4.1.3 比例线段同步练习(含解析）
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初中数学浙教版九年级上册4.1比例线段（3）同步练习
一、单选题
1.已知线段 ，则线段 的比例中项为（???? ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
2.已知AB＝2，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP＞BP，则AP的长为（ ）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
3.一条线段的黄金分割点有（?? ）
A.?1个?????????????????????????????????????B.?2个?????????????????????????????????????C.?3个?????????????????????????????????????D.?无数个
4.如果线段b是线段a，c的比例中项， ，那么下列结论中正确的是（??? ）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
5.据有关实验测定，当室温与人体正常体温（37℃）的比值为黄金比时，人体感到最舒适，这个室温约（精确到1℃）（?? ）
A.?21℃????????????????????????????????????B.?22℃????????????????????????????????????C.?23℃????????????????????????????????????D.?24℃
6.已知如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（?? ）
A.?AB2＝AC2+BC2????????????B.?BC2＝AC?BA????????????C.?????????????D.?
7.如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（?? ）
A.?S1＞S2???????????????????????????????B.?S1=S2???????????????????????????????C.?S1＜S2???????????????????????????????D.?不能确定
8.“黄金分割”是一条举世公认的美学定律. 例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐. 目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版. 要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置（?? ）
A.?①?????????????????????????????????????????B.?②?????????????????????????????????????????C.?③?????????????????????????????????????????D.?④
二、填空题
9.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为________（结果带有根号）
10.一本书的宽与长之比为黄金比,已知它的长为18cm,则它的宽为________.
11.科学家发现，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是 ，则蝴蝶身体的长度约为________ （精确到 ）.
12.一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿________cm的鞋子才能好看？（精确到0.01cm）．
三、解答题
13.??（1）求x的值：5：（x+1)=3：x。
（2）已知线段a=2，b=8，求a，b的比例中项线段c。
14.?（1）已知 = ≠0，求代数式 的值；
（2）已知线段AB=10cm，点C、点D是线段AB的两个不同黄金分割点，
求C、D之间的距离．
15.实践证明，节目主持人站在舞台的黄金分割点处音响效果及审美效果最好．如下图，假设线段AB为舞台前沿，你能为主持人找出一个最佳位置C吗？
16.黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于图案设计。下图是一个包装盒的俯视图，线段AB是这个俯视图的中轴线，某公司想在中轴线AB上找到黄金分割点，安装视频播放器。
（1）请你用尺规作图的方式找出这个点（作出一点即可，保留作图痕迹）；
（2）证明你找到的点是线段AB的黄金分割点。
答案解析部分
一、单选题
1.D
考点：比例的性质
解：设a、b的比例中项为x，∵a=4，b=8，
∴x2=ab=32，∴x=±4 ，即a、b的比例中等于4 ．
故答案为：D.
分析：根据比例中项的定义可求解。
2. B
考点：黄金分割
解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，
且AP＞BP，
则AP＝ ×2＝ ﹣1.
故答案为：B.
分析：根据黄金分割点的定义和AP＞BP得出AP= AB，代入数据即可得出AP的长度.
3. B
考点：黄金分割
解：根据黄金分割点的概念，则一条线段的黄金分割点有2个.
分析：根据黄金分割点的定义即可求解.
4. B
考点：比例的性质
解：∵a：c=4：9，
∴9a=4c，即a=
又∵b是a，c的比例中项
∴a：b=b：c，即
∴b=
∴a：b= ： =2：3，b:c=2:3，
.
故答案为：B.
分析：首先由a：c=4：9，易得9a=4c，可以将a用c表示出了；再根据比例中项的概念，可得a：b=b:c，即b2=ac，那么 ，进而求解即可
5. C
考点：黄金分割
解：根据黄金比的值得：37×0.618≈23℃.
故答案为：C.
分析：根据黄金比的值可知，人体感到最舒适的温度应为37℃的0.618倍.
6. C
考点：黄金分割
解：黄金分割定义知， ,所以AC2=AB .
设AB=1，AC=x,
,
解得：x= . ，
故答案为：C.
分析：黄金分割，就是在一条线段上去一点，将这条线段一分为二，其中较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，从而即可列出比例式，根据比例式建立方程即可一一判断得出答案.
7. B
考点：黄金分割
解：∵C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，
∴BC2=AC?AB，
∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，
∴S1=BC2 ， S2=AC?AB，
∴S1=S2 ．
故答案为：B．
分析：由黄金分割点的性质，列出关系式进行计算即可。
8. B
考点：黄金分割
解：黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，观察图中的位置可知应该使小狗置于画面中②的位置，
故答案为：B.
分析：黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，观察图中的位置可知应该使小狗置于画面中②的位置，
二、填空题
9.
考点：黄金分割
解：如图，C是AB的黄金分割点（AC＞BC），
由题意得
，即 ，
AC2+AB·AC-AB2=0，
解得
AC= AB，AC= AB（舍去），
∴ = ．
∴这个比值为 ．
故答案为 ．
分析：根据所给黄金分割的定义列式求解即可．
10.
考点：黄金分割
解：设该长方形的宽为xcm，
根据题意 得， 解得x= .
故答案为： .
分析：由于黄金比的值， 故根据宽与长之比为黄金比列出方程，求解即可.
11. 2.5
考点：黄金分割
解：设蝴蝶身体的长度为xcm，由题意得：x：4 ，解得：x=2 2≈2.5.
故答案为：2.5.
分析：设蝴蝶身体的长度为xcm，根据黄金比为 列式计算即可.
12. 10.16
考点：黄金分割
解：设空姐应穿xcm的鞋子，
由题意得：(95+x)÷(65+95+x)=0.618,
解得：x=10.16，
分析：设空姐应穿xcm的鞋子，根据黄金分割比为0.618列式计算即可.
三、解答题
13. （1）解：5 : ( x +1) = 3 : x
3(x+1)=5x
3x+3=5x
x= 1.5
（2）解：∵c 为线段 a，b 的比例中项
∴c2=ab
由于 c>0，故c=4
考点：比例的性质
分析：（1）根据比例的性质，内项之积等于外项之积，把原方程化为普通方程，再移项合并同类项，x系数化为1即可求解；
（2）根据c为a、b的比例中项列式, 求出c, 再检验即可.
14. （1）解：设 = =k，可得：a=2k，b=3k，
把a=2k，b=3k代入
（2）解：∵C、D是AB上的两个黄金分割点，
∴AD=BC= AB=5 ﹣5，
∴CD=AD+BC﹣AB=10 ﹣20cm．
考点：比例的性质，黄金分割
分析：（1）利用已知可设a=2k，b=3k，再代入可求解。
（2）由点C、点D是线段AB的两个不同黄金分割点，利用黄金分割点的定义，可得出AD=BC=AB，就可求出AD、BC的长，再根据CD=AD+BC﹣AB，代入可求解。
15.解：距点A至少是1- ≈0.4或距点B至少是1- ≈0.4，
故最佳位置C在距A点或B点 AB处，
如图所示：
考点：黄金分割
分析：利用黄金分割的定义解答即可。
16. （1）解：如图，
（2）解：如图， 设AB=1，有： BC=BD= ，AC= ， AE=AD= ∴点E是线段AB的黄金分割点。
考点：作图—复杂作图，黄金分割
分析：（1）过点B作AB的垂线，再在垂线上截取BC=AB，以点C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，然后以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB于点E，即可确定出这个点。
（2）设AB的长为1，根据画法可得到BC，AC的长，然后求出AE的长，即可证得此点是线段AB的黄金分割点。
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初中数学浙教版九年级上册4.1比例线段（3）同步练习
一、单选题
1.已知线段 ，则线段 的比例中项为（???? ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
2.已知AB＝2，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP＞BP，则AP的长为（ ）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
3.一条线段的黄金分割点有（?? ）
A.?1个?????????????????????????????????????B.?2个?????????????????????????????????????C.?3个?????????????????????????????????????D.?无数个
4.如果线段b是线段a，c的比例中项， ，那么下列结论中正确的是（??? ）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
5.据有关实验测定，当室温与人体正常体温（37℃）的比值为黄金比时，人体感到最舒适，这个室温约（精确到1℃）（?? ）
A.?21℃????????????????????????????????????B.?22℃????????????????????????????????????C.?23℃????????????????????????????????????D.?24℃
6.已知如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（?? ）
A.?AB2＝AC2+BC2????????????B.?BC2＝AC?BA????????????C.?????????????D.?
7.如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（?? ）
A.?S1＞S2???????????????????????????????B.?S1=S2???????????????????????????????C.?S1＜S2???????????????????????????????D.?不能确定
8.“黄金分割”是一条举世公认的美学定律. 例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐. 目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版. 要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置（?? ）
A.?①?????????????????????????????????????????B.?②?????????????????????????????????????????C.?③?????????????????????????????????????????D.?④
二、填空题
9.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为________（结果带有根号）
10.一本书的宽与长之比为黄金比,已知它的长为18cm,则它的宽为________.
11.科学家发现，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是 ，则蝴蝶身体的长度约为________ （精确到 ）.
12.一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿________cm的鞋子才能好看？（精确到0.01cm）．
三、解答题
13.??（1）求x的值：5：（x+1)=3：x。
（2）已知线段a=2，b=8，求a，b的比例中项线段c。
14.?（1）已知 = ≠0，求代数式 的值；
（2）已知线段AB=10cm，点C、点D是线段AB的两个不同黄金分割点，
求C、D之间的距离．
15.实践证明，节目主持人站在舞台的黄金分割点处音响效果及审美效果最好．如下图，假设线段AB为舞台前沿，你能为主持人找出一个最佳位置C吗？
16.黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于图案设计。下图是一个包装盒的俯视图，线段AB是这个俯视图的中轴线，某公司想在中轴线AB上找到黄金分割点，安装视频播放器。
（1）请你用尺规作图的方式找出这个点（作出一点即可，保留作图痕迹）；
（2）证明你找到的点是线段AB的黄金分割点。
答案解析部分
一、单选题
1.D
考点：比例的性质
解：设a、b的比例中项为x，∵a=4，b=8，
∴x2=ab=32，∴x=±4 ，即a、b的比例中等于4 ．
故答案为：D.
分析：根据比例中项的定义可求解。
2. B
考点：黄金分割
解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，
且AP＞BP，
则AP＝ ×2＝ ﹣1.
故答案为：B.
分析：根据黄金分割点的定义和AP＞BP得出AP= AB，代入数据即可得出AP的长度.
3. B
考点：黄金分割
解：根据黄金分割点的概念，则一条线段的黄金分割点有2个.
分析：根据黄金分割点的定义即可求解.
4. B
考点：比例的性质
解：∵a：c=4：9，
∴9a=4c，即a=
又∵b是a，c的比例中项
∴a：b=b：c，即
∴b=
∴a：b= ： =2：3，b:c=2:3，
.
故答案为：B.
分析：首先由a：c=4：9，易得9a=4c，可以将a用c表示出了；再根据比例中项的概念，可得a：b=b:c，即b2=ac，那么 ，进而求解即可
5. C
考点：黄金分割
解：根据黄金比的值得：37×0.618≈23℃.
故答案为：C.
分析：根据黄金比的值可知，人体感到最舒适的温度应为37℃的0.618倍.
6. C
考点：黄金分割
解：黄金分割定义知， ,所以AC2=AB .
设AB=1，AC=x,
,
解得：x= . ，
故答案为：C.
分析：黄金分割，就是在一条线段上去一点，将这条线段一分为二，其中较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，从而即可列出比例式，根据比例式建立方程即可一一判断得出答案.
7. B
考点：黄金分割
解：∵C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，
∴BC2=AC?AB，
∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，
∴S1=BC2 ， S2=AC?AB，
∴S1=S2 ．
故答案为：B．
分析：由黄金分割点的性质，列出关系式进行计算即可。
8. B
考点：黄金分割
解：黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，观察图中的位置可知应该使小狗置于画面中②的位置，
故答案为：B.
分析：黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，观察图中的位置可知应该使小狗置于画面中②的位置，
二、填空题
9.
考点：黄金分割
解：如图，C是AB的黄金分割点（AC＞BC），
由题意得
，即 ，
AC2+AB·AC-AB2=0，
解得
AC= AB，AC= AB（舍去），
∴ = ．
∴这个比值为 ．
故答案为 ．
分析：根据所给黄金分割的定义列式求解即可．
10.
考点：黄金分割
解：设该长方形的宽为xcm，
根据题意 得， 解得x= .
故答案为： .
分析：由于黄金比的值， 故根据宽与长之比为黄金比列出方程，求解即可.
11. 2.5
考点：黄金分割
解：设蝴蝶身体的长度为xcm，由题意得：x：4 ，解得：x=2 2≈2.5.
故答案为：2.5.
分析：设蝴蝶身体的长度为xcm，根据黄金比为 列式计算即可.
12. 10.16
考点：黄金分割
解：设空姐应穿xcm的鞋子，
由题意得：(95+x)÷(65+95+x)=0.618,
解得：x=10.16，
分析：设空姐应穿xcm的鞋子，根据黄金分割比为0.618列式计算即可.
三、解答题
13. （1）解：5 : ( x +1) = 3 : x
3(x+1)=5x
3x+3=5x
x= 1.5
（2）解：∵c 为线段 a，b 的比例中项
∴c2=ab
由于 c>0，故c=4
考点：比例的性质
分析：（1）根据比例的性质，内项之积等于外项之积，把原方程化为普通方程，再移项合并同类项，x系数化为1即可求解；
（2）根据c为a、b的比例中项列式, 求出c, 再检验即可.
14. （1）解：设 = =k，可得：a=2k，b=3k，
把a=2k，b=3k代入
（2）解：∵C、D是AB上的两个黄金分割点，
∴AD=BC= AB=5 ﹣5，
∴CD=AD+BC﹣AB=10 ﹣20cm．
考点：比例的性质，黄金分割
分析：（1）利用已知可设a=2k，b=3k，再代入可求解。
（2）由点C、点D是线段AB的两个不同黄金分割点，利用黄金分割点的定义，可得出AD=BC=AB，就可求出AD、BC的长，再根据CD=AD+BC﹣AB，代入可求解。
15.解：距点A至少是1- ≈0.4或距点B至少是1- ≈0.4，
故最佳位置C在距A点或B点 AB处，
如图所示：
考点：黄金分割
分析：利用黄金分割的定义解答即可。
16. （1）解：如图，
（2）解：如图， 设AB=1，有： BC=BD= ，AC= ， AE=AD= ∴点E是线段AB的黄金分割点。
考点：作图—复杂作图，黄金分割
分析：（1）过点B作AB的垂线，再在垂线上截取BC=AB，以点C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，然后以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB于点E，即可确定出这个点。
（2）设AB的长为1，根据画法可得到BC，AC的长，然后求出AE的长，即可证得此点是线段AB的黄金分割点。
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