圆的轴对称性
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴．因此，圆有无数条对称轴．
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
注意：(1)垂直于弦的直线不一定平分弦；
(2)垂径定理中的平分弧，包括平分弦所对的劣弧和优弧．
3.
基本概念
(1)分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点．
(2)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．
例1：如图，已知在⊙O中，AB为直径，弦CD⊥AB交AB于点P，CD＝10，PB＝5AP，求⊙O的半径．
一、选择题
1．下列命题，正确的是( )
A．圆是轴对称图形，对称轴只有一条
B．在同圆中，互相垂直的两弦不能平分
C．直径一定平分弦
D．垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧
2.
如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，若AB＝10
cm，CD＝6
cm，则AC的长为
( )
A．0.5
cm
B．1
cm
C．1.5
cm
D．2
cm
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5
cm，CD＝8
cm，则AE等于(
)
A.
8
cm
B.
5
cm
C.
3
cm
D.
2
cm
4.
《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸(ED＝1寸)，锯道长1尺(AB＝1尺＝10寸)，问：这块圆柱形木材的直径是多少？”如图，圆柱形木材的直径AC是(
)
A.
13寸
B.
20寸
C.
26寸
D.
28寸
5.
如图，⊙O的半径为13，弦AB的长为24，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为
(
)
A.
8
B.
7
C.
6
D.
5
如图，在半径为5
cm的⊙O中，弦AB＝6
cm，OC⊥AB于点C，则OC等于(
)
A.
3
cm
B.
4
cm
C.
5
cm
D.
6
cm
7.
如图，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB垂足为N，则ON＝( )
A．5
B．7
C．9
D．11
8.
如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论不一定正确的是( )
A．CE＝DE
B．AE＝OE
C.＝
D．△OCE≌△ODE
9．[2018
·张家界]如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5
cm，CD＝8
cm则AE＝( )
A．8
cm
B．5
cm
C．3
cm
D．2
cm
10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为(
)
A.
B.
2
C.
2
D.
8
11．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB是( )
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．非菱形的平行四边形
12．[2018·衢州]如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连结BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8
cm，AE＝2
cm，则OF的长度是( )
A．3
cm
B.
cm
C．2.5
cm
D.
cm
13．如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为( )
A．3
B．4
C．3
D．4
二、填空题
1．如图，将半径为2
cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为____cm.
如图①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40
cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10
cm，则该脸盆的半径为
______cm.
① ②
3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AC，AD，△ACD是边长为2的等边三角形，则⊙O的半径为____．
4．[2017·眉山]如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8
cm，DC＝2
cm，则OC＝____cm.
5．如图，半径为5的⊙P与y轴相交于点M(0，－4)，N(0，－10)，函数y＝(x<0)的图象过点P，则k的值为____．
6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为(6，0)，⊙P的半径为，则点P的坐标为____．
三、解答题
1．如图，⊙O的直径为10
cm，弦AB＝8
cm，P是弦AB上的一个动点，求OP长的取值范围．
2．如图，C是⊙O上一点，⊙O的半径为2，D，E分别是弦AC，BC上的动点，且OD＝OE＝，求AB的最大值．
3．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E.
(1)若AB＝8，OE＝3，求⊙O的半径；
(2)若CD＝10，DE＝2，求AB的长；
(3)若⊙O的半径为6，AB＝8，求DE的长．
4．如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水平宽度AB为7.2
m，拱顶高出水面2.4
m，现有一艘宽(EF)为3
m，船舱顶部为长方形，并高出水面2
m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说明理由．
5.
如图，⊙O的半径OD⊥AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC，若AB＝8，CD＝2，求⊙O的半径及EC的长．圆的轴对称性
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴．因此，圆有无数条对称轴．
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
注意：(1)垂直于弦的直线不一定平分弦；
(2)垂径定理中的平分弧，包括平分弦所对的劣弧和优弧．
3.
基本概念
(1)分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点．
(2)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．
例1：如图，已知在⊙O中，AB为直径，弦CD⊥AB交AB于点P，CD＝10，PB＝5AP，求⊙O的半径．
分析：连结OD，设AP＝x，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解．
解答：如图，连结OD．设AP＝x，则PB＝5x，∴OP＝2x，OD＝3x.
∵OD2＝OP2＋PD2，∴(3x)2＝(2x)2＋52，∴x＝，∴⊙O的半径为3.
一、选择题
1．下列命题，正确的是( D )
A．圆是轴对称图形，对称轴只有一条
B．在同圆中，互相垂直的两弦不能平分
C．直径一定平分弦
D．垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧
2.
如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，若AB＝10
cm，CD＝6
cm，则AC的长为
( D )
A．0.5
cm
B．1
cm
C．1.5
cm
D．2
cm
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5
cm，CD＝8
cm，则AE等于(
A
)
A.
8
cm
B.
5
cm
C.
3
cm
D.
2
cm
4.
《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸(ED＝1寸)，锯道长1尺(AB＝1尺＝10寸)，问：这块圆柱形木材的直径是多少？”如图，圆柱形木材的直径AC是(
C
)
A.
13寸
B.
20寸
C.
26寸
D.
28寸
5.
如图，⊙O的半径为13，弦AB的长为24，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为
(
D
)
A.
8
B.
7
C.
6
D.
5
如图，在半径为5
cm的⊙O中，弦AB＝6
cm，OC⊥AB于点C，则OC等于(
B
)
A.
3
cm
B.
4
cm
C.
5
cm
D.
6
cm
7.
如图，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB垂足为N，则ON＝( A )
A．5
B．7
C．9
D．11
8.
如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论不一定正确的是( B )
A．CE＝DE
B．AE＝OE
C.＝
D．△OCE≌△ODE
【解析】
∵AB⊥CD，∴CE＝DE，＝，∵CO＝DO，EO＝EO，∴△OCE≌△ODE.
由已知条件不能确定AE和OE的关系．故选B.
9．[2018
·张家界]如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5
cm，CD＝8
cm则AE＝( A )
A．8
cm
B．5
cm
C．3
cm
D．2
cm
【解析】
∵弦CD⊥AB于点E，CD＝8
cm，∴CE＝CD＝4
cm，又∵OC＝5
cm，
∴在Rt△COE中，OE＝＝＝3
cm，∴AE＝OA＋OE＝5＋3＝8
cm.
10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为(
C
)
A.
B.
2
C.
2
D.
8
【解】 过点O作OH⊥CD于点H，连结OC.∵OH⊥CD，∴HC＝HD.∵AP＝2，BP＝6，
∴AB＝8，∴OA＝4，∴OP＝OA－AP＝2.∵∠OPH＝∠APC＝30°，∠OHP＝90°，∴OH＝OP＝1.
在Rt△OHC中，∵OC＝OA＝4，OH＝1，∴CH＝＝，∴CD＝2CH＝2.
11．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB是( C )
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．非菱形的平行四边形
【解析】
∵AB垂直平分半径OC，根据垂径定理可知AB与OC互相垂直平分，∴四边形OACB是菱形．故选C.
12．[2018·衢州]如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连结BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8
cm，AE＝2
cm，则OF的长度是( D )
A．3
cm
B.
cm
C．2.5
cm
D.
cm
【解析】
如答图，连结AB，∵AC⊥BD，∴BE＝ED＝8÷2＝4，∵AE＝2，根据勾股定理可得AB＝2，
又∵OF⊥BC，根据垂径定理可知BF＝CF，故可得知OF为△ABC的中位线，∴OF＝AB＝，故选D.
13．如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为( C )
A．3
B．4
C．3
D．4
【解析】
如答图，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N，连结OB，OD.由垂径定理、勾股定理，
得OM＝ON＝＝3.∵弦AB，CD互相垂直，∴∠DPB＝90°.∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴∠OMP＝∠ONP＝90°，∴四边形MONP是矩形，∵OM＝ON，∴四边形MONP是正方形，∴OP＝OM＝3.故选C.
二、填空题
1．如图，将半径为2
cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为__2__cm.
如图①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40
cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10
cm，则该脸盆的半径为
__25____cm.
① ②
【解析】如答图，设圆的圆心为O，连结OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O半径为R，∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝AB＝20(cm)，∠ADO＝90°，∵在Rt△AOD中，OA2＝AD2＋OD2，∴R2＝202＋(R－10)2，解得R＝25.
3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AC，AD，△ACD是边长为2的等边三角形，则⊙O的半径为__2__．
【解析】
如答图，连结OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE＝CD，∵AC＝CD＝2，∴CE＝，
∴AE＝＝＝3.设⊙O的半径为r，则OC＝r，∴OE＝AE－AO＝3－r，
在Rt△OCE中，由勾股定理得OE2＋CE2＝OC2，∴(3－r)2＋()2＝r2，解得r＝2，∴⊙O的半径为2.
4．[2017·眉山]如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8
cm，DC＝2
cm，则OC＝__5__cm.
【解析】
如答图，连结OA，∵OC⊥AB，∴AD＝AB＝4
cm，设⊙O的半径为R，由勾股定理，得
OA2＝AD2＋OD2，∴R2＝42＋(R－2)2，解得R＝5，∴OC＝5
cm.
5．如图，半径为5的⊙P与y轴相交于点M(0，－4)，N(0，－10)，函数y＝(x<0)的图象过点P，则k的值为__28__．
【解】 过点P作PA⊥MN于点A，连结PM，PN.∵点M(0，－4)，N(0，－10)，∴MN＝6.
∵PA⊥MN，∴MA＝MN＝3，∴OA＝|－4|＋3＝7.在Rt△MPA中，PA＝＝4，∴点P(－4，－7)．
将点P(－4，－7)的坐标代入y＝，得k＝28.
6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为(6，0)，⊙P的半径为，则点P的坐标为__(3，2)__．
【解析】
如答图，过点P作PD⊥x轴于点D，连结OP.∵A(6，0)，PD⊥OA，∴OD＝OA＝3.
∵OP＝，OD＝3，∴PD＝＝
＝2，∴点P的坐标为(3，2)．
三、解答题
1．如图，⊙O的直径为10
cm，弦AB＝8
cm，P是弦AB上的一个动点，求OP长的取值范围．
【解】 如解图，过点O作OE⊥AB于点E，连结OB.∵AB＝8
cm，∴AE＝BE＝AB＝×8＝4(cm)．
∵⊙O的直径为10
cm，∴OB＝×10＝5(cm)，∴OE＝＝＝3(cm)．
∵垂线段最短，半径最长，∴3
cm≤OP≤5
cm.
2．如图，C是⊙O上一点，⊙O的半径为2，D，E分别是弦AC，BC上的动点，且OD＝OE＝，求AB的最大值．
【解】 如解图，连结OC，当OD⊥AC，OE⊥BC时，∠ACB最大，此时AB最大．∵⊙O的半径为2，OD＝，∴∠ACO＝30°，∴AC＝2CD＝2＝2＝2.同理可得∠BCO＝30°，BC＝2，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝2，即AB的最大值为2.
3．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E.
(1)若AB＝8，OE＝3，求⊙O的半径；
(2)若CD＝10，DE＝2，求AB的长；
(3)若⊙O的半径为6，AB＝8，求DE的长．
解：如答图，连结OA.(1)∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，∴AE＝AB＝4.
∵在Rt△AOE中，OE＝3，∴OA＝＝＝5，∴⊙O的半径是5；
(2)∵CD是⊙O的直径，CD＝10，∴OA＝CD＝5，∵DE＝2，∴OE＝5－2＝3.
在Rt△AOE中，AE＝＝＝4，∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，∴AB＝2AE＝2×4＝8；
(3)∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，∴AE＝AB＝4.∵在Rt△AOE中，OA＝6，∴OE＝＝＝2，
∴DE＝OA－OE＝6－2.
4．如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水平宽度AB为7.2
m，拱顶高出水面2.4
m，现有一艘宽(EF)为3
m，船舱顶部为长方形，并高出水面2
m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说明理由．
解：此货船能顺利通过这座拱桥．理由如下：作弧所在的圆心O，过点O作AB的垂线交AB于点C，交MN于点D，连结OA，OM.由题意，知AC＝3.6
m，DM＝CE＝1.5
m．设半径为r
m，则OA2＝OC2＋AC2，即r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9，∴OC＝r－2.4＝3.9－2.4＝1.5(m)．在Rt△ODM中，OD＝＝＝3.6(m)，
∴CD＝OD－OC＝3.6－1.5＝2.1(m)．∵2.1
m＞2.0
m，∴此船能顺利通过这座拱桥．
5.
如图，⊙O的半径OD⊥AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC，若AB＝8，CD＝2，求⊙O的半径及EC的长．
解：∵OD⊥AB，AB＝8，∴BC＝AC＝AB＝×8＝4.设⊙O的半径为r，则OC＝OD－CD＝r－2.
在Rt△OAC中，r2＝(r－2)2＋42，解得r＝5.如题图，连结BE.∵OD＝5，CD＝2，∴OC＝3.
∵AE是直径，∴∠ABE＝90°.∵OC是△ABE的中位线，∴BE＝2OC＝6.
在Rt△CBE中，CE＝＝＝2.
