名师导学——2.7 直角三角形全等的判定

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2．7直角三角形全等的判定
课前热身
1．__________和一条________对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“_________”．
2．角的内部，到角的两边距离相等的点，在_____________________________.
3．判定两个直角三角形全等共有五种方法，分别是SSS，_______，_______，_______，________.
4．如图，∠A=∠B=90°，请你再添加一个条件，使△ACD≌△BDC，并在后面的括号里写出判定全等的依据：①_______________( )；②______________( )；③_______________( )．
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，CD=5cm，那么点D到AB的 距 离是___________．
典型例题1 如图，△ABC和△DBC 都是直角三角形，∠A=∠D=90°，AB=CD，请说明：△EBC是等腰三角形．
巩固练习1 如图，已知AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F为垂足，DE=BF，问：AB与CD平行吗 请说明理由．
典型例题2 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线和∠ACB的平分线相交于点P，则AP平分∠BAC，请说明理由．
巩固练习2 已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DF⊥AB于点F，DE⊥AC于点E，且BF=CE，则点D在∠BAC的平分线上，请说明理由．
一、选择题
1．如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点，则△ABD≌△ACD，其依据是 ( )
A．ASA B．HL C．SAS D．AAS
2．如图所示，∠ACB=∠BDE=90°，AC=DE，则下列条件中，不能使△ABC≌△EBD成立的是( )
A．∠A=∠E B．BC=BD C．AB=BD D．∠ABE=∠CBD
3．下列条件中，不能用来说明Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(其中∠C=∠C′=90°)的是 ( )
A．∠A=∠A′，AC=A′C′ B．AC=B′C′，BC=A′C′
C．∠B=∠B ′，AB=A ′B′ D．∠B=∠B ′，AC=B ′C ′
4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为D，如果AC=10cm，那么AE+DE= ( )
A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm
二、埴空颗
5．如图，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，则图中能用“HL”定理判定全等的三角形是_________________．
6．如图，已知BD⊥AE于点B，C是BD上的点，且BC=BE，要使Rt△ABC≌Rt△DBE，应补充的条件是∠A=∠D，或____________，或_____________，或____________．
7．如图，AD平分∠CAB，DC⊥AC，DB⊥AB，且DC=DB，若∠1=30°，则∠CAB的度数是_____．
三、解答题
8．如图所示，已知AD⊥OB，BE⊥OA，垂足分别为D和E，AD和BE相交于点P，PA=PB，则0P平分∠AOB，请说明现由．
9．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BD，AE⊥CE，且AD=AE，BD和CE交于点0，请说明OB=OC的理由．
10．三条公路两两相交，现在决定在三角区内建立一个公路维修站，要求到三条公路的距离相等，请问维修站应该建立在何处 请画出图形．
2．7提高班习题精选
1．如图，把Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，则下列结论中错误的是 ( )
A．△ABC≌△DEF B．∠DEF=90° C．AC=DF D．EC=CF
2．如图，在R△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，如果BC=32cm，BD：CD=9：7，那么点D到AB的距离是 ( )
A．12cm B．14cm C．16cm D．18cm
3．如图，AB=AC，DE⊥AB，DF⊥AC，AD⊥BC，则图中的全等三角形有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．如图，0M平分∠POQ，MP⊥0P，MQ⊥OQ，垂足分别为P，Q，且S△OPM=6cm2，OP=2cm，则MQ=_____.
5．如图所示，已知AB⊥AC，AC⊥CD，且AB=CD，则图中共有_________对全等三角形．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，D为 BC上一点，连结AD，点E在AD上，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，垂足分别为M，N；那∠下面4个结论中：①如果AD⊥BC，那∠EM=EN；②如果EM=EN，那么∠l=∠2；③如果EM=EN，那∠AM=AN；④如果EM=EN，那么∠3=∠4．其中正确的有____________．(填序号)
7．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF=AC，FD=CD，求：∠AEB的度数．
8．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠A的平分线，则AC+CD=AB，请说明理由．
9．已知：如图，AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，E为线段AB上一点，且有AC=BE，CE=DE，试说明CE⊥ED．
10．如图，在△ABC中，AB=7，BC=24，AC=25，(1)在△ABC内是否存在一点P到各边的距离相等，如果存在，请作出这一点，并说明理由．（2)求出这个距离．
11．已知：如图，点0到△ABC的两边AB，AC，所在直线的距离相等，且OB=OC．
(1)如图(1)，若点0在边BC上，请说明AB=AC的理由；
(2)如图(2)，若点O在△ABC的内部，请说明AB=AC的理由；
(3)若点0在△ABC的外部，AB=AC成立吗 请说明理由．
1．【2010·益阳】如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB．下列确定P点的方法正确的是 ( )
A．P为∠A，∠B两角平分线的交点
B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
C．P为AC，AB两边上的高的交点
D．P为AC，AB两边的垂直平分线的交点
2．【2009·怀化】如图，P是△BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．
求证：(1)PE=PF；(2)点P在∠BAC的角平分线上．
参考答案
2.7直角三角形全等的判定
【课前热身】
1．斜边 直角边 HL 2．这个角的平分线上 3．SAS ASA AAS HL 4．AC=BD HL AD=BC HL ∠ACD=∠BDC AAS 5．5cm
【课堂讲练】
典型例题l 解：∵∠A=∠D，AB=DC，BC=BC ∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL) ∴∠ACB=∠DBC ∴△ECB是等腰三角形(有两个角相等的三角形是等腰三角形)
巩固练习l 解：AB∥CD，理由：∵DE⊥AC，BF⊥AC ∴△CDE和△AFB是Rt△ ∵AB=CD，DE=BF ∴Rt△CDE≌Rt△ABF(HL) ∴∠C=∠A ∴AB∥CD
典型例题2 解：作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于F． ∵BP平分∠ABC ∴PD=PE
同理，PE=PF ∴PD=PF ∴AP平分∠BAC
巩固练习2 解：∵DF⊥AB，DE⊥AC ∴△DBF和△DCE都是直角三角形 ∵D是BC的中点 ∴DB=DC 又∵BF=CE ∴Rt△DBF≌Rt△DCE(HL) ∴DF=DE ∴点D在∠BAC的平分线上
(到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)
【跟踪演练】
1．C 2．C 3．D 4．B 5．Rt△ABE≌Rt△CDF 6．AC=DE ∠ACB=∠E AB=DB 7．60° 8．解：由AD⊥OB，BE⊥OA，得∠AEP=∠BDP=90° 又∠APE=∠DPB，PA=PB ∴△APE≌△BPD(AAS) ∴PE=PD ∴0P平分∠AOB(到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上) 9．解：∵AD⊥BD，AE⊥CE ∴∠E=∠D=90° AE=AD AB=AC ∴△AEC≌△ABD ∴∠ABD=∠ACE ∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB ∴∠OBC=∠OCB ∴OB=OC 10．解：作三个角的角平分线角平分线的交点即所求位置
2．7提高班习题精选
【提高训练】
1．D 2．B 3．C 4．6cm 5．4 6．①②③④ 7．解：由AD⊥BC，BF=AC，FD=CD，可得Rt△BDF≌Rt△ACD(HL) ∴∠FBD=∠CAD ∴∠AEB=∠FBD+∠C=∠CAD+∠C=90°8．解：过D作DE⊥AB于点E 由∠C=90°，AC=BC,知∠B=90° 又∵DE⊥AB ∴△BED是等腰Rt，BE=DE ∵AD是∠A的平分线 ∴DE=CD AE=AC ∴AC+CD=AE+BE=AB 9．解：∵AC⊥AB，BD⊥AB ∴△ACE和△BDE都是Rt△ ∵CE=DE，AC=BE ∴Rt△ACE≌Rt△BDE(HL) ∴∠C=∠DEB ∴∠CED=180°-∠AEC-∠DEB=180°-∠AEC-∠C=90°∴CE⊥ED 10．解：(1)存在，作内角的角平分线，它们的交点即为点P (2) ∵AB2+BC2=AC2 ∴∠B=90° 设这个距离为d，则S△ABC=S△APC+S△BPC+S△ABP ∴=++ ∴d=3 11．解：(1)过点0分别作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E、F，由题意可知0E=OF，OB=OC ∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL) ∴∠B=∠C ∴AB=AC (2)过点0分别作0E⊥AB，OF⊥AC, E，F为垂足，则易证Rt △OEB≌Rt △OFC ∴∠0BE=∠OCF，又OB=OC ∴∠0BC=∠OCB ∴∠ABC=∠ACB ∴AB=AC (3)不一定成立，只有当∠A的平分线所在直线与边BC垂直平分线重合时，才有AB=AC，否则，AB ≠AC．
【中考链接】
1．B 2．证明： (1)连结AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP=∠AFP=90°．又AE=AF，AP=AP，∴Rt△AEP≌Rt△AFP．∴PE=PF．(2) ∵PE=PF，PE⊥AB，PF⊥AC，∴P在∠BAC的角平分线上．
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