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【每周培优集训】第一周：第三章
圆的基本性质答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.
答案：B
解析：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，
∴⊙O的半径为4cm．
故答案为：B．
2.答案：B
解析：连结OD，如图，
∵OB＝DE，OB＝OD，∴DO＝DE，
∴∠E＝∠DOE，
∵∠1＝∠DOE+∠E，∴∠1＝2∠E，
而OC＝OD，
∴∠C＝∠1，∴∠C＝2∠E，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，
∴∠E＝∠AOC＝×84°＝28°．
故选：B．
3.答案：B
解析：当点在圆内时，则直径为11+5=16，
∴半径为16÷2=8，
当点在圆外时，则直径为11-5=6，
∴半径为6÷2=3，
故答案为：B.
4.答案：C
解析：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：
则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，
∴EG＝AG﹣AE＝2，
在Rt△BOG中，OG＝，
∴EG＝OG，
∴△EOG是等腰直角三角形，
∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，
∵∠DEB＝75°，
∴∠OEF＝30°，
∴OF＝OE＝，
在Rt△ODF中，DF＝，
∴CD＝2DF＝；
故选：C．
5.答案：
C
解析：∵
点
的坐标为（-1,0），点
的坐标为（-3,4）
，
∴，
又∵，
∴点P在⊙O的内
.
故答案为：C.
6.答案：A
解析：如图所示：
点O为
外接圆圆心，则AO为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：．
故答案为：A
7.答案：C
解析：设OD＝x(cm)，则CD＝2x(cm)．
连结OC，OF.∵小正方形的面积为16
cm2，
∴DE＝EF＝4
cm.
在Rt△COD和Rt△OEF中，
∵OC2＝OD2＋CD2＝5x2，OF2＝OE2＋EF2＝(x＋4)2＋42，
∴5x2＝(x＋4)2＋42，
解得x1＝4，x2＝－2(不合题意，舍去)．
∴OC＝(cm)．
故选择C
8.答案：
B
解析：x
2-12x+20=0，
（x-2）（x-10）=0，
∴x=10或2，
当x=2时，2+6=8，不符合题意，
∴x=10，
当第三边为10时，因为62+82=102
，
此三角形是直角三角形，如图，
此三角形的外接圆的直径为最大边10，
则此三角形的外接圆半径为5，
故选择：B．
9.答案：A
解析：∵车宽2.4米，
∴欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度与车高．
在Rt△OCD中，由勾股定理可得：
CD＝（m）
CH＝CD+DH＝1.6+2.5＝4.1米，
∴卡车的外形高必须低于4.1米．
故选：A．
10.答案：C
解析：∵将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1
，
且A1O=2AO，A1B
1=OA1
，
再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2
，
且A2O=2A1O，A2B2=A2O…，依此规律，
∴每4次循环一周，B1（2，﹣2），B2（﹣4，-4），B3（-8，8），B4（16，16），
∵，
∴点与同在第一象限，
∵﹣4=﹣22
，
8=23
，
16=24
，
∴点，
故答案为：C.
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：点B在⊙C外
解析：如图，∵点C在线段AB上，且0＜AC＜AB，
∴BC＞AC，
∴点B在⊙C外，
故答案为：点B在⊙C外
12.答案：
解析：设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（1，2），B（3，﹣3），
∴
解得：，
∴直线AB的解析式为，
∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（x，y）三点可以确定一个圆时，
∴点C不在直线AB上，
∴5x+2y≠9，
故答案为：．
13.答案：
点D在圆外；
解析：（1）∵圆的半径为
∴点D在圆外。
（2）根据题意可知，有且仅有一点在圆外时，此时该点为点C
连接AC，由勾股定理可得AC=5
∴半径的范围为.
14.答案：
解析：∵
?∴
∵，，,?
∴，，
∴△ABC为等腰三角形.如图所示,作CD⊥AB,
设O为外接圆的圆心,则OA=OC=R.∵AC=BC=5,AB=6,∴AD=BD=3,
∴CD==4,∴OD=CD-OC=4-R,
在Rt△AOD中,R2=32+(4-R)2,
解得R=
15.答案：10
cm或70
cm.
解析：作半径OD⊥AB于C，连结OB，由垂径定理得BC＝AB＝30，
在Rt△OBC中，OC＝，当水位上升到圆心以下时，水面宽80
cm，
则，
水面上升的高度为40－30＝10
cm；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为40＋30＝70
cm.
综上可得，水面上升的高度为10
cm或70
cm.
16.答案：或或．
解析：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，
则AE＝BE＝AB＝2，DF＝CF＝CD＝2，
如图1，
在Rt△OBE中，∵OB＝，BE＝2，
∴OE＝，
同理可得OF＝1，
∵AB⊥CD，
∴四边形OEPF为矩形，
∴PE＝PF＝1，
∴PA＝PC＝1，
∴；
如图2，
同理：；
如图3，
同理：
故答案为：或或．
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：如图，
过点A作AC⊥ON，
∵∠MON=30°，OA=80米，
∴AC=40米，
当第一台拖拉机到B点时对学校产生噪音影响，此时AB=50，
由勾股定理得：BC=30，
第一台拖拉机到D点时噪音消失，
所以CD=30．
由于两台拖拉机相距30米，则第一台到D点时第二台在C点，还须前行30米后才对学校没有噪音影响．
所以影响时间应是：90÷5=18秒．
答：这两台拖拉机沿ON方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒
18.
解析：（1）证明：∵D是△ABC的边BC的中点
∴BD=CD，
∵BC∥EF，AD⊥EF
∴AD⊥BC，即AD垂直平分BC，
∴AB=AC
（2）证明：连接BO，
由（1）知AD垂直平分BC
∴OB=OC
∵OA=OC
∴AO=BO=CO
∴点O是△ABC的外接圆的圆心.
19.
解析：（1）点A；90°
（2）CD⊥BE
理由如下：∵△BAE可看作是由△CAD顺时针旋转所得，
∴△ACD≌△ABE
∴∠ACD＝∠ABE
，
∵在Rt△ABC中，∠ACD+∠BCD+∠ABC＝90°，
∴∠BCD+∠ABC+∠ABE＝90°
∴∠BOC＝90°
∴CD⊥BE
20.解析：（1）∵∠AOB＝90°，
∴AB是⊙M的直径，
∵A（8，0），B（0，6），
∴AB＝，
∴⊙M的半径为5，
由线段中点坐标公式，，得x＝4，y＝3，
∴M（4，3），
（2）点C在⊙M上，
理由：∵C（1，7），M（4，3），
∴CM＝，
∴点C在⊙M上．
21.解析：如解图，连结AD，过点D作DH⊥AB于点H.
∵MN是⊙O的直径，CD⊥MN，
∴点C，D关于MN对称，
∴PC＝PD，∴当P为AD与MN的交点时，PA＋PC的值最小．
连结AO，CO.
∵AB⊥MN于点E，
∴AE＝AB＝4。又∵AO＝5，∴EO＝
同理，CF＝DF＝3，易求得OF＝4，
∴EF＝7.由DH⊥AB，易知DH＝EF＝7，EH＝DF＝3，
∴AH＝AE＋EH＝4＋3＝7.在Rt△AHD中，
∵AH＝DH＝7，∴AD＝，
∴PA＋PC的最小值为.
22.解析：（1）∵AB＝4cm＝⊙A的半径，∴点B在⊙A上；∵AC＝6cm＞4cm，
∴点C在⊙A外；
由勾股定理，得BC＝cm，∵AM是BC边上的中线，
∴AM＝BC＝cm＜4cm，∴点M在⊙A内；
（2）以点A为圆心作⊙A，使B、C、M三点中至少有一点在⊙A内时，r＞cm，
当至少有一点在⊙A外时，r＜6cm，故⊙A的半径r的取值范围为：cm＜r＜6cm．
23.解析：（1）∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD＝∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC＝∠CBD，
∴∠DAC＝∠DBA；
（2）证明：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB＝90°，
∴∠1+∠3＝∠5+∠3＝90°，
∴∠1＝∠5＝∠2，
∴PD＝PA，
∵∠4+∠2＝∠1+∠3＝90°，且∠ADB＝90°，
∴∠3＝∠4，
∴PD＝PF，
∴PA＝PF，即P是线段AF的中点；
（3）连接CD，
∵∠CBD＝∠DBA，
∴CD＝AD，
∵CD＝3，∴AD＝3，
∵∠ADB＝90°，
∴AB＝5，
故⊙O的半径为2.5，
∵DE×AB＝AD×BD，
∴5DE＝3×4，
∴DE＝2.4．
即DE的长为2.4．
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【每周培优集训】第一周：第三章
圆的基本性质
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为（??
）cm．
A.?2???????????????????B.?4???????????????
C.?8????
D.?16
2.如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（ ）
A．42°
B．28°
C．21°
D．20°
3.一个点到圆的最大距离为11，最小距离为5，则圆的半径为（??
?
）
A.?16或6???????
B.?3或8????????????
C.?3??????
D.?8
4.如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是
（
）
A．2
B．
C．
D．
5.已知⊙O的半径为5，点
的坐标为（-1,0），点
的坐标为（-3,4），则点
与⊙O的位置关系是（????
）
A.?点P在⊙O的外???????B.?点P在⊙O的上???????C.?点P在⊙O的内??????D.?不能确定
6.如图，将放在每个小正方形边长为1的网格中，点A,B,C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（??
）
A.???????????????????B.????????????????????C.?2???????????????D.?
7．如图，两个正方形彼此相邻且内接于半圆．若小正方形的面积为16
cm2，则该半圆的半径为(
)
A.
(4＋)cm
B.
9
cm
C.
4
cm
D.
6
cm
8.三角形两边的长分别是
8
和
6，第三边的长是方程
x2﹣12x+20＝0
的一个实数根，则三角形的外接圆半径是(???
)
A.?4??????????????????????B.?5???????????????????C.?6???????????????????D.?8
9.一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道，则卡车的外形高必须低于（ ）
A．4.1米
B．4.0米
C．3.9米
D．3.8米
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB＝90°，直角边AO在x轴上，且AO＝1.将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1
，
且A1O＝2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2
，
且A2O＝2A1O……依此规律，得到等腰直角三角形.则点的坐标（?
?
）
A.（，
）????B.（
，
）
C.?（
，
）???D.?（
，）
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.已知点C在线段AB上，且0＜AC＜
AB．如果⊙C经过点A，那么点B与⊙C的位置关系是________
12.若A（1，2），B（3，﹣3），C（x，y）三点可以确定一个圆，则x、y需要满足的条件是?_______
13.已知矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，若以点A为圆心，cm长为半径作⊙A，则点D与⊙A的位置关系________。若以点A为圆心作⊙A，使得B、C、D三点中有且只有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是________
14.已知△ABC的三边满足,则△ABC的外接圆半径=________
15.一下水管道横截面为圆形，直径为100
cm，下雨前水面宽为60
cm，一场大雨过后，水面宽为80
cm，则水位上升_________________cm.
16.在半径为的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB＝CD＝4，则
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多少？
18.如图,D是△ABC的边BC的中点,过AD延长线上的点E作AD的垂线EF,
E为垂足,EF与AB的延长线相交于点F,点O在AD上,
，.
（1）证明：；
（2）证明：点O是△ABC的外接圆的圆心；
19.如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，连接CD、BE
，
CD、BE相交于点O
，
△BAE可看作是由△CAD顺时针旋转所得．（1）旋转中心是________，旋转角度是________；
（2）判断CD与BE的位置关系，并说明理由．
20.如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），C（1，7），⊙M经过原点O及点A、B．（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；（2）判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由．
21.
如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是⊙O的直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，且点E，F在点O的两侧．若P为EF上任意一点，求PA＋PC的最小值．
22．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，AC＝6cm，AM是中线．
（1）以A为圆心，4cm长为半径作⊙A，则点B、C、M与⊙A是什么位置关系？
（2）若以A为圆心作⊙A，使点B、C、M三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？
23.已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．
（1）求证：∠DAC＝∠DBA；
（2）求证：P是线段AF的中点；
（3）连接CD，若CD＝3，BD＝4，求⊙O的半径和DE的长
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