4.3 相似三角形同步练习(含解析）
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初中数学浙教版九年级上册4.3相似三角形 同步练习
一、单选题
1.下列说法正确的是（ ???）
A.?矩形都是相似图形??????????????????????????????????????????????B.?各角对应相等的两个五边形相似
C.?等边三角形都是相似三角形???????????????????????????????D.?各边对应成比例的两个六边形相似
2.若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A'B'C' ， 则∠B'的度数与其对应角∠B的度数相比（?? ?? ）
A.?增加了10%????????????????????B.?减少了10%????????????????????C.?增加了（1+10%）????????????????????D.?没有变化
3.如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（ ??）
A.?28°???????????????????????????????????????B.?32°???????????????????????????????????????C.?42°???????????????????????????????????????D.?52°
4.已知 ，且相似比为 ，若 ，则 的长是（? ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
5.如图，△ ∽△ ，若 ， ， ，则 的长是（?? ）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?5
6.一个三角形三边的长分别为3,4,5,另一个与它相似的三角形的最长边是10,则其他两边的和是（?? ）
A.?9?????????????????????????????????????????B.?12?????????????????????????????????????????C.?13?????????????????????????????????????????D.?14
7.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为3cm， 和6m，另一个三角形的最长边长为12cm，则它的最短边长为 ??
A.?6cm???????????????????????????????????B.?9cm???????????????????????????????????C.?16cm???????????????????????????????????D.?24cm
8.已知△ABC∽△A′B′C′且 ，则 为（?? ）
A.?1：2????????????????????????????????????B.?2：1????????????????????????????????????C.?1：4????????????????????????????????????D.?4：1
9.已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，若想得到这两个三角形相似，则△DEF的另两边长是下列的(?? )
A.?2 cm，3 cm????????????????????B.?4 cm，5 cm????????????????????C.?5 cm，6 cm????????????????????D.?6 cm，7 cm
10.如图，已知△ABC，D，E分别是AB，AC边上的点．AD=3cm，AB=8cm，AC=10cm．若△ADE∽△ABC，则AE的值为（ ??）
A.?cm????????????????????B.?cm或 cm????????????????????C.?cm或 cm????????????????????D.?cm
二、填空题
11.如图中两三角形相似，则x=________．
12.已知两个三角形相似，如果其中一个三角形的两个内角分别是45°、60°，那么另外一个三角形的最大内角是________°
13.要把一根1m长的铜丝截成两段，用它们围成两个相似三角形，且相似比为 ，那么截成的两段铜丝的长度差应是________m．
14.如图， ，AD=10，BD=8， 与 相似，则CD=________
15.如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE=________.
三、解答题
16.如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在BC、CD上，若△ADE∽△CMN，求CM的长．
17.已知：如图，△ABC∽△ADE? ， AE：EC=5：3，BC=6cm，∠A=40°，∠C=45°．
（1）求∠ADE的大小；
（2）求DE的长．
18.如图，在△ABC中，AC=8cm，BC=16cm，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
答案解析部分
一、单选题
1. C
考点：相似三角形的性质
解：A．矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项不符合题意；
B．各角对应相等的两个五边形相似，对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项不符合题意；
C．等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以是相似三角形，故本选项符合题意；
D．各边对应成比例的六边形对应角不一定相等，所以不一定是相似六边形，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
分析：因为等边三角形对应角相等，对应边成比例，根据相似三角形的判定定理可得出。
2. D
考点：相似三角形的性质
解：三角形的各边都增加10%，则所得的三角形与原三角形相似，相似比为1.1∶1，相似三角形对应角相等。
故答案为：D。
分析：三边扩大相同的比例，三边对应比相等，故前后三角形相似，相似三角形对应角相等，故角没有变化。
3. C
考点：相似三角形的性质
解：考查学生对相似性质的理解及运用，因为△ABC∽△DEF，∴角B=角E,在△ABC中角B=42°∴角E=42° 即选C
分析：因为△ABC∽△DEF，可得∠B=∠E，利用相似三角形的对应角相等可得结论。
4. D
考点：相似三角形的性质
解：∵△ADE∽△ABC,且相似比为 ，DE=8cm，
∴ ，
即2BC=24.
解得，BC=12，
故答案为：D.
分析：根据在相似三角形中，对应边的比等于相似比可以求得BC的长，本题得以解决．
5. C
考点：相似三角形的性质
解：∵△ ∽△
∴
∴ 解得：AB=4
故答案为:C.
分析：根据相似三角形的性质，列出对应边的比，再根据已知条件即可快速作答.
6. D
考点：相似三角形的性质
解：设另一个三角形的最短边为x，第二短边为y，根据相似三角形的三边对应成比例，知 ，∴x=6，y=8，∴x+y=14．
故答案为：D．
分析：根据相似三角形的对应边成比例，列出等式计算即得.
7. A
考点：相似三角形的性质
解：设另一个三角形的最短边长为xcm，
根据题意，得： ，
解得： ，
即另一个三角形的最短边的长为6cm。
故答案为：A。
分析：根据题意，两个三角形框架是相似的，根据相似三角形对应边成比例即可列出方程，求解即可。
8. C
考点：相似三角形的性质
解：∵相似比=1；2，∴面积比=1：4．故答案为：C．
分析：根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解。
9. C
考点：相似三角形的性质
解：设△DEF的另两边为xcm，ycm，
若△DEF中为4cm边长的对应边为6cm，
则： ，
解得：x=5，y=6；
若△DEF中为4cm边长的对应边为7.5cm，
则： ，
解得：x=3.2，y=4.8；
若△DEF中为4cm边长的对应边为9cm，
则： ，
解得：， ；
故答案为：C．
分析：利用相似三角形的性质，分情况讨论：若△DEF中为4cm边长的对应边为6cm；若△DEF中为4cm边长的对应边为7.5cm；若△DEF中为4cm边长的对应边为9cm，分别得出对应边成比例，就可求出△DEF的另两边长。
10. A
考点：相似三角形的性质
解：连接DE，
∵△ADE∽△ABC，
∴AD：AB=AE：AC
∴3：8=AE：10
∴AE=
故答案为：A．
分析：连接DE，可证△ADE∽△ABC，通过对应边成比例，求出AE的长度。
二、填空题
11.2
考点：相似三角形的性质
解：由图形可得 = ，
解得x=2．
故答案为：2．
分析：相似三角形的对应边与对应角相等，求出x的值。
12. 75
考点：相似三角形的性质
解：由三角形内角和定理可知，两个内角分别是45°、60°的三角形的第三个内角为：180°﹣45°﹣60°＝75°，
∵两个三角形相似，
∴另外一个三角形的最大内角是75°，
故答案为：75．
分析：根据相似三角形的性质和三角形内角和等于180°，即可得到答案.
13. ．
考点：相似三角形的性质
解：根据题意知：一段长为 ，另一段长为
所以：两段铜丝的长度差应是 ．
分析：根据相似三角形的周长比等于相似比即可求出答案．
14. 6.4或4.8
考点：相似三角形的性质
解：∵ ，AD=10，BD=8， 与 相似
∴若△ABD∽△BCD，则
若△ABD∽△DCB，则
则
故答案：6.4或4.8
分析：由 ，AD=10，BD=8，若△ABD与△BCD相似，可分别从△ABD∽△BCD与△ABD∽△DCB去分析求解即可求得答案.
15. 8.5
考点：相似三角形的性质
解：∵AD=3，DC=4，
∴AC=AD+DC=3+4=7，
∵△ADE∽△ABC，
∴ ，
即 ，
解得AB=10.5，
∴DE=AB-AE=10.5-2=8.5．
分析：先求出AC的长，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AB的长，然后根据DE=AB-AE，代入数据进行计算即可得解．
三、解答题
16. 解：∵正方形ABCD的边长为2，AE=EB，
∴AE= ×2=1，
在Rt△ADE中，DE= = = ，
∵△ADE∽△CMN，∴ = ，
即 = ，解得CM= ．
考点：相似三角形的性质
分析：正方形ABCD中，由AE=EB求出AE的长，进而根据勾股定理求出DE的长. 再根据△ADE∽△CMN，对应边成比例列出方程，解出CM的长即可.
17. （1）解：在△ABC中，∠A=40°，∠C=45°，
∴∠ABC=180°-40°-45°=95°；
又∵△ABC∽△ADE? ，
∴∠ADE=∠ABC（相似三角形的对应角相等），
∴∠ADE =95°
（2）解：∵AE：EC=5：3，
∴AE：AC=5：8；
又∵△ABC∽△ADE? ， BC=6cm，
∴ ，即
∴DE= cm
考点：比例的性质，相似三角形的性质
分析：（1）利用三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，再利用相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，可求出∠ADE的度数。
（2）由AE：EC=5：3，，利用比例的性质求出AE：AC的值，再利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，将相关的线段的值代入可求出DE的长。
18.解：设经过x秒，两三角形相似，则CP=AC-AP=8-x，CQ=2x，
（ 1 ）当CP与CA是对应边时， ，
即 ，
解得x=4秒；
（ 2 ）当CP与BC是对应边时， ，
即 ，
解得x= 秒；
故经过4或 秒，两个三角形相似
考点：相似三角形的性质
分析：由题意知，两个三角形有一个公共点C，所有分两种情况：（ 1 ）当CP与CA是对应边时，可得比例式求解；（ 2 ）当CP与BC是对应边时，可得比例式求解。
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初中数学浙教版九年级上册4.3相似三角形 同步练习
一、单选题
1.下列说法正确的是（ ???）
A.?矩形都是相似图形??????????????????????????????????????????????B.?各角对应相等的两个五边形相似
C.?等边三角形都是相似三角形???????????????????????????????D.?各边对应成比例的两个六边形相似
2.若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A'B'C' ， 则∠B'的度数与其对应角∠B的度数相比（?? ?? ）
A.?增加了10%????????????????????B.?减少了10%????????????????????C.?增加了（1+10%）????????????????????D.?没有变化
3.如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（ ??）
A.?28°???????????????????????????????????????B.?32°???????????????????????????????????????C.?42°???????????????????????????????????????D.?52°
4.已知 ，且相似比为 ，若 ，则 的长是（? ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
5.如图，△ ∽△ ，若 ， ， ，则 的长是（?? ）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?5
6.一个三角形三边的长分别为3,4,5,另一个与它相似的三角形的最长边是10,则其他两边的和是（?? ）
A.?9?????????????????????????????????????????B.?12?????????????????????????????????????????C.?13?????????????????????????????????????????D.?14
7.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为3cm， 和6m，另一个三角形的最长边长为12cm，则它的最短边长为 ??
A.?6cm???????????????????????????????????B.?9cm???????????????????????????????????C.?16cm???????????????????????????????????D.?24cm
8.已知△ABC∽△A′B′C′且 ，则 为（?? ）
A.?1：2????????????????????????????????????B.?2：1????????????????????????????????????C.?1：4????????????????????????????????????D.?4：1
9.已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，若想得到这两个三角形相似，则△DEF的另两边长是下列的(?? )
A.?2 cm，3 cm????????????????????B.?4 cm，5 cm????????????????????C.?5 cm，6 cm????????????????????D.?6 cm，7 cm
10.如图，已知△ABC，D，E分别是AB，AC边上的点．AD=3cm，AB=8cm，AC=10cm．若△ADE∽△ABC，则AE的值为（ ??）
A.?cm????????????????????B.?cm或 cm????????????????????C.?cm或 cm????????????????????D.?cm
二、填空题
11.如图中两三角形相似，则x=________．
12.已知两个三角形相似，如果其中一个三角形的两个内角分别是45°、60°，那么另外一个三角形的最大内角是________°
13.要把一根1m长的铜丝截成两段，用它们围成两个相似三角形，且相似比为 ，那么截成的两段铜丝的长度差应是________m．
14.如图， ，AD=10，BD=8， 与 相似，则CD=________
15.如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE=________.
三、解答题
16.如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在BC、CD上，若△ADE∽△CMN，求CM的长．
17.已知：如图，△ABC∽△ADE? ， AE：EC=5：3，BC=6cm，∠A=40°，∠C=45°．
（1）求∠ADE的大小；
（2）求DE的长．
18.如图，在△ABC中，AC=8cm，BC=16cm，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
答案解析部分
一、单选题
1. C
考点：相似三角形的性质
解：A．矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项不符合题意；
B．各角对应相等的两个五边形相似，对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项不符合题意；
C．等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以是相似三角形，故本选项符合题意；
D．各边对应成比例的六边形对应角不一定相等，所以不一定是相似六边形，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
分析：因为等边三角形对应角相等，对应边成比例，根据相似三角形的判定定理可得出。
2. D
考点：相似三角形的性质
解：三角形的各边都增加10%，则所得的三角形与原三角形相似，相似比为1.1∶1，相似三角形对应角相等。
故答案为：D。
分析：三边扩大相同的比例，三边对应比相等，故前后三角形相似，相似三角形对应角相等，故角没有变化。
3. C
考点：相似三角形的性质
解：考查学生对相似性质的理解及运用，因为△ABC∽△DEF，∴角B=角E,在△ABC中角B=42°∴角E=42° 即选C
分析：因为△ABC∽△DEF，可得∠B=∠E，利用相似三角形的对应角相等可得结论。
4. D
考点：相似三角形的性质
解：∵△ADE∽△ABC,且相似比为 ，DE=8cm，
∴ ，
即2BC=24.
解得，BC=12，
故答案为：D.
分析：根据在相似三角形中，对应边的比等于相似比可以求得BC的长，本题得以解决．
5. C
考点：相似三角形的性质
解：∵△ ∽△
∴
∴ 解得：AB=4
故答案为:C.
分析：根据相似三角形的性质，列出对应边的比，再根据已知条件即可快速作答.
6. D
考点：相似三角形的性质
解：设另一个三角形的最短边为x，第二短边为y，根据相似三角形的三边对应成比例，知 ，∴x=6，y=8，∴x+y=14．
故答案为：D．
分析：根据相似三角形的对应边成比例，列出等式计算即得.
7. A
考点：相似三角形的性质
解：设另一个三角形的最短边长为xcm，
根据题意，得： ，
解得： ，
即另一个三角形的最短边的长为6cm。
故答案为：A。
分析：根据题意，两个三角形框架是相似的，根据相似三角形对应边成比例即可列出方程，求解即可。
8. C
考点：相似三角形的性质
解：∵相似比=1；2，∴面积比=1：4．故答案为：C．
分析：根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解。
9. C
考点：相似三角形的性质
解：设△DEF的另两边为xcm，ycm，
若△DEF中为4cm边长的对应边为6cm，
则： ，
解得：x=5，y=6；
若△DEF中为4cm边长的对应边为7.5cm，
则： ，
解得：x=3.2，y=4.8；
若△DEF中为4cm边长的对应边为9cm，
则： ，
解得：， ；
故答案为：C．
分析：利用相似三角形的性质，分情况讨论：若△DEF中为4cm边长的对应边为6cm；若△DEF中为4cm边长的对应边为7.5cm；若△DEF中为4cm边长的对应边为9cm，分别得出对应边成比例，就可求出△DEF的另两边长。
10. A
考点：相似三角形的性质
解：连接DE，
∵△ADE∽△ABC，
∴AD：AB=AE：AC
∴3：8=AE：10
∴AE=
故答案为：A．
分析：连接DE，可证△ADE∽△ABC，通过对应边成比例，求出AE的长度。
二、填空题
11.2
考点：相似三角形的性质
解：由图形可得 = ，
解得x=2．
故答案为：2．
分析：相似三角形的对应边与对应角相等，求出x的值。
12. 75
考点：相似三角形的性质
解：由三角形内角和定理可知，两个内角分别是45°、60°的三角形的第三个内角为：180°﹣45°﹣60°＝75°，
∵两个三角形相似，
∴另外一个三角形的最大内角是75°，
故答案为：75．
分析：根据相似三角形的性质和三角形内角和等于180°，即可得到答案.
13. ．
考点：相似三角形的性质
解：根据题意知：一段长为 ，另一段长为
所以：两段铜丝的长度差应是 ．
分析：根据相似三角形的周长比等于相似比即可求出答案．
14. 6.4或4.8
考点：相似三角形的性质
解：∵ ，AD=10，BD=8， 与 相似
∴若△ABD∽△BCD，则
若△ABD∽△DCB，则
则
故答案：6.4或4.8
分析：由 ，AD=10，BD=8，若△ABD与△BCD相似，可分别从△ABD∽△BCD与△ABD∽△DCB去分析求解即可求得答案.
15. 8.5
考点：相似三角形的性质
解：∵AD=3，DC=4，
∴AC=AD+DC=3+4=7，
∵△ADE∽△ABC，
∴ ，
即 ，
解得AB=10.5，
∴DE=AB-AE=10.5-2=8.5．
分析：先求出AC的长，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AB的长，然后根据DE=AB-AE，代入数据进行计算即可得解．
三、解答题
16. 解：∵正方形ABCD的边长为2，AE=EB，
∴AE= ×2=1，
在Rt△ADE中，DE= = = ，
∵△ADE∽△CMN，∴ = ，
即 = ，解得CM= ．
考点：相似三角形的性质
分析：正方形ABCD中，由AE=EB求出AE的长，进而根据勾股定理求出DE的长. 再根据△ADE∽△CMN，对应边成比例列出方程，解出CM的长即可.
17. （1）解：在△ABC中，∠A=40°，∠C=45°，
∴∠ABC=180°-40°-45°=95°；
又∵△ABC∽△ADE? ，
∴∠ADE=∠ABC（相似三角形的对应角相等），
∴∠ADE =95°
（2）解：∵AE：EC=5：3，
∴AE：AC=5：8；
又∵△ABC∽△ADE? ， BC=6cm，
∴ ，即
∴DE= cm
考点：比例的性质，相似三角形的性质
分析：（1）利用三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，再利用相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，可求出∠ADE的度数。
（2）由AE：EC=5：3，，利用比例的性质求出AE：AC的值，再利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，将相关的线段的值代入可求出DE的长。
18.解：设经过x秒，两三角形相似，则CP=AC-AP=8-x，CQ=2x，
（ 1 ）当CP与CA是对应边时， ，
即 ，
解得x=4秒；
（ 2 ）当CP与BC是对应边时， ，
即 ，
解得x= 秒；
故经过4或 秒，两个三角形相似
考点：相似三角形的性质
分析：由题意知，两个三角形有一个公共点C，所有分两种情况：（ 1 ）当CP与CA是对应边时，可得比例式求解；（ 2 ）当CP与BC是对应边时，可得比例式求解。
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