∴BD=CE l0．(1)，(3)，(4)可以 (2)不可以 图略
【中考链接】
1．C 2．45°
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