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2．6探索勾股定理(1)
1．勾股定理：直角三角形两条直角边的________等于斜边的________．如果a，b为直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，则__________________.
2．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=4，则c=_____；若a=6，c=10，则b=_______．
3．正方形的边长为5，则该正方形的对角线长为_________．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，则直角边AC的长
为________.
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，若两条直 角边a：b=3：4，斜边c=10， 则 △ABC 的面积为_________．
典型例题1 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为以，b，c．
(1)若a=30，c=50，求b；
(2)若a：b=8：15，c=34，求a．
巩固练习1 求出下列直角三角形中未知边的长度．
典型题例2 如图，在两墙之问有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC=60°，∠DAE=45°，点D到地面的垂直距离DE=3，求点B到地面的垂直距离BC的长度．
巩固练习2 分别以Rt△ABC的三边为直径向外作三个半圆，请说明S1+S2=S3．
一、选择题
1．已知一直角三角形的两条边为3，4，则另一条边的长为( )
A．5 B． C．或5 D．无法判断
2．直角三角形两直角边的长分别为6和8，则此直角三角形斜边上的中线长为 ( )
A．3 8．4 C．5 D．6
3．已知等腰三角形的腰长为l3，底边上的高为12，则底边长为 ( )
A．8 8．5 C．10 D．11
4．如图，在山坡上种树，已知∠A=30°，AC=3cm，则相邻两棵树之间的坡面距离AB为 ( )
A．6m B°再mC．2厢m D．2以‘m
二、填空题
5．已知：如图，直角三角形ABC的两直角边长AB=5，BC=7，则这个直角三角形的斜边为边的正方形面积为__________.
6.如图，为了测出湖两岸A，B间的距离，一个观测者在C处设桩，使三角形ABC恰为直角三角形，通过测量测得到AC的长为160m，BC的长为128m，那么从点A穿过湖到点B的距离为__________m．
7．一个直角三角形的三边长是不大于l0的三个连续偶数，则它的周长为__________．
三、解答题
8．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，若AD⊥BC，求AD的长．
9．如图，一根旗杆在离地面9m处的C点断裂，旗杆顶部 落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前有多高
10．一架云梯长25m，斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直高度为24m．
(1)梯子底端离墙多远
(2)如果梯子顶端下滑了4m，那么梯子底部在水平方向也滑动了4m吗 请通过计算加以说明．
2．6探索勾股定理(2)
1．如果三角形中两边的平方和等于第三边的______，那么这个三角形是________；且最大边所对的角是_____________．
2．若一个三角形的三条边分别为6cm，8cm，lOcm，则这个三角形是______________．
3．能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数，如3，4，5；6，8，10．请再列举两组勾股数_________、_______________.
4．一块三角形水稻田的三边长为5m，12m，13m，则这块稻田的面积为___________m2．
5．在△ABC中，a 2=(c+b)(c-b)，那么△ABC是______,c是_______边.
，f是 边．
典型例题1 根据下列条件，分别判断以以，b，C为边的三角形能否构成直角三角形．
(1)a=, b=，c=；
(2)a=1，b=，c=2.
巩固练习1 根据下列条件，分别判断以a，b，C为边的三角形能否构成直角三角形．
(1)a=1，b=,c=2；
(2)a=5，b=6，c=10；
(3)a：b：c=1：1：
典型例题2 已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC=4，BC=3，BD=．(1)求CD的长；(2)求AD的长；(3)判断△ABC是否是直角三角形，并说明理由．
巩固练习2 如图，在△DEF中，已知DE=17cm，EF=30cm，EF边上的中线DG=8cm，试说△DEF是等腰三角形．
一、选择题
1．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )
A．5，7，8 B．1，2，3 C．，， D．，，2
2．三角形的三边长满足(a+b)2一c2=2ab，则此三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
3．下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是( )
A．∠A=∠C=45°
B．AC2+BC2=AB2
C．∠A：∠B：∠C=3：4：5
D．a：b：c=3：4：5
4．将直角三角形的三边长都扩大3倍后，得到的三角形是 ( )
A．钝角三角形 B．可能是锐角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
二、填空题
5．一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形最长边上的高为_______．
6．已知|x-9|+(y-12)2+=0，则以x，y，z为三条边的三角形是_______三角形．
7．下列结论：①在△ABC中，∠C=∠A一∠B，则△ABC为直角三角形；②在△ABC中，∠A：∠B：∠C=5 ：2：3，则△ABC为直角三角形；③在△ABC中，若a= c，b=c，则△ABC为直角三角形；④在△ABC中，若a：b：c=1：1：2，则△ABC为直角三角形，其中
正确的有____________．(填序号)
三、解答题
8．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2 c2-b2c2=a4-b4，请判断△ABC的形状，并说明理由．
9.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=AB=4，BC=6，CD=2，求∠ADC的度数．
10．如图，∠A=∠D=90°，AB=CD=24，AD=BC=50，E是AD上一点，且AE：ED=9：16，试猜想∠BEC是锐角、钝角还是直角 请说明你的猜想．
2．6提高班习题精选
1．从长度为9，12，15，36，39的五根木棒中，选出三根首尾连接，能组成直角三角形的个数有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若△ABC的三边a，b，c满足(a一b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是 ( )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形
3．如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF=cm，则AD的长为( )
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
4．已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为________．
5．如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点，若AB=13，BD=5，AD=12，BC=14，则AC=_____.
6．边长为4cm的正三角形的面积为_________．
7．如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边分别为AB=6，BC=8，将直角边AB折叠，使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD=___________．
8．如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为CD的四等分点，连结AE，AF，EF，请说
明△AEF是直角三角形．
9．有一块菜地，地形如图所示，试求它的面积S．
10．若△ABC的三边a，b，C满足条件：a2+b2+c2+338=10a+24b+26c．试判断△ABC的形状，并说明理由．
11．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，斜边上的高CD长为h．试说明：
12．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ．
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由．
(2)若PA=3，PB=4，PC=5，连结PQ，判断△PQC的形状并说明理由．
1．【2010·钦州】如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为 ( )
A．4cm B．5cm C．6cm D．10cm
2．【2010·河池】如图是用4个全等的直角三角形与l个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．
其中说法正确的是 ( )
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
参考答案
2.6 探索勾股定理(1)
【课前热身】
1．平方和 平方 a2+b2=c2 2．5 8 3． 4． 5.24
【课堂讲练】
典型例题l 解：(1)b= ==40(2)设a=8x, b=15x (8x)2+(15x)2=342，得x=2 ∴a=16
巩固练习l 解：(1)x= =15 (2)y= =8
典型例题2 解：∵△ADE为等腰直角三角形 DE= ∴AD==6m ∴AB=AD=6m ∵∠BAC=60°∴AC=AB=3m ∴BC==m
巩固练习2 解：∵S1=π(AC)2=AC2 S2=π（BC）2=BC2 S3=π（AB）2=AB2 又∵∠ACB=90° ∴AC2+BC2=AB2 ∴S1+S2=S3
【跟踪演练】
1．C 2．C 3．C 4．C 5．74 6．96 7．24 8．解：∵AB=AC，AD⊥BC ∴BD=BC=3 在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°∴AD= ＝=4 9．解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°∴AB= == 15 ∴旗杆的长=9+15=24(m) 10．解：(1)在Rt△AOB中，∵∠O=90°∴0B===7（m） (2) 在Rt△A′B′O中，∠O=90°
A′0=24—4=20 A′B′=25 ∴B′O==15 ∴BB′=B′0-BO=15—7=8(m)
即梯子底部在水平方向滑动了8m
2．6探索勾股定理(2)
【课前热身】
1．平方 直角三角形 直角 2．直角三角形 3．5、12、13 7、24、25等 4．30 5．直角三角形 斜
【课堂讲练】
典型例题l 解：(1) ∵ ∴能构成直角三角形 (2)a2+c2=1+4=5 b2=5 ∵a2+c2= b2 ∴能构成直角三角形
巩固练习l 能构成直角三角形 不能构成直角三角形 能构成直角三角形
典型例题2 解：(1) ∵CD⊥AB ∴∠CDB和∠CDA都是直角 在Rt△CDB中，CD2=CB2-BD2=32 -= ∴CD= (2)在Rt△ACD中 ∵AC=4，CD= ∴AD2=AC2-CD2=42- = ∴AD= (3) 在Rt△ABC中，∵AB= =5 AB2=25=AC2+BC2 ∴△ABC是直角三角形
巩固练习2 解：∵DG为EF中线 EF=30cm ∴EG=15cm ∵DE=17cm DG=8cm ∴DG2+EG2=DE2 ∴△DEG为直角三角形 ∴DG⊥EF 又∵G为EF中点 ∴△DEF是等腰三角形
【跟踪演练】
1．D 2．B 3.C 4．C 5．4.8 6．直角 7．①②③ 8．解：由a2 c2－b2c2=a4—b4得(a2—b2)c2=(a2+b2)(a2一b2) ∴a2一b2=0或a2+b2=c2 当a2一b2=0时得a=b ∴△ABC是等腰三角形当a 2+b2=c2时，时得△ABC是直角三角形 ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形 9．解：连结DB ∵AD=AB=4 ∠A=90°∴△ADB是等腰直角三角形∠ADB=45°DB=在△BCD中，∵CD2+BD2＝32+4=36=BC2 ∴∠BDC=90°∴∠ADC=∠ADB+∠CDB=45°+90°=135° 10．解：∠BEC是直角，理由：∵AD=50，AE：ED=9：16 ∴AE=18 ED=32 ∵BE2=AB2+AE2 =900 CE2=DE2+CD2=1600 ∴BE2+CE2=2500=BC2 ∴∠BEC=90°
2．6提高班习题精选
【提高训练】
1．B 2．D 3.C 4． 5．15 6．cm 7．3 8．解：设正方形的边长为4a，则DF=3a，CF=a，EC=2a ∴AF=5a EF= AE= ∴AE2+EF2=AF2 ∴△AEF为直角三角形 9．解：连结BC，由∠CDB=90°，CD=3，DB=4，得BC=5，又∵AC=12 AB=13 ∴∠ACB=90°∴S=S△ACB—S△DCB=＝30－6=24 10．解：由题意得(a2-10a+25)+(b2-24b+144)+(c2-2bc+169)=0 得（a-5）2+(b-12)2+(c-13)2=0 得a=5 b=12 c=13 ∵a2+b2=c2 ∴△ABC是直角三角形 ll．证明：∵S△ABC = ∴ ∴ ∴结论成立 l2．解：(1)AP=CQ ,理由：∵△ABC为正三角形 ∴AB=BC ∠ABC=60° 又∵∠CBQ=60°∴∠ABC=∠PBQ，从而得∠ABP=∠CBQ 又∵BP=BQ ∴∠ABP≌∠BQC ∴AP=CQ (2) △PQC是直角三角形，理由：连结PQ，易证△BPQ为等边三角形 ∴PQ=BP ∵PA=3，PB=4，PC=5 ∴PQ2+QC2=PC2 ∴△PQC为Rt△
【中考链接】
1． B 2．B
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2．5直角三角形(1)
1．_____________________________的三角形是直角三角形．
2．直角三角形的两锐角___________，反过来，有两个角互余的三角形是______________．
3．在△ABC中，∠C=90°，∠A=48°，则∠B=_______．
4．等腰直角三角形的锐角等于_____________．
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，则图中的直角三角形共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如果三角形的三个内角的度数之比为1:2:1，那么，这是_________三角形．
典型例题1 已知：如图，在等腰直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的高，若△ABC的面积为16．求AD的长．
巩固练习1 在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A－∠B=20°，求∠A和∠B的度数．
典型例题2 如图所示，已知△ABC中，点A在DE上，CD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别是点D，E，且AD=BE，CD=AE．△ABC是等腰直角三角形吗 请说明理由．
巩固练习2 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB于点D，CD与AE相交于点F．问：△CEF是等腰三角形吗 请说明理由．
一、选择题
1．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，则图中与∠C相等的角有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：5：7，则△ABC是( )
A.锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
3．已知：如图，△ABC为Rt△，∠C=90°，∠B=50°，若用图中的虚线剪去∠A，则∠1+∠2= ( )
A．200° B．220° C．240°D．260°
4．如图，是一个4×4的方格图，点A，点B都在格点上，要求在格点上再找到一点C，使△ABC为等腰Rt△，则选择的点C有 ( )
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
二、填空题
5．直角三角形的两个锐角之差是l2°，则较大的一个锐角
的度数是_______．
6．已知：如图，△ABC中，∠C=Rt∠，把△ABC绕点C逆时针旋转36°，则∠ACB ′=_____．
7．如图，在锐角△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，且∠BOC=130°，则∠A=_____．
三、解答题
8．在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的4倍，求该直角三角形两个锐角的度数．
9．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线ED交BC于点D，且,∠CAD：∠CAB=1：5，求∠B的度数．
10．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，则PE和PF相等吗 请说明理由．
2．5直角三角形(2)
1．直角三角形斜边上的_________等于斜边的_____________．
2．在直角三角形中，如果一个角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的_____________．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，CD=3，则AB=________．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，则图中等腰三角形有 ．
5．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，CE是AB边上的高，∠A=26°，则∠DCE=________.
典型例题1 如图，△ABD和△ABC中，∠ACB=∠ADB=Rt∠，E是AB边上的中点，请你说明CE=DE的理由．
巩固练习1 已知：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，DE是△ACD的中线，则DE∥BC，请说明理由．
典型例题2 如图所示，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，则BF=2CF，请说明理由．
巩固练习2 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，D是AB的中点，△BCD的周长是l8，则AB的长是_______.
一、选择题
1．把等边三角形ABC一边AB延长一倍到D，则△ADC是 ( )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
2．如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD是BC边上的中线，E为AB的中点，AC=6，则DE= ( )
A．2 B．3 C．4 D．6
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=4∠B，AD⊥AC，垂足为A，则∠ADC的度数为 ( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
4．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到点D，使
CD=AC，则AC与BD的长度之比为( )
A．1：1 B．3：1 C．4：1 D．2：3
二、填空题
5．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB的中线，∠BDC=110°，则∠A=_____，∠B=______．
6. 在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，BC=4，那∠AB=_______．
7. 已知等腰直角三角形的斜边长为8，则该三角形的面积为_________．
三、解答题
8．如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高，求CD的长．
9．如图，在△ABC中，∠=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6， 求CD的长.
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD是斜边AB上的中线，DE⊥AC，则BC=2DE，试说明理由．
2．5提高班习题精选
1．已知，如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，若∠A=35°，则∠BCD为 ( )
A．35° B．55° C．65° D．75°
2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∠B=60°，则AD= ( )
A．BD B．2BD C．3BD D．4BD
3．如图，在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于点
E，EF∥AC，则下列结论中一定成立的是 ( )
A．AB=BF B．AE=ED C．AD=DC D．∠ABE=∠DFE
4．在△ABC中，AB=AC=6，∠A=30°，则△ABC的面积为______.
5．如图，已知∠BAC=90°，AC=30°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，BE=1，则BC=______．
6．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=20°，AD⊥AC，垂足为A，交BC于D，若AB=4，则CD=_______．
7．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=10，沿DE折叠，使得点A与点B重合，则折痕DE的长为_________．
8．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，E，F分别为AB，AC上的点，且BE=AF，则△DEF为等腰直角三角形，请说明理由．
9．如图，把直角三角形分成4个面积相等的直角三角形，用两种不同的方法，并标上相应的线段或角度标志．
10．如图，在Rt△ABC中，CD，CE分别是斜边AB上的高线和中线，CF是∠ACB的平分线，试说明CF是∠DCE的平分线的理由．
1．【2010·山西】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，CD=4cm，则AB=_______cm．
2．【2009·温州】如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是 ( )
A．7+ B．10 C．4+2 D．12
参考答案
2．5直角三角形(1)
【课前热身】
1．有一个角是直角 2．互余 直角三角形 3．42° 4．45° 5．C 6．等腰直角三角形
【课堂讲练】
典型例题l 解：∵△ABC是等腰Rt△，AD⊥BC ∴AD=BD=CD ∵S△ABC=l6 ∴=16即AD2=16 ∵AD＞0 ∴AD=4
巩固练习l 解：∵△ABC为直角三角形且∠C=90°∴∠A+∠B=90° ∵∠A-∠B=20° ∴2∠A=110°即∠A=55°∠B=35°
典型例题2 解：∵CD⊥DE BE⊥DE ∴∠D=∠E=90° ∵AD=BE CD=AE ∴△ACD≌△BAE ∴∠DAC=∠EBA AC=AB ∵∠BAE+∠EBA=90°∴∠DAC+∠BAE=90° ∴∠CAB=90° ∴△ABC是等腰直角三角形
巩固练习2 解：△CEF是等腰三角形，理由：∵AE平分∠CAB ∴∠l=∠2 ∵CD⊥AB ∴∠2+
∠AFD=90°∵∠ACB=90°∴∠1+∠AEC=90°∴∠AEC=∠AFD=∠CFE ∴△CEF是等腰△
【跟踪演练】
1．B 2．C 3．B 4．C 5．51° 6．126° 7．50° 8．解：设两锐角为x和4x 则x+4x=90°，x=18°∴两锐角分别为18°和72° 9．解：∵DE是AB的中垂线 ∴∠DBE=∠DAB ∵∠CAD：∠CAB=1：5 ∴设∠CAD=x 则∠DAB=4x ∵∠C=90° ∴∠B+∠BAC=90°得4x+5x=90°∴x=10°∴∠B=4x=40° l0．解：PE=PF，理由：连结AP，由∠EAP=∠C=45°AP=CP
∠APE=∠CPF，得△AEP≌△CFP ∴PE=PF
2．5直角三角形(2)
【课前热身】
1．中线 一半 2．一半 3．6 4．△ACD和△BCD 5．38°
【课堂讲练】
典型例题l 解：在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，E是AB边上的中点，∴CE=AB，DE=AB ∴CE=DE
巩固练习l 解：在Rt△ABC中 ∵CD是斜边上的中线 ∴CD=AB=AD ∴△ACD是等腰三角形 ∵DE是△ACD的中线 ∴DE⊥AC(等腰三角形三线合一) 又∵BC⊥AC ∴DE∥BC
典型例题2 解：连结AF, ∵AB=AC ∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°∵EF为AC中垂线 可
得AF=CF ∴∠CAF=30°∴∠BAF=90°∵∠B=30°∴BF=2AF=2CF
巩固练习2 13
【跟踪演练】
1．B 2．B 3．C 4．D 5．55°35°6．8 7．16 8．解：∵AB=AC=2a ∠ABC=∠ACB=15°∴∠DAC=30°∴CD=AC=×2a =a
9．解：∵∠C=90°∠ABC=60°∴∠A=30°∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD=30°∴AD=BD=6在Rt△BCD中，∵∠CBD=30°∴CD=BD=3 10．解：∵∠ACB=90°∠A=30°∴BC=AB 又∵CD是AB边上的中线 ∴AD=CD ∵DE⊥AC ∴DE=CD=AB ∴BC=2DE
2．5提高班习题精选
【提高训练】
1．B 2．C 3．A 4．9 5．8 6．8 7．10／3 8．解：连结AD，∵∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点 ∴∠B=∠DAC=45°，BD=AD又∵BE=AF ∴△BED≌△AFD(SAS) ∴∠BDE=∠ADF，DE=DF 则∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°∴△DEF为等腰Rt△ 9.
10．解：∵∠ACD=∠B，∠ECB=∠B ∴∠ACD=∠ECB ∵∠ACF=∠BCF
∴∠ACF-∠ACD=∠BCF=∠ECB，即∠FCD=∠ECF ∴CF是∠DCE的平分线
【中考链接】
1．8 2．B
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2．3等腰三角形的判定
1．有两条边相等的三角形是__________三角形．
2．有__________个角相等的三角形是等腰三角形，简单地说，在同一个三角形中,_____________________________________．
3．在△ABC中，若∠B=∠C，则________=________．
4．在△ABC中，已知∠A=50°，∠B=80°，则△ABC是________三角形；_______是底边．
5．如果一个三角形有两个外角相等，那么这个三角形是_________三角形．
6．如图，已知∠A=36°，∠1=36°，∠C=72°，则∠2=__________，图中的等腰三角形共有_______个．
典型例题1 已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC，那么△ABC是等腰三角形，请说明理由．
巩固练习1 已知：如图，C是∠AOB的平分线上的一点，CD∥08交OA于点D，请说明△COD是等腰三角形．
典型例题2 如图，在△ABC中，BC=10，B0和C0分别是∠ABC和∠ACB的平分线，OD∥AB，OE∥AC，求△ODE的周长．
巩固练习2 如图，在等腰三角形ABC中，两底角的平分线BE和CD交于点0，则△OBC是什么三角形 请说明理由．
一、选择题
1．根据下列条件，能判断△ABC是等腰三角形的是 ( )
A．∠A=80°，∠B=60° B．∠A=70°，∠B=40°
C．∠A=30°，∠B=90° D．∠A=55°，∠B=75°
2．如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=70°．两个底角的角平分线交于点0．则∠BOC=( )
A．100° B．115° C．125° D．130°
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，∠ADB=72°，DE平分∠ADB，则图中等腰三角形的个数是( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点0，过0作DE∥BC，若DE=6，则BD+CE= ( )
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
5．△ABC中，∠A=30°，当∠B=________时，△ABC是等腰三角形．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E是BC边上的两点，且AD=AE=BD=CE，那么图中与∠B相等的角有_______个，分别是_____________________________________________.
7．三角形一个角的平分线垂直于对边，那么这个三角形是________________．
三、解答题
8．如图，AB与CD交于点0，AC∥BD，OA=OC．则△ODB是等腰三角形，请说明理由．
9．如图，已知CD平分∠ACB，AE∥DC，交BC的延长线于点E．那么△ACE是等腰三角形吗 试说明理由．
10．如图1，已知AB=AD，∠ABC=∠ADC，则CB=CD，请说明理由．
2．3提高班习题精选
1．以等腰三角形ABC一腰上的高为腰，另一腰为底恰好构成一个等腰三角形，则等腰三角形ABC的顶角是
( )
A．45° B．60° C．65° D．30°
2．在△ABC中，不能判定是等腰三角形的是 ( )
A．∠A：∠ B：∠C=1：1：3 B．a：b:c=2：2：3
C．∠8=50°，∠C=80° D．2∠A=∠B+∠C
3．如图，在△ABC中，已知AB=AC，DE是AC的中垂线，分别交AB，AC于E，D，若△BCE的周长为l8，AC=10，则BC= ( )
A．8 B．9 C．10 D．11
4．如图，AD=BC=BA，那么∠l与∠2之间的关系是 ( )
A．∠l=2∠2 B．2∠1+∠2=180°
C．∠l+3∠2=180° D．3∠1-∠2=180°
5．如图，△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点0，过点0作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，AB=7，AC=BC=6，则△AEF的周长是________.
6．等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为__________．
7．如图(1)，AB=AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，则：(1)图中有_______个等腰三角形；(2)若过D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，则图(2)中又增加了________个等腰三角形．
8．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，P1与P关于OA对称，P2与P关于0B对称，则∠PlPP2=_______．
9．如图，已知AB=AC，若CE=BD，则GE=GD，请说明理由．
10．如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点0，给出下列四个条件：①∠EBD=∠DCO；②∠BEO=∠CD0；③BE=CD；④0B=OC．
(1)上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形 (用序号写出情形)
(2)选择第(1)小题中的一种情形，试说明△ABC是等腰三角形．
11．在长方形中作等腰三角形，使等腰三角形的一条边是长方形的长或宽，第三个顶点在长方形的边上．(形状大小相同的三角形按一种计算)
1．【2010·广州】如图，BD是△ABC的角平分线，∠ABD=36°，∠C=72°，则图中的等腰三角形有______个．
2．【2010·株洲】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是 ( )
A．6 B．7 C.8 D．9
参考答案
2．3等腰三角形的判定
【课前热身】
1．等腰 2．两 3.等角对等边 4．等腰 ABAC 5．等腰 6．72° 3
【课堂讲练】
典型例题l 解：∵AD∥BC ∴∠l=∠B ∠2=∠C 又∵AD平分∠EAC ∴∠l=∠2 ∴∠B=∠C ∴AB=AC ∴△ABC是等腰三角形
巩固练习l 解：∵OC平分∠AOB ∴∠AOC=∠BOC ∵CD∥OB ∠BOC=∠DC0 ∴∠AOC=∠DC0 ∴△COD是等腰三角形
典型例题2 解：∵OB平分∠ABC ∴∠AB0=∠CB0 又∵OD∥AB ∴∠BOD=∠AB0 ∴∠BOD=∠CB0 ∴BD=CD(在同一个三角形中等角对等边) 同理CE=OE ∴l△ODE=OD+OE+DE
∴BD+DE+CE=BC=10
巩固练习2 解：△OBC是等腰三角形，理由如下：∵∠ABC是等腰三角形 ∴∠ABC=∠ACB(等腰三角形的两个底角相等) 又∵BE和CD是两底角的平分线 ∴∠OBC=∠ABC ∠OCB=+∠ACB ∴∠0BC=∠OCB ∴△OBC是等腰三角形
【跟踪演练】
1．B 2．C 3．C 4．B 5．30°若75° 6．4∠C、∠DAE、∠BAD、∠EAC 7．等腰三角形 8．解：∵AC∥BD ∴∠A=∠B，∠C=∠D ∵OA=OC ∴∠A=∠C(在同一个三角形中，等边对等角) ∴∠B=∠D ∴△ODB是等腰三角形(有两个角相等的三角形是等腰三形) 9．解:△ACE是等腰三角形，理由如下：∵CD平分∠ACB ∴∠BCD=∠ACD ∵AE ∥DC ∴∠BCD=∠E，∠ACD=∠CAE ∴∠E=∠CAE ∴△ACE是等腰三角形 10．解：连DB ∵AB=AD ∴∠ADB∠ABD 又∵∠ABC=∠ADC ∴∠CDB=∠CBD ∴CB=CD(在同一个三角形中，等角对等边)
2．3提高班习题精选
【提高训练】
1．A 2．D 3．A 4．B 5．13 6．60°或120°7．2 3 8．60°9．解：过D作DF∥AE，交BC于F，∴∠BFD=∠ACB ∵AB=AC ∴∠ACB=∠B ∴∠B=∠BFD ∴DB=DF ∵BD=CE ∴DF=CE ∵DF∥AE ∴∠FDE=∠E 又∵∠DGF=∠CGE ∴△DFG≌△CGE ∴GE=GD 10．解(1)①③或①④或②③或②④ (2)如②④ ∵0B=OC ∴∠0CB=∠OBC 又∵∠BEO=∠CD0，BC=CB ∴△EBC≌△DCB ∴△ABC是等腰三角形
11．如图：
【中考链接】
1．3 2．C
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2．2等腰三角形的性质
1．等腰三角形的两个______角相等，也就是说，在同一个三角形中，________________．
2．等腰三角形的顶角________，底边上的______和______互相重合，简称____________________________.
3．等腰三角形的底角是50°，则顶角是_________．
4．在△ABC中，AB=AC．若∠A=70°，则∠C=__________．
5．(1)如图，已知AB=AC，∠l=∠2， BD=5cm，那么BC=__________．
(2)如图，已知AB=AC，AD⊥BC，∠1=28°，则∠BAC=__________．
典型例题1 如图，已知在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠C=20°，求, ∠BAD的度数．
巩固练习1 如图，在△ABC中，AB=AC，BE和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，则BE=CD，请说明理由．
典型例题2 如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E，AB=AE，BC=DE，M为CD中点，则AM⊥CD吗 请说明理由．
巩固练习2 如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，A0的延长线交BC于点D．试说明AD⊥BC，BD=CD．
一、选择题
1．在△ABC中，AB=BC，∠A=80°，则∠B= ( )
A．100° B．80° C．20° D．80°或20°
2．等腰三角形的一个外角为l40°，则顶角的度数为 ( )
A．40° B．40°或70° C．70° D．40°或l00°
3．如图，AB=AC，BD=BC，若∠A=40°，则∠ABD的度数是 ( )
A．20° B．30° C．35° D．40°
4．如图，在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是 ( )
A．15° B．30° C．50° D．65°
二、填空题
5.已知，如图，在△ABC中，AB=AC，(1)若AD是BC边上的中线，则∠ADC=__________；(2)若AD⊥BC，BD=2cm，则BC=__________．
6．已知一个等腰三角形的顶角是底角度数的，则顶角的度数为_____.
7.等腰三角形的一个内角等于120°，则另两个角的度数分别是________.
三、解答题
8．如图，已知△ABC中，AB=AC，D是AC上一点，且AD=BD=BC．求∠A的度数．
9．如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在AB，AC上，且AD=AE，则DE∥BC吗 请说明理由．
10．如图，AB=AC，AD=AE，请说明BD=CE的理由．
2．2提高班习题精选
1．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于 ( )
A．90°
B．75°
C．60°
D．45°
2．若等腰三角形的顶角为a，则它一腰上的高与底边的夹角等于 ( )
A．90°－α B． C．90°- D．
3．如图，在△ABC中，AB=AC，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=145°,则∠EDF=_______．
4．如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中最大角的度数是——．
5．如图，在△ABC中，AC=BC，∠BAC的外角平分线AD交BC的延长线于点D，若∠ADC=
∠CAD，则∠ABC=______．
6．(1)等腰三角形的一个角是32°，求底角．
(2)等腰三角形的一个角是l00°，求底角．
(3)作为等腰三角形的顶角，应在什么范围内 而作为一个等腰三角形的底角，应在什么范围内
7．已知：如图所示，在△ABC中，E是AB延长线上的一点，AE=AC，AD平分∠EAC，BD=BE，则∠ABC=2∠C，请说明理由．
8．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，
(1)如图(1)，若∠α=35°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠β=______；
(2)如图(2)，若∠α=46°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠β=______；
(3)如图(3)，D为BC上任意一点．请你思考，在△ABC中，若AB=AC，AD=AE，则∠α和∠β之间有什么关系 如果有，请你写出来，并说明你的理由．
9．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是△ABC内一点，点E和点D在AC的异侧，并且AD=AE，∠AED=∠ACB，则BD=CE吗 请说明理由．
1．【2010·深圳】如图，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°，则∠B的度数是 ( )
A．40° B．35° C．25° D．20°
2．【2010·黄石】如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为________.
参考答案
2.2等腰三角形的性质
【课前热身】
1．底 等边对等角 2．平分线 中线 高 等腰三角形三线合一 3．80° 4．55° 5．(1) 10cm (2) 56°
【课堂讲练】
典型例题1 解∵AB=AD ∴∠B=∠ADB ∵AD=DC ∴∠DAC=∠C=20° ∵∠ADB=∠C+∠DAC ∴∠ADB=2∠C=40°∵∠BAD+∠B+∠ADB=180°∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-40°-40°=l00°
巩固练习1 解：∵AB=AC(已知) ∴∠ABC=∠ACB(在同一个三角形中，等边对等角) ∵BE和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线 ∴∠BCD=∠CBE ∵BC=CB ∴△BDC≌△CEB(ASA) ∴BE=CD
典型例题2 解：AM⊥CD 理由：连结AC、BD AB=AE ∠B=∠E BC=DE ∴△ABC≌△AED
∴AC=AD(全等三角形的对应边相等) 又∵MC=MD ∴AM⊥CD(等腰三角形三线合一)
巩固练习2 解：在△AOB和△AOC中 ∵ ∴△AOB≌△AOC(SSS) ∴∠BAD=∠CAD ∴AD⊥BC BD=CD(等腰三角形三线合一)
【跟踪演练】
1．C 2．D 3．B 4．A 5．90°4cm 6．20° 7．30°30° 8．解：设∠A=x ∵AD=BD ∴∠ABD=∠A=x ∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C=2x ∵∠A+∠ABC+∠C=180° ∴ x=36° 即∠A=36° 9．解：DE∥BC ∵AB=AC ∴∠B= ∠C ∵AD=AE ∴∠ADE=∠AED ∵∠A+∠ADE+∠AED=∠A+∠B+∠C=180°∴2∠ADE=2∠B 即∠ADE=∠B ∴DE∥BC 10．解：方法一:作AF⊥DC于F，根据等腰三角形三线合一 ∵AB=AC ∴BF=CF ∵AD=AE ∴DF=EF ∴BD=CE 方法二: ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵AD=AE ∴∠ADE=∠AED ∴∠ADB=∠AEC ∴△ABD≌△AEC ∴BD=CE
2.2 提高班习题精选
【提高训练】
1．C 2．D 3．55° 4．125° 5．36° 6．解：(1)32°或74°(2)40°(3)顶角可以是大于0°而小于180°，而底角是大于0°而小于90° 7．解：AE=AC，AD=AD，∠EAD=∠CAD ∴△AED≌△ACD(SAS) ∴∠E=∠C 又∵BD=BE ∴∠E=∠BDE ∴∠ABC=∠E+∠BDE=2∠E=2∠C 8．解：(1)17.5° ( 2)23°( 3) ∠β=∠α理由：∠β=∠AED-∠C=∠ADE-∠C=∠ADC-∠β-∠C=∠β+∠α-∠β-∠C=∠α-∠β∴2∠β=∠α ∠β=∠α9．解：∵AB=AC，AD=AE ∴△ABC和△ADE均为等腰三角形 ∵∠AED=∠ACB ∠BAC=180°-2∠ACB，∠DAE=180°-2∠AED ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即∠BAD=∠CAE∵ →△ABD≌△ACE ∴BD=CE l0．(1)，(3)，(4)可以 (2)不可以 图略
【中考链接】
1．C 2．45°
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第2章 特殊三角形
2．1 等腰三角形
1．_______________________________叫做等腰三角形．
2．等腰三角形是_________图形，它的对称轴是_____________________________________.
3．如图，在△ABC中，AB=AC，则腰是______，底边是_____，顶角是________，底角是_______．
4．如图，已知AD=BD=BC，则图中共有_____________个等腰三角形，AB是_________的底边，∠DBC是__________的顶角．
5．等腰三角形的周长为l0，底边长是3，则它的腰长为______________.
典型例题1 如图，AB，AC是等腰三角形ABC的两腰，AD平分∠BAC，△BCD是等腰三角形吗 为什么
巩固练习1 已知：如图，在△ABC中，D在边AC上，AB=AC，AD=BD=BC，则图中有哪几个等腰三角形 说出每个等腰三角形的腰、底边、顶角和底角．
典型例题2 如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD为∠BAC的平分线，E为AD上一点，则∠ABE与∠ACE的大小关系怎样 请说明理由．
巩固练习2 如图，已知直角△ABC，请以直线AC为对称轴，作出与△ABC轴对称的图形，所得的图形与原图形组成的三角形是等腰三角形吗 请说明理由．
一、选择题
1．已知等腰三角形的一边长为2，周长为8，那么它的腰长为 ( )
A．2 B．3 C．2或3 D．不能确定
2．如图，在正方形ABCD中，AC，BD交于点O，则图中共有几个等腰三角形( )
A．5个 B．6个
C．7个 D．8个
3．等腰三角形的对称轴 ( )
A．只有1条 B．最多2条C．最多有3条 D．不能确定 ’
4．周长为l3，边长为整数的等腰三角形共有 ( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
5．等腰三角形的两边分别为6cm和5cm，则它的周长为_________cm.
6．等腰三角形的底边长为12cm，那么腰长n的取值范围是__________．
7．用长为10m的钢筋制作一个等腰三角形的铁架，使铁架的底边长比腰多lm，则这个等腰三角形的腰长是________m． ‘
三、解答题
8．如图，以线段n为底，线段b为腰，画一个等腰三角形．
9．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且AD=AE，CD=BE，∠l=∠2．试判断△ABC的形状．
10．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为20cm和36cm两个部分，求这个三角形各边的长．
2．1提高班习题精选
1．等腰三角形的对称轴是 ( )
A．顶角的平分线 B．底边的高
C．底边上的中线
D．底边的垂直平分线所在的直线
2．如图，在AABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，ABCE的周长为14，BC=6，则AB的长为( )
A．6 8．7 C．8 D．9
3．如图，连接正六边形的任意两个不
相邻的顶点，可以得到的等腰三角形
有 ( )
A．6个 B．10个 C．12个 D．9个
4．用l0根等长的火柴拼成一个三角形，则这个三角形的形状一定是 ( )
A．等腰三角形 ， B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定
5． 已知：等腰三角形的腰长为8cm，则底边的取值范围是_____________________________.
6．在如图的网格中，请找出4个格点，使每一个格点与A，B两点构成等腰三角形，并画出这4个等腰三角形．
7．如图所示，在直线l上找一点P，使△PAB为等腰三角形，请问这样的P点有几个 在图上标出来．
8．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，CG是AB边上的高．问：DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系 请说明理由．
1．[2010·泰州]等腰△ABC的两边长为2和5，则第三边长为____________．
2．[2010·广安]等腰三角形的两边长为4，9，则它的周长是 ( )
A．17 B．17或22 C．20 D．22
参考答案
2．1等腰三角形
【课前热身】
1．有两边相等的三角形 2．轴对称 顶角平分线所在的直线 3．AB和AC BC ∠A、∠B和∠C 4．2 △ADB △DBC 5．3.5
【课堂讲练】
典型例题l 解：△BCD是等腰三角形；∵△BAC是等腰三角形 ∴AB=AC ∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAC，AD=AD ∴△ABD≌△ACD ∴BD=CD ∴△BCD是等腰三角形
巩固练习．1 解：等腰三角形△ABC：腰AB和AC 底边BC 顶角∠A 底角∠ABC和∠C等腰三角形△ADB：腰AD和BD 底边AB 顶角∠ADB 底角∠A和∠ABD 等腰三角形△BCD：腰BD和BC 底边CD 顶角∠DBC 底角∠C和∠BDC
典型例题2 解：∠ABE=∠ACE ∵△ABC是等腰三角形，且AB=AC 又∵AD为∠BAC的平分线 ∴AD所在的直线为△ABC的对称轴 ∵E为AD上一点 ∴△ABE与△ACE关于AD所在的直线对称 ∴∠ABE=∠ACE
巩固练习2 解：图略 是等腰三角形 因为有两条边相等
【跟踪演练】
1．B 2．D 3．C 4．B 5. l6cm或17cm 6．a＞6cm 7．3 8．图略 9．解：∵AD=AE CD=BE ∠1=∠2 ∴△ABE≌△ACD ∴AB=AC ∴△ABC为等腰三角形 l0．解：24cm 24cm 8cm
2.1提高班习题精选
【提高训练】
1．A 2．C 3．A 4．A 5．0cm＜x＜16cm 6．图略 7．共4个，图略 8．解：连结AD∵S△ABC=S△ADB：+S△ADC=AB·DE+AC·DF S△ABC=AB·CG AB=AC ∴DE+DF=CG
【中考链接】
1． 5 2．D
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第2章综合复习课
1．等腰三角形有_______条对称轴，__________所在的直线是对称轴．
2．有一个角等于_______的等腰三角形是等边三角形；三个角都等于_______的三角形是等边三角形．
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别用a，b，c来表示，那么勾股定理用式子可以表示为_____________.
4．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是________；若一个三角形的三边长为7，8，10，则此三角形__________直角三角形．(填“是”或“不是”)
5．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边为a，b，c．
(1)若a=b=5，则c=__________ ；
(2)若a=1，c=2，则b=___________；
(3)若c=41，b=40，则a=_________；
(4)若a：b=3：4，c=20，则a=_____，b=________．
6．如果一个直角三角形斜边上的中线长为6.5cm，一条直角边长为5cm，则另一条直角边长为_________．
典型例题1 如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是BC和AC上的点，且DE∥AB，EA=ED，请你说明：AD垂直平分BC．
巩固练习1 在△ABC中，AB=AC，外角∠CAD=100°，求∠C的度数．
典型例题2 如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，过点D作DE⊥BC于E，并与CA的延长线相交于点F，请判断△ADF的形状，并说明理由．
巩固练习2 如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠AED，G为BC的中点，试判断,△DEG的形状，并说明你的理由．
典型例题3 如图，已知等腰三角形ABC中，底边BC=20，D为AB上一点，CD=16，BD=12求△ABC的面积．
巩固练习3 如图所示，在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，E为BC的中点，求：△ABC的周长及中线AE的长度．
典型例题4 如图，已知AC=BD，AD⊥AC，BC⊥BD．试说明AD=BC．
巩固练习4 如图，A，B，C，D在同一条直线上，AC=BD，BE=CF，EA⊥AB于A，FD⊥DC于D，说明下列结论成立的理由．(1) △EAB≌△FDC；(2)AE∥FD．
一、选择题
1．根据下列条件判断以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是 ( )
A．a=,b=,c=
B．a=30，b=60,c=90
C．a=1，b=，c=
D．a：b：c=5：12：13
2．下列说法正确的是 ( )
A．等腰三角形的对称轴是顶角平分线
B．等边对等角
C．等腰三角形有1条或3条对称轴
D．三线合一是指等腰三角形的中线、高、角平分线互相重合
3．三角形内部到三角形各边的距离相等的点，必在该三角形的 ( )
A．中线上 B．角平分线上 C．高线上 D．边的中垂线上
4．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于D，AB=a，则DB等于 ( )
A． B． C． D．
二、填空题
5．等腰三角形的一个角为40°，则它的底角为___________．
6．如图，在等边△ABC中，点E为BC边上的点，ED⊥AC于D，EF⊥BC于E，则∠FED的度数为_________．
7.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A的度数是________.
三、解答题
8．如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D．
(1)若∠A=70°，求：∠DBC的度数．
(2)若∠A=50°，求：∠DBC的度数．
(3)若∠A=n°，试用含n的式子来表示∠DBC的度数．
9．如图，已知0A=a，∠AON=60°，P是射线ON上一动点，(即点P可在射线ON上运动)．请填空：(1)当0P=________时，△AOP为等边三角形；
(2)当OP满足_____________时，△AOP为直角三角形；
(3)当OP满足_______________时，△AOP为钝角三角形；
10．如图所示，已知∠CDA=∠AEB=90°，且CD=AE，AD=BE．问：
(1)AC与AB相等吗 清说明理由；
(2)△ABC是什么三角形 请说明理由；
(3)如果AM⊥BC，则AM=BC吗 请说明理由．
参考答案
第2章 综合复习课
【课前热身】
1．1或3 顶角平分线 2．60° 60° 3．a2+b2=c2 4．直角三角形 不是 5．(1) (2) (3)9 (4)12 16 6. 12cm
【课堂讲练】
典型例题l 解: ∵EA=ED∴∠EAD=∠EDA ∵DE∥AB ∴∠BAD=∠EDA ∴∠BAD=∠EAD,即AD是∠BAC的平分线 ∵AB=AC ∴AD垂直平分BC(等腰三角形三线合一)
巩固练习l 解：∵AB=AC ∴∠B+∠C 又∵∠CAD=∠B+∠C=∠C+∠C=2∠C ∴∠C=∠CAD=×100°=50°
典型例题2
解：∵AB=AC∴∠B=∠C∵DE⊥BC于E,∴∠B+∠BDE=90°∠C+∠F=90°∴∠BDE=∠F 又∵∠BDE=∠ADF∴∠F=∠ADF ∴AD=AF ∴△ADF为等腰三角形
巩固练习2 解：△DGE是等腰三角形，理由：连结AG ∵DE∥BC ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C又∵∠ADE=∠AED ∴∠B=∠C ∴AB=AC 又∵AG为底边中线 ∴AG⊥BC，而DE∥BC ∴AG ⊥ DE 又∵AE=AD ∴AG垂直平分DE ∴DG=EG，即△DGE为等腰三角形
典型例题3 解：∵BC=20，CD=16，BD=12 ∴BC2=BD2+CD2 ∴△BCD为直角三角形 ∴CD⊥AB，在Rt△ADC中，设AB长为x，AD=AB-BD=x-12 AC2=AD2+DC2 即x2=(x-12)2+162 ∴x= ∴S△ABC=AB·CD=××16=
巩固练习3 解：①∵AD⊥BC ∴∠ADB=∠ADC=Rt∠ 在Rt△ACD中 ∵AD=12 AC=13 ∴CD=5在Rt△ABD中 ∵AD=12 AB=15 ∴BD=9 ∴BC=5+9=14 ∴l△ABC=AB+AC+BC=15+13+14=42 ②在Rt△ADE中，AE=====
典型例题4 解: 连结CD ∵AD⊥AC，BC⊥BD ∴∠A=∠B=90°∵AC=BD DC=CD ∴Rt△ADC≌Rt△BCD(HL)∴AD=BC
巩固练习4 解：(1) ∵EA⊥AB，FD⊥AC ∴∠A=∠D=90°∴AC=BD ∴AC-BC=BD-BC 即AB=CD 又∵BE=CF ∴Rt△ABE≌△Rt△CDF(HL) (2) ∵∠A=∠D ∴AE∥FD
【跟踪演练】
1．B 2．C 3．B 4．C 5．40°或70° 6．60°7．30°
8.(1)∵AB=AC∴∠ABC=∠C=∵BD⊥AC∴∠DBC=90°-∠C=90°-=∠A=×70°=35°(2) ∠DBC=∠A=×50°=25° (3)∠DBC=n°
9．a 或2a 0＜OP＜或0P＞2a 10．解：(1)AC=AB，理由：在Rt△ACD和Rt△ABE中 ∵CD=AE，AD=BE，∠CDA=∠AEB=90°∴Rt△ACD≌Rt△ABE(HL) ∴AC=AB (2) △ABC是等腰Rt△，理由：由(1)知∠ACD≌△AEB ∴AC=AB，∠CAD=∠ABE ∴∠BAC=180°-∠CAD-∠BAE=180°-∠ABE-∠BAE=180°-(∠ABE+∠BAE)=180°-90°=90° ∴△ABC为等腰Rt△
(3)AM=BC，理由：∵△ABC为等腰Rt三角形，且AM⊥BC ∴AM=BC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
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第2章水平测试
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列图形中，不一定是轴对称图形的是 ( )
A．线段 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．圆
2．若等腰三角形的两边长分别为4和9，则周长为( )
A．17 B．22 C．13 D．17或22
3．如果三角形一边上的高平分这条边所对的角，那么此三角形一定是 ( )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
4．小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角板拼成如图所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是 ( )
A．4 B．3 C．2 D．1
5．如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，BD⊥AC，DE⊥BC，D，E为垂足，下列结论正确的是( )
A．AC=2AB B．AC=8EC C．CE=BD D．BC=2BD
6．有四个三角形，分别满足下列条件：(1)一个角等于另外两个内角之和；(2)三个内角之比为3：4：5；(3)三边之比为5：12：13；(4)三边长分别为5，24，25．其中直角三角形有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，EA⊥AB，BC⊥AB，AB=AE=2BC，D为AB的中点，有以下判断：①DE=AC；②DE⊥AC；③∠CAB=30°；④∠EAF=∠ADE．其中正确结论的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，以点A和点B为两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出 ( )
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
9．如图所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2=MB2等于 ( )
A．9 B．35 C．45 D．无法计算
10．若△ABC是直角三角形，两条直角边分别为5和12，在三角形内有一
点D，D到△ABC各边的距离都相等，则这个距离等于 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．已知等腰三角形中顶角的度数是底角的3倍，那么底角的度数是________．
12．已知等腰△ABC的底边BC=8cm，且|AC-BC|=2cm，那么腰AC的长为__________．
13．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条小路，他们仅仅少走了_______步路，(假设2步为1m)，却踩伤了花革．
14．如图，在△ABC中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么AC边上的中线BD的长为______cm．
15．已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线,请你写出三个正确结论：(1)____________；(2)_____________；(3)_____________．
16．已知，如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点0，E，F分别是边AD，DC上的点，若AE=4cm，FC=3cm，且0E⊥0F，则EF=______cm．
三、解答题(共66分)
17．(6分)如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，添加一个条件，使DE=DF．
18．(6分)如图，已知∠AOB=30°，0C平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥0A交OB于D，PE⊥OA于E，如果OD=4，求PE的长.
19．(6分)如图，△ABC是等边三角形，ABCD是等腰直角三角形，其中∠BCD=90°，求∠BAD的度数．
20．(8分)如图，E为等边三角形ABC边AC上的点，∠1=∠2，CD=BE，判断△ADE的形状．
21．(8分)如图所示，已知：在△ABC中，∠A=80°，BD=BE，CD=CF．求∠EDF的度数．
22．(10分)如图，已知点B，C，D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H．
(1)说明：△BCE≌△ACD；
(2)说明：CF=CH；
(3)判断△CFH的形状并说明理由．
23．(10分)如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点分别在相互平行的三条直线l1,l2,l3上，且l1,l2之间的距离为2，l2,l3之间的距离为3，求AC的长．
24．(12分)如图(1)所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．说明：
(1)BD=DE+EC：
(2)若直线AE绕点A旋转到图(2)位置时(BD＜CE)，其他条件不变，则BD与DE，EC的关系又怎样 请写出结果，不必写过程．
(3)若直线AE绕点A旋转到图(3)时(BD＞CE)，其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何 请直接写出结果．
参考答案
第2章水平测试
1．C 2．B 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C l0．A ll．36° 12．6cm或12cm 13．4 14．6.5 l5．解：答案不唯一，∠E=30°，∠ABD=∠DBC=30°，BD⊥AC等 l6．5 17．解：BD=CE或BE=CF 说明△BDE≌△CDF 18．解：作PF⊥OB于F，∴PF=PE ∵OC平分∠AOB ∴∠l=∠2 ∵PD∥0A ∴∠2=∠3 ∴∠l=∠3 ∴PD=OD=4 ∴PE=PF=PD=2
19．解：∵△ABC是等边三角形 ∴AC=BC ∵△BCD是等腰直角三角形，∠BCD=90°∴BC=CD ∴AC=CD ∴∠CAD=∠ADC= = =75°∴∠BAD=∠CAD+∠BAC=75°+60°= l35°20．解：∵△ABC为等边三角形 ∴△ABE≌△ACD ∴AE=AD ∴∠DAE=∠BAC=60°∴△ADE为等边三角形 21．解：∵BD=BE ∴∠l=∠2= ∵CD=CF ∴∠3=∠4= ∵∠EDF+∠2+∠3=180°∴∠EDF=180°-(∠2+∠3)= 180°-（+ ）=（∠B+∠C）=(180°-∠A)= （180°-80°）=50°
22．解：(1) ∵△ABC和△CDE都是正△ ∴BC=AC，∠BCE=∠ACD=120° CE=CD ∴△BCE≌△ACD(SAS)
(2)∵△BCE≌∠ACD ∴∠CBF=∠CAH 又∵BC=AC，∠BCF=∠ACH=60°∴△BCF≌∠ACH(ASA) ∴CF=CH(3) △CFH是等边三角形，理由：∵CF=CH，∠FCH=60°∴△CFH是等边三角形 23．解：分别过A，C作AE⊥l3，CD⊥l3，垂足分别为E，D 由题意可知AE=3，CD=2+3=5 又∵AB=BC，∠ABE=∠BCD ∴Rt△AEB≌△CBD(AAS) ∴AE=BD=3 ∴CB2=BD2+CD2=32+52=34 ∴AC2=AB2+CB2=34×2=68 ∵AC＞0 ∴AC==
24．解：(1) ∵△ABC为等腰直角三角形 ∴∠BAE+∠EAC=90°∵BD⊥AE，CE⊥AE ∴∠ADB=∠AEC=90°∠BAE+∠ABD=90°∴∠EAC=∠ABD ∵AB=AC ∴△ABD≌△CAE ∴BD=AE，AD=EC ∴BD=AD+DE=EC+DE (2)BD=EC+DE仍成立 (3)BD=EC+DF仍成立
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2．4等边三角形
【课前热身】
1．三边都相等的三角形叫做_________，等边三角形的每个内角都等于__________，三个角都相等的三角形是____________．
2．有一个角等于____________的等腰三角形是等边三角形．
3．等边三角形是_____________图形，等边三角形每条边上的________、________ 和所对角的_________都三线合一，它们所在的直线都是等边三角形的____________．
4．一个等边三角形的边长为5cm，则它的周长为__________________．
5．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，则∠CAD=______，
∠CDA=______．
6．等边三角形绕对称轴的交点至少须转_______才能和原来的三角形重合．
典型例题1 如图，P，Q是△ABC边BC上的两点，且BP=PQ=CQ=AP=AQ，求∠BAC的度数．
巩固练习1 如图，A，P，B在同一直线上，△APC和△BPD是等边三角形，则AD=BC，请说明理由．
典型例题2 如图，在等边三角形ABC中，AF=BD=CE，则△DEF也是等边三角形，请说明理由．
巩固练习2 如图，已知△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，AE⊥EC，BD=EC，请判断△ADE是不是等边三角形，并说明理由．
一、选择题
1．如图，P是等边△ABC内一点，若将△PBC绕点B旋转到△P′ BA，则么PBP′的度数是 ( )
A．45° B．60° C．90° D．120°
2．等边三角形中，两条中线所夹的钝角的度数为( )
A．120° B．130° C．150° D．160°
3．下列4个判断中，正确的有( )
①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角
等于60。的三角形是等边三角形；③有一个角是60。的
等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三
角形是等边三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，l1∥l2，△ABC为等边三角形，∠ABD=35°，则∠ACE= ( )
A．15° B．25° C．35° D．45°
二、填空题
5．如图，将一个等边三角形剪去一个角后，∠l+∠2=________．
6．如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BC=BD，则∠l的度数是______．
7．如图，△ABC，△ADE及△EFG都是等边三角形，D，G分别为AC和AE的中点，若AB=4则图形AB—CDEFGA的周长是_________．
8．如图，C为线段AE上一动点(不与A，E重合)，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点0，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ，以下五个结论：
①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．
恒成立的有_______________________(填序号)．
三、解答题
9．如图，△ABC和△ADC都是等边三角形．则：
(1)AB∥CD吗 为什么
(2)连结BD，那么AC⊥BD吗 请说明理由．
10．如图，△ABC与△DCE均为等边三角形，请说明AD=BE的理由．
11．如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，DM上BC，垂足为M，试说明BM=EM的理由．
12．如图，点0是线段AD的中点，分别以A0和D0为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC，求∠AEB的大小．
2．4提高班习题精选
1．△ABC的三边a，b，c满足等式a2+b2+C2=ab+bc+ac，则△ABC的形状是 ( )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定
2．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，P ′与P关于OB对称，P〞与P关于0A对称，则0，P′P〞，三点所构成的三角形是 ( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
3．如图，已知正方形ABCD的边长为2，△BPC为等边三角形，则△CDP的面积是________．
4． 如图，在等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且AD=CE，则∠BCD+∠CBE=_____．
5．如图，已知△ABC是等边三角形，P是△ABC内一点，PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点F，PD∥BC交AC于点D，已知△ABC的周长为24cm，则PD+PE+PF=_________.
6．如图，在△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为边向三角形外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连结BE和CD，则BE和CD的大小关系如何 请说明理由．
7．如图，△ABH，△BCD，△DEF，△FGH都是等边三角形，甲、乙两只甲虫从H处出发，甲虫沿H—A—B路线，乙虫沿H—G—F—E—D—C—B路线，假设两只甲虫爬行的速度相同，问哪只甲虫先爬到终点，请说明理由．
8．如图，在等边△ABC中，0B，OC分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，0B，OC的中垂线分别交BC于点M，N，说明△MON是等边三角形．
9．如图，有一个等边三角形，请分别用四种不同的方法将等边三角形分成4个面积相等的三角形．
10．已知等边三角形ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，若点P在一边BC上(图(1))，此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h，请你探索以下问题：
当点P在△ABC内(图(2))和点P在△ABC外(图(3))这两种情况时，h1，h2，h3与h之间有怎样的关系 请写出你的猜想，并简要明理由．
1．【2009·烟台】如图，等边三角形ABC的边长为3，P为BC上一点，且∠APD=80°，在AC上取一点D，使AD=AP，则∠DPC的度数是 ( )
A．10° B．15° C．20° D．25°
2．【2009·中山】如图，△ABC是等边三角形，点D是AC
的中点，延长BC到E，使CE=CD．
(1)用尺规作图的方法，过点D作DM上BE，垂足是M
(不写作法，保留作图痕迹)．
(2)说明：BM=EM．
参考答案
2．4等边三角形
【课前热身】
1．等边三角形 60° 等边三角形 2．60° 3．轴对称中线高平分线对称轴 4．15cm 5．30° 90° 6．120°
【课堂讲练】
典型例题l 解：∵BP=PQ=CQ=AP=AQ ∴△ABP△AQC是等腰三角形，△APQ是等边三角形
∴∠PAQ=60°，∠QAC=∠BAP==30° ∴∠BAC=60°+30°+30°=120°
巩固练习l 解：∵△APC和△BPD是等边三角形 ∴AP=CP，DP=BP，∠APC=∠BPD=60°∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD，即∠APD=∠CPB ∴△APD≌△CPB(SAS) ∴AD=BC
典型例题2 解：∵△ABC是等边三角形 ∴AB=AC=BC，∠A=∠B=∠C ∵AF=BD=CE∴AB－AF=AC－CE=BC－BD，即BF=CD=AE∴△AEF≌△BFD≌△CDE(SAS) ∴EF=DF=DE ∴△DEF是等边三角形
巩固练习2 解：△ADE是等边三角形 ∵△ABC为等边三角形，D为AC中点 ∴BD⊥AC 又∵BD=EC，AB=AC，AC⊥BD，AE⊥EC ∴△ABD≌△ACE ∴AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°∴ADE是等边三角形
【跟踪演练】
1．B 2．A 3．C 4．B 5．240° 6．75° 7．15 8．①②③⑤ 9．解：(1)AB∥CD，理由：∵△ABC和△ADC都是等边三角形 ∴∠BAC=∠ACD=60°∴AB∥CD (2)AC⊥BD，理由：先说明△ABD是等腰三角形，由AC是∠BAD的角平分线，由三线合一可得出． l0．解：∵△ABC与△DCE均为等边三角形 ∴∠ACB=∠DCE=60°∴∠ACB－∠DCB=∠DCE－∠DCB，即∠ACD=∠BCE，AC=BC，CD=EC ∴△ACD≌△BCE ∴AD=BE ll．解：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点 ∴∠DBC=30°，∠ACB=60°∵CE=CD ∴∠CDE=∠E=30°∴∠DBC=∠E∴DB=DE ∵DM⊥BE ∴BM=EM(三线合一) 12．∠AEB=60°
2．4提高班习题精选
【提高训练】
1．B 2．C 3．1 4．60° 5．8cm 6．解：BE=CD，理由：∵△ABD和△ACE为等边三角形 ∴DB=AB，∠ABD=60°，AC=EC，∠ACE=60°∵AB=AC ∴DB=CE 又∵BC=CB，∠BDC=∠ECB ∴△DBC≌△ECB(SAS)∴BE=CE 7．解：两只甲虫爬行的路程一样，都是边长BH的2倍，因此同时到达． 8．解：由0B，OC是等边三角形两角的平分线 ∴∠0BC=∠OCB=30°而MD,NE是OB，0C的中垂线 ∴BM=OM，ON=CN ∴∠MOB=∠MB0=30°，∠NOC=∠NC0=30° ∴∠OMN=∠ONM=60°∴△MON是等边三角形 9．提平：利用等底等高的两上三角形面积相等的原理进行分割 l0．解：当P在△ABC内时，连结AP、BP、CP
×h1×AB＋×AC×h2＋BC×h3=×BC×h ∴h1＋ h2 ＋h3=h 当P在△ABC外时，连结AP,BP，CP ∴AB×h1＋AC×h2－BC×h3=BC×h ∴h1＋ h2 －h3=h
【中考链接】
1．C 2．解：(1)略(2)∵△ABC为等边三角形 D是AC的中点 ∴BD平分∠ABC ∴
∠DBC=30° ∵CE=CE ∴∠E=∠CDE=30°∴∠DBE=∠E=30°∴BM=EM
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2．7直角三角形全等的判定
课前热身
1．__________和一条________对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“_________”．
2．角的内部，到角的两边距离相等的点，在_____________________________.
3．判定两个直角三角形全等共有五种方法，分别是SSS，_______，_______，_______，________.
4．如图，∠A=∠B=90°，请你再添加一个条件，使△ACD≌△BDC，并在后面的括号里写出判定全等的依据：①_______________( )；②______________( )；③_______________( )．
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，CD=5cm，那么点D到AB的 距 离是___________．
典型例题1 如图，△ABC和△DBC 都是直角三角形，∠A=∠D=90°，AB=CD，请说明：△EBC是等腰三角形．
巩固练习1 如图，已知AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F为垂足，DE=BF，问：AB与CD平行吗 请说明理由．
典型例题2 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线和∠ACB的平分线相交于点P，则AP平分∠BAC，请说明理由．
巩固练习2 已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DF⊥AB于点F，DE⊥AC于点E，且BF=CE，则点D在∠BAC的平分线上，请说明理由．
一、选择题
1．如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点，则△ABD≌△ACD，其依据是 ( )
A．ASA B．HL C．SAS D．AAS
2．如图所示，∠ACB=∠BDE=90°，AC=DE，则下列条件中，不能使△ABC≌△EBD成立的是( )
A．∠A=∠E B．BC=BD C．AB=BD D．∠ABE=∠CBD
3．下列条件中，不能用来说明Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(其中∠C=∠C′=90°)的是 ( )
A．∠A=∠A′，AC=A′C′ B．AC=B′C′，BC=A′C′
C．∠B=∠B ′，AB=A ′B′ D．∠B=∠B ′，AC=B ′C ′
4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为D，如果AC=10cm，那么AE+DE= ( )
A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm
二、埴空颗
5．如图，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，则图中能用“HL”定理判定全等的三角形是_________________．
6．如图，已知BD⊥AE于点B，C是BD上的点，且BC=BE，要使Rt△ABC≌Rt△DBE，应补充的条件是∠A=∠D，或____________，或_____________，或____________．
7．如图，AD平分∠CAB，DC⊥AC，DB⊥AB，且DC=DB，若∠1=30°，则∠CAB的度数是_____．
三、解答题
8．如图所示，已知AD⊥OB，BE⊥OA，垂足分别为D和E，AD和BE相交于点P，PA=PB，则0P平分∠AOB，请说明现由．
9．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BD，AE⊥CE，且AD=AE，BD和CE交于点0，请说明OB=OC的理由．
10．三条公路两两相交，现在决定在三角区内建立一个公路维修站，要求到三条公路的距离相等，请问维修站应该建立在何处 请画出图形．
2．7提高班习题精选
1．如图，把Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，则下列结论中错误的是 ( )
A．△ABC≌△DEF B．∠DEF=90° C．AC=DF D．EC=CF
2．如图，在R△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，如果BC=32cm，BD：CD=9：7，那么点D到AB的距离是 ( )
A．12cm B．14cm C．16cm D．18cm
3．如图，AB=AC，DE⊥AB，DF⊥AC，AD⊥BC，则图中的全等三角形有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．如图，0M平分∠POQ，MP⊥0P，MQ⊥OQ，垂足分别为P，Q，且S△OPM=6cm2，OP=2cm，则MQ=_____.
5．如图所示，已知AB⊥AC，AC⊥CD，且AB=CD，则图中共有_________对全等三角形．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，D为 BC上一点，连结AD，点E在AD上，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，垂足分别为M，N；那∠下面4个结论中：①如果AD⊥BC，那∠EM=EN；②如果EM=EN，那么∠l=∠2；③如果EM=EN，那∠AM=AN；④如果EM=EN，那么∠3=∠4．其中正确的有____________．(填序号)
7．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF=AC，FD=CD，求：∠AEB的度数．
8．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠A的平分线，则AC+CD=AB，请说明理由．
9．已知：如图，AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，E为线段AB上一点，且有AC=BE，CE=DE，试说明CE⊥ED．
10．如图，在△ABC中，AB=7，BC=24，AC=25，(1)在△ABC内是否存在一点P到各边的距离相等，如果存在，请作出这一点，并说明理由．（2)求出这个距离．
11．已知：如图，点0到△ABC的两边AB，AC，所在直线的距离相等，且OB=OC．
(1)如图(1)，若点0在边BC上，请说明AB=AC的理由；
(2)如图(2)，若点O在△ABC的内部，请说明AB=AC的理由；
(3)若点0在△ABC的外部，AB=AC成立吗 请说明理由．
1．【2010·益阳】如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB．下列确定P点的方法正确的是 ( )
A．P为∠A，∠B两角平分线的交点
B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
C．P为AC，AB两边上的高的交点
D．P为AC，AB两边的垂直平分线的交点
2．【2009·怀化】如图，P是△BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．
求证：(1)PE=PF；(2)点P在∠BAC的角平分线上．
参考答案
2.7直角三角形全等的判定
【课前热身】
1．斜边 直角边 HL 2．这个角的平分线上 3．SAS ASA AAS HL 4．AC=BD HL AD=BC HL ∠ACD=∠BDC AAS 5．5cm
【课堂讲练】
典型例题l 解：∵∠A=∠D，AB=DC，BC=BC ∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL) ∴∠ACB=∠DBC ∴△ECB是等腰三角形(有两个角相等的三角形是等腰三角形)
巩固练习l 解：AB∥CD，理由：∵DE⊥AC，BF⊥AC ∴△CDE和△AFB是Rt△ ∵AB=CD，DE=BF ∴Rt△CDE≌Rt△ABF(HL) ∴∠C=∠A ∴AB∥CD
典型例题2 解：作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于F． ∵BP平分∠ABC ∴PD=PE
同理，PE=PF ∴PD=PF ∴AP平分∠BAC
巩固练习2 解：∵DF⊥AB，DE⊥AC ∴△DBF和△DCE都是直角三角形 ∵D是BC的中点 ∴DB=DC 又∵BF=CE ∴Rt△DBF≌Rt△DCE(HL) ∴DF=DE ∴点D在∠BAC的平分线上
(到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)
【跟踪演练】
1．C 2．C 3．D 4．B 5．Rt△ABE≌Rt△CDF 6．AC=DE ∠ACB=∠E AB=DB 7．60° 8．解：由AD⊥OB，BE⊥OA，得∠AEP=∠BDP=90° 又∠APE=∠DPB，PA=PB ∴△APE≌△BPD(AAS) ∴PE=PD ∴0P平分∠AOB(到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上) 9．解：∵AD⊥BD，AE⊥CE ∴∠E=∠D=90° AE=AD AB=AC ∴△AEC≌△ABD ∴∠ABD=∠ACE ∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB ∴∠OBC=∠OCB ∴OB=OC 10．解：作三个角的角平分线角平分线的交点即所求位置
2．7提高班习题精选
【提高训练】
1．D 2．B 3．C 4．6cm 5．4 6．①②③④ 7．解：由AD⊥BC，BF=AC，FD=CD，可得Rt△BDF≌Rt△ACD(HL) ∴∠FBD=∠CAD ∴∠AEB=∠FBD+∠C=∠CAD+∠C=90°8．解：过D作DE⊥AB于点E 由∠C=90°，AC=BC,知∠B=90° 又∵DE⊥AB ∴△BED是等腰Rt，BE=DE ∵AD是∠A的平分线 ∴DE=CD AE=AC ∴AC+CD=AE+BE=AB 9．解：∵AC⊥AB，BD⊥AB ∴△ACE和△BDE都是Rt△ ∵CE=DE，AC=BE ∴Rt△ACE≌Rt△BDE(HL) ∴∠C=∠DEB ∴∠CED=180°-∠AEC-∠DEB=180°-∠AEC-∠C=90°∴CE⊥ED 10．解：(1)存在，作内角的角平分线，它们的交点即为点P (2) ∵AB2+BC2=AC2 ∴∠B=90° 设这个距离为d，则S△ABC=S△APC+S△BPC+S△ABP ∴=++ ∴d=3 11．解：(1)过点0分别作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E、F，由题意可知0E=OF，OB=OC ∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL) ∴∠B=∠C ∴AB=AC (2)过点0分别作0E⊥AB，OF⊥AC, E，F为垂足，则易证Rt △OEB≌Rt △OFC ∴∠0BE=∠OCF，又OB=OC ∴∠0BC=∠OCB ∴∠ABC=∠ACB ∴AB=AC (3)不一定成立，只有当∠A的平分线所在直线与边BC垂直平分线重合时，才有AB=AC，否则，AB ≠AC．
【中考链接】
1．B 2．证明： (1)连结AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP=∠AFP=90°．又AE=AF，AP=AP，∴Rt△AEP≌Rt△AFP．∴PE=PF．(2) ∵PE=PF，PE⊥AB，PF⊥AC，∴P在∠BAC的角平分线上．
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