例1：如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝28°，求∠EDC的度数．
例2：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，AD+EC=AB．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；
（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？
（4）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由．
选择题
以下图形中，对称轴的数量少于3条的是(
)
如图，将长方形纸带ABCD沿EF折叠后，C，D两点分别落在点C′，D′的位置，经测量得∠EFB＝65°，则∠AED′的度数为(
)
65°
B.
55°
C.
50°
D.
25°
如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，点A与点A′重合．若∠A＝75°，则∠1＋∠2＝(
)
A.
210°
B.
150°
C.
105°
D.
75°
下列说法正确的是（ ）
等腰三角形的两条高相等
B．等腰三角形的两条角平分线相等
C．等腰三角形的两条中线相等
D．等腰三角形两腰上的中线相等
5.
等腰三角形的“三线合一”指的是(
)
A.
中线、高线、角平分线互相重合
B.
腰上的中线、腰上的高线、底角的平分线互相重合
C.
顶角的平分线、中线、高线互相重合
D.
顶角的平分线、底边上的高线、底边上的中线互相重合
6.
如图，已知AB＝AC＝BD，则∠1与∠2之间满足的关系是(
)
∠1＝2∠2
B.
∠1＋3∠2＝180°
C.
2∠1＋∠2＝180°
D.
3∠1－∠2＝180°
如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为(
)
A．
36°
B．
60°
C．
72°
D．
108°
8.
如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC．若∠1＝70°，则∠BAC的度数为(
)
A．
40°
B．
30°
C．
70°
D．
50°
9.
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE交于点O，且BD交AC于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE．上述结论一定正确的是(
)
A．
①②③
B．
②③④
C．
①③⑤
D．
①③④
10.
如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若AB＝AC，AD＝AE，则(
)
A．
当∠B为定值时，∠CDE为定值
B．
当α为定值时，∠CDE为定值
C．
当β为定值时，∠CDE为定值
D．
当γ为定值时，∠CDE为定值
如图，将长方形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD按箭头方向向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片展开，则展开图是(
)
填空题
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．若∠BAC＝64°，则∠BAD的度数为__
__．
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，已知BC＝6，∠B＝65°，则BD＝____，∠ADB＝____，∠BAC＝____．
如图，AB=AC=4cm，DB=DC，若∠ABC为60度，则BE为______．
如图，△ABC的内部有一点P，且D，E，F是点P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝
．
如图在△ABC中，BF、CF是角平分线，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，DE经过点F．结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；
③△ADE的周长=AB+AC；④BF=CF．其中正确的是_
____．(填序号)
证明题
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，作∠ABE＝∠ABD，且BE＝DC，连结AE．求证：AB平分∠EAD．
如图，将△ADE沿DE折叠，点A恰好落在BC边上的点A′处．若D为AB边的中点，∠B＝50°，求∠BDA′的度数．
如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的两条高线，BD与CE相交于点O．
(1)求证：OB＝OC．
(2)若∠ABC＝70°，求∠BOC的度数．
如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BF⊥AC于点F，交AD于点E，∠BAC＝45°．求证：△AEF≌△BCF．
如图，△ABE和△BCD都是等边三角形，且每个角是60°，那么线段AD与EC有何数量关系？请说明理由．例1：如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝28°，求∠EDC的度数．
【解】 ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．同理，∠ADE＝∠AED．
设∠EDC＝α，∠C＝β，则∠ADE＝∠AED＝∠EDC＋∠C＝α＋β，
∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝α＋β＋α＝2α＋β．
∵∠ADC＝∠BAD＋∠B＝28°＋β，∴2α＋β＝28°＋β，∴α＝14°，即∠EDC＝14°．
例2：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，AD+EC=AB．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；
（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？
（4）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由．
解：（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．
又∵AB=AD+BD=AD+EC,∴BD=EC
在△DBE和△ECF中
，BE=CF，∠B=∠C，BD=EC，∴△DBE≌△ECF（SAS）．
∴DE=EF．∴DEF是等腰三角形．
（2）∵∠A=40°，∠B=∠C，
∴∠B=∠C=70°．∴∠BDE+∠DEB=110°．
又∵△DBE≌△ECF，
∴∠FEC=∠BDE，
∴∠FEC+∠DEB=110°，
∴∠DEF=70°．
（3）假设△DEF是等腰直角三角形，即∠DEF=90°，
∴∠BDE+∠DEB=90°．∴∠B=∠C=90°．
这与三角形的内角和定理相矛盾，
∴△DEF不可能是等腰直角三角形．
（4）∠EDF+∠EFD=120°，即∠DEF=60°，∴∠FEC+∠DEB=120°，即∠B=60°．
∵AB=AC，
∴∠A=60°．
选择题
以下图形中，对称轴的数量少于3条的是(
D
)
如图，将长方形纸带ABCD沿EF折叠后，C，D两点分别落在点C′，D′的位置，经测量得∠EFB＝65°，则∠AED′的度数为(
C
)
65°
B.
55°
C.
50°
D.
25°
如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，点A与点A′重合．若∠A＝75°，则∠1＋∠2＝(
B
)
A.
210°
B.
150°
C.
105°
D.
75°
下列说法正确的是（ D ）
A．等腰三角形的两条高相等
B．等腰三角形的两条角平分线相等
C．等腰三角形的两条中线相等
D．等腰三角形两腰上的中线相等
5.
等腰三角形的“三线合一”指的是(
D
)
A.
中线、高线、角平分线互相重合
B.
腰上的中线、腰上的高线、底角的平分线互相重合
C.
顶角的平分线、中线、高线互相重合
D.
顶角的平分线、底边上的高线、底边上的中线互相重合
6.
如图，已知AB＝AC＝BD，则∠1与∠2之间满足的关系是(
D
)
∠1＝2∠2
B.
∠1＋3∠2＝180°
C.
2∠1＋∠2＝180°
D.
3∠1－∠2＝180°
如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为(
C
)
36°
B．
60°
C．
72°
D．
108°
8.
如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC．若∠1＝70°，则∠BAC的度数为(
A
)
A．
40°
B．
30°
C．
70°
D．
50°
9.
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE交于点O，且BD交AC于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE．上述结论一定正确的是(
D
)
A．
①②③
B．
②③④
C．
①③⑤
D．
①③④
10.
如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若AB＝AC，AD＝AE，则(
B
)
A．
当∠B为定值时，∠CDE为定值
B．
当α为定值时，∠CDE为定值
C．
当β为定值时，∠CDE为定值
D．
当γ为定值时，∠CDE为定值
【解】 ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝γ．
∵∠AED＝∠C＋∠CDE，∠ADC＝∠B＋α，
即γ＝∠C＋∠CDE，γ＋∠CDE＝∠B＋α，∴2∠CDE＝α．
如图，将长方形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD按箭头方向向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片展开，则展开图是(
D
)
【解】 严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来；也可仔细观察图形特点，利用对称性与排除法求解．
填空题
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．若∠BAC＝64°，则∠BAD的度数为__32°__．
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，已知BC＝6，∠B＝65°，则BD＝__3__，∠ADB＝__90°__，∠BAC＝__50°__．
如图，AB=AC=4cm，DB=DC，若∠ABC为60度，则BE为__2cm____．
【解析】因为AB=AC，∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形，又DB=DC，所以可得AE为△ABC的中垂线，所以BE=
BC=2cm．
如图，△ABC的内部有一点P，且D，E，F是点P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝360°．
【解】 连结AP，BP，CP.
根据轴对称的性质，知∠ADB＝∠APB，∠BEC＝∠BPC，∠CFA＝∠CPA，
∴∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝∠APB＋∠BPC＋∠CPA＝360°.
如图在△ABC中，BF、CF是角平分线，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，DE经过点F．结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；
③△ADE的周长=AB+AC；④BF=CF．其中正确的是_①②③____．(填序号)
【解析】∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB.
∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，∴∠FBC=∠DFB，∠FCE=∠FCB.
∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．
∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC，
∴△ADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．综上所述，命题①②③正确．故答案为①②③．
证明题
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，作∠ABE＝∠ABD，且BE＝DC，连结AE．求证：AB平分∠EAD．
【解】 ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴BD＝DC，AD⊥BC．
又∵BE＝DC，∴BD＝BE．又∵∠ABD＝∠ABE，AB＝AB，
∴△ABD≌△ABE(SAS)，∴∠BAD＝∠BAE，即AB平分∠EAD
如图，将△ADE沿DE折叠，点A恰好落在BC边上的点A′处．若D为AB边的中点，∠B＝50°，求∠BDA′的度数．
【解】 ∵D是AB的中点，∴BD＝AD．由折叠的性质，得A′D＝AD，∴BD＝A′D．
∴∠BA′D＝∠B＝50°．∵∠B＋∠BA′D＋∠BDA′＝180°，
∴∠BDA′＝180°－∠B－∠BA′D＝80°．
如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的两条高线，BD与CE相交于点O．
(1)求证：OB＝OC．
(2)若∠ABC＝70°，求∠BOC的度数．
【解】 (1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．
∵BD，CE是△ABC的两条高线，∴∠BEC＝∠CDB＝90°．
又∵BC＝CB，∴△BEC≌△CDB(AAS)，∴BE＝CD．
又∵∠BOE＝∠COD，∠BEO＝∠CDO＝90°，∴△BOE≌△COD(AAS)，∴OB＝OC．
(2)连结DE．∵∠ABC＝70°，AB＝AC，∴∠A＝180°－2×70°＝40°．
∵∠A＋∠AED＋∠ADE＝180°，∠OED＋∠ODE＋∠DOE＝180°，
∴∠A＋∠AEO＋∠ADO＋∠DOE＝360°．又∵∠AEO＝∠ADO＝90°，
∴∠A＋∠DOE＝180°，∴∠BOC＝∠DOE＝180°－40°＝140°．
如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BF⊥AC于点F，交AD于点E，∠BAC＝45°．求证：△AEF≌△BCF．
【解】 过点F作FG⊥AB于点G．∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，∴∠ABF＝45°．
∵FG⊥AB，∴∠AGF＝∠BGF＝90°．
在△AGF和△BGF中，∵∴△AGF≌△BGF(AAS)，
∴AF＝BF．∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠EAF＋∠C＝90°．
∵BF⊥AC，∴∠AFE＝∠BFC＝90°，∠CBF＋∠C＝90°，∴∠EAF＝∠CBF．
在△AEF和△BCF中，∵∴△AEF≌△BCF(ASA)．
如图，△ABE和△BCD都是等边三角形，且每个角是60°，那么线段AD与EC有何数量关系？请说明理由．
【解析】AD=EC．证明如下：
∵△ABC和△BCD都是等边三角形，每个角是60°
∴AB=EB，DB=BC，∠ABE=∠DBC=60°，
∴∠ABE+∠EBC=∠DBC+∠EBC
即∠ABD=∠EBC
在△ABD和△EBC中
AB=EB
∠ABD=∠EBC
DB=BC
∴△ABD≌△EBC（SAS）
∴AD=EC
