第三章
圆的基本性质之考点专练（上）
考点七：圆内接四边形
1.
如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．求⊙C的半径及圆心C的坐标．
2.
如图，分别延长圆内接四边形ABDE的两组对边，延长线相交于点F、C，若∠F=27°，∠A=53°，则∠C的度数为（ ）
A.
30°
B.
43°
C.
47°
D.
53°
3.
如图,ABCD是⊙O的内接四边形,∠B=130°,则∠AOC的度数是
度．
4.
如图，圆内接四边形ABDC，延长BA和DC相交于圆外一点P，∠P=30°，∠D=70°，则∠ACP=
__________．
5.
如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长AD，BC相交于点E，点F是BD延长线上的点，且DE平分∠CDF.
求证：AB＝AC.
考点八：圆内定理的综合应用
6.
如图，MN是⊙O的直径，弦AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且=，连接CM交AB于点E，交AN于点F.现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③=；④∠ACM
+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF.其中正确结论的个数是（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
7.
如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为
______
．
8.
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为______．
9.
如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.
（1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径.
10.
如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且=.
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值.
考点九：正多边形
11.
一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的外接圆半径是（ ）
A.
2
B.
C.
1
D.
1/2
12.
如图，小亮从A点出发，沿直线前进100m后向左转30°，再沿直线前进100m，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了______m．
13.
如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是___________.
14.
如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的外接圆的半径R，边心距?，面积?.
15.（1）如图①，M、N分别是⊙O的内接正△ABC的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON，求∠MON的度数．
（2）图②、③、…④中，M、N分别是⊙O的内接正方形ABCD、正五边ABCDE、…正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON；则图②中∠MON的度数是
______
，图③中∠MON的度数是
______
；…由此可猜测在n边形图中∠MON的度数是
______
．
考点十：弧长与扇形面积
16.半径为6cm的圆上有一段长度为2.5πcm的弧，则此弧所对的圆心角为（ ）
A.35°
B.45°
C.60°
D.75°
17.
如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为多少？
18.
圆心角为60°，且半径为12的扇形的面积等于____.
19.
如图,六边形ABCDEF是正六边形,曲线FK
1K
2K
3K
4K
5K
6K
7…叫做“正六边形的渐开线”,其中FK
1,K
1K
2,K
2K
3,K
3K
4,K
5K
6…的圆心依次按A,B,C,D,E,F循环,其弧长分别记为l
1,l
2,l
3,l
4,l
5,l
6,…．当AB=1时,l
2014等于
20.
如图，将边长为1的等边三角形△ABC放在水平直线l上向右连续翻滚n次，第一次以点C为旋转中心，第二次以点A为旋转中心，第三次以点B为旋转中心，…，到第2010次后停止翻滚，请在图中标出“第②次”时三角形顶点坐标为A____、B____、C____与“第2010次”时三角形顶点坐标为A____、B____、C____的位置．
考点十一：不规则图形求面积
21.
如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，分别以A、C为圆心，AD、CB为半径画弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A.
4-2π
B.
8-
C.
8-2π
D.
8-4π
22.
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°．把△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△AB'C',若AB=4,则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是( )
A.
π
B.
π
C.
2π
D.
4π
23.
如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC的夹角为，AB的长为30cm，BD的长为18cm，则扇面（阴影部分图形）的面积为____（结果保留）。
24.
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_______.
25.
如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四边形ABCD的周长为15．(1)求此圆的半径；(2)求图中阴影部分的面积．
参考答案
1.-------------------------------------------------------------
解：（1）∵四边形AOMB是圆内接四边形，∠BMO=120°，
∴∠OAB+∠MBO=180°（圆内接四边形对角互补）
∴∠OAB=180°–120°=60°，
∴∠ABO=90°–60°=30°，
∵点A的坐标为（0，4），∴OA=4，
在Rt三角形AOB中
∵∠ABO=30°
∴OA=1/2AB（30°角所对的边是斜边的一半）
∴AB=2OA=2??4=8，
⊙C的半径AC==4；
（2）作CE垂直AO于点E，
∵C在第二象限，
∴C点横坐标小于0，
设C点坐标为（x，y），
由半径AC=OC=4，即=，
则==4，
解得，y=2，x=-2或x=2（舍去），
故⊙C的半径及圆心C的坐标分别为：4，（-2，2）．
2.
-------------------------------------------------------------
【答案】
C
解：∵∠A=53°，∠F=27°，
∴∠CBD=∠A+∠F=80°，
∵∠A+∠BDE=180°，
∴∠BDE=180°-53°=127°，
∵∠BDE=∠C+∠CBD，
∴∠C=127°-80°=47°．
故选C．
先根据三角形外角性质∠CBD=∠A+∠F=80°，根据圆内接四边形的性质得到∠A+∠BDE=180°，求得∠BDE=180°-53°=127°，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．也考查了三角形外角性质．
3.-------------------------------------------------------------
首先根据圆内接四边形的对角互补,得∠D=180°-∠B=50°．再根据圆周角定理,得∠AOC=2∠D=100°．
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠D=180°-∠ABC=50°;
∴∠AOC=2∠D=100°．
4.-------------------------------------------------------------
第1空：80°
【解答】解：∵∠P=30°，∠D=70°，
∴∠B=80°，
∴∠ACP=∠B=80°，
故答案为：80°．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B，根据圆内接四边形的性质解答．
5.-------------------------------------------------------------
证明：∵四边形ABCD内接于圆，∴∠ABC＝∠CDE.∵DE平分∠CDF，∴∠CDE＝∠EDF＝∠ADB.又∵＝，∴∠ACB＝∠ADB.∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.
6.
-------------------------------------------------------------
答案：D.
解：
∵MN是⊙O的直径，弦AB⊥MN，
∴∠MAN=90°，AD=BD，=.
故①②③正确；
∵＝，
∴∠ACM=∠ANM.
∵∠ANM=∠AOM，
∴∠ACM+∠ANM=∠AOM.
∵=，
∴∠AOM=∠BOM，
∴∠ACM+∠ANM=∠BOM.
故④正确；
∵＝，=，
∴∠AMC=∠BAM，
∴AE=EM.
∵∠MAN=90°，
∴∠AMC+∠AFM=90°，∠BAM+∠EAF=90°，
∴∠AFM=∠EAF，
∴AE=EF，
∴AE=MF.
故⑤正确.
所以正确的结论共5个.
故选D.
1、仔细分析题目，回想圆的相关知识，想一想弦、弧、圆周角之间有什么关系？
2、已知MN是⊙O的直径，弦AB⊥MN，利用垂径定理即可判断①②③的正误；
3、根据＝可得∠ACM=∠ANM，结合同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠ANM=∠AOM，由此进行角度之间的转化即可判断④的正误；
4、由=，=可得∠AMC=∠BAM，从而利用等角对等边的性质可得AE=EM；
5、然后由同角的余角相等可得∠AFM=∠EAF，从而得到AE=EF，进而判断⑤的正误，快试试吧！
7.
-------------------------------------------------------------
解析解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．
此时PA+PB最小，且等于AC的长．
连接OA，OC，根据题意得：
∵∠AMN=30°，
∴弧AN的度数是60°，
∵B为AN弧的中点，
∴弧BN的度数是30°，
∵NO⊥BC，
∴=，
∴弧CN的度数是30°，
∴=+=90°
∴∠AOC=90°，
又∵OA=OC=1，
∴AC==．
即PA+PB的最小值为：，
故答案为：．
首先利用在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点P的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算．
此题主要考查了利用轴对称求最短路线问题，解答此题的关键是找到点B的对称点，把题目的问题转化为两点之间线段最短解答．
答案
8.-------------------------------------------------------------
【解答】解：延长AE交⊙O于F，
∵AE⊥CD，
∴=，
∴∠DBC=2∠DAF，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ADE=∠GBC=50°，
∴∠DAF=40°，
∴∠DBC=2∠DAF=80°，
故答案为：80°．
【分析】延长AE交⊙O于F，根据垂径定理得到=，得到∠DBC=2∠DAF，根据圆内接四边形的性质、三角形内角和定理计算即可．
9.-------------------------------------------------------------
证明：（1）∵∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE.
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠BAD=∠CAD=∠CBD.
∵∠BED=∠ABE+∠BAD
=∠CBE+∠CBD，
即∠BED=∠DBE，
∴DB=DE.
（2）连接CD，
∵∠BAC=90°，
∴BC是△ABC外接圆的直径，
∴∠BDC=90°.
∵∠CAD=∠BAD=∠CBD，∠BAC=90°，
∴∠CBD=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC=BD=4，
∴△ABC外接圆的半径为2.
【解题方法提示】
（1）先根据角平分线的定义得∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，再根据圆角定理得∠CAD=∠CBD；
然后利用三角形外角的性质得，∠BED=∠ABE+∠BAD，从而进一步可得∠DBE=∠DEB，由此即可得证；
（2）连接CD，根据圆周角定理由∠BAC=90°得BC是△ABC外接圆的直径，从而∠BDC=90°，再由（1）∠CAD=∠BAD=∠CBD得∠CBD的度数；
然后利用等腰直角三角形的判定定理及性质求得BC的长即可.
10.
------------------------------------------------------------
解：（1）△ABC为等腰三角形.理由如下：
∵=，
∴∠EBD=∠EDB.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°.
∴∠CDE+∠EDB=∠C+∠EBD=90°，
∴∠CDE=∠C.
∵四边形ABED内接于⊙O，
∴∠CDE=∠CBA，
∴∠C=∠CBA，
∴△ABC是等腰三角形.
（2）∵∠CDE=∠C，
∴CE=DE.
∵=，
∴DE=EB，
∴CE=EB=BC=×12=6.
∵⊙O的半径为5，∠C=∠CBA，
∴AC=AB=10.
∵∠CDE=∠CBA，∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBA，
∴，即，
∴CD=7.2，
∴AD=AC-CD=10-7.2=2.8，
∴sin∠ABD===.
【解题方法提示】
分析题意，对于（1），要判断△ABC的形状，需找出边或角之间的关系，你有思路了吗？
根据“等弧所对的圆周角相等”以及“直径所对的圆周角为直角”，利用直角三角形的性质可推出∠CDE=∠C；
接下来根据圆内接四边形的的性质可得∠CDE=∠CBA，结合上述的结论，第（1）问便可解答了；
对于（2），要求sin∠ABD的值，根据正弦的定义，只需求出AB和AD的值即可；
AB的值可通过半圆的半径求得，而AD的值，则需先求出CD的长，CD的长要通过证明△CDE∽△CBA，利用相似三角形的性质求出，试试吧！
11.------------------------------------------------------------
A．2
解：设多边形的边数为n．
因为正多边形内角和为（n-2）?180°，正多边形外角和为360°，
根据题意得：（n-2）?180°=360°×2，
解得：n=6．
故正多边形为6边形．
边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，
所以正多边形的半径等于2．
故选：A．
先由多边形的内角和和外角和的关系判断出多边形的边数，再求多边形的半径．
12.
------------------------------------------------------------
∵360÷30=12，
∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×100=1200米．
故答案为：1200米．
13.------------------------------------------------------------
答案：.
解：连接AC、EC，AC与EF相交于点M，则AC经过圆心O，如图所示.
∴AC垂直平分EF，∠EAC=∠FAC=∠EAF=30°.
不妨设正方形的边长为2，则AC=2.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC=90°.
在Rt△AEC中，AE=AC?cos∠EAC=2×=，CE=AC?sin∠EAC=2×=.
在Rt△MCE中，∵∠FEC=∠FAC=30°，
∴CM=CE?sin∠FEC=×=.
∵△GCH是等腰直角三角形，
∴GH=2CM=.
∵△AEF是等边三角形，
∴EF=AE=，
∴==.
【解题方法与技巧】
本题是关于圆中的线段比值问题，考查的知识点较多，综合性较强，解题的关键是作出辅助线：连接AC、EC，从而得到AC经过圆心O，AC垂直平分EF，∠EAC=∠FAC=∠EAF=30°，为后面的解题奠定了基础.另外，在求解与圆有关的问题时，常常要注意圆的简单性质的应用，例如直径所对的圆周角等于90°，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，相交弦定理、切割线定理等的应用.
【解题方法提示】
连接AC、EC，AC与EF相交于点M，可知AC经过圆心O，则AC垂直平分EF，∠EAC=∠FAC=∠EAF=30°；
由AC是⊙O的直径，得到∠AEC=90°，在Rt△AEC和Rt△MCE中，根据三角函数求出AE、CE、CM的值；
接下来根据等腰三角形斜边的中线等于斜边的一半求出GH=2CM，接下来，自己试试吧！
14.------------------------------------------------------------
解：(1)连接OA，OB，∵正6边形的中心角为360°÷6=60°，∴△OAB是等边三角形，
∴边长为6cm的正六边形外接圆半径是6cm；(2)作OM⊥AB，得到∠AOM=30度，∴?正六边形的边心距；(3)△OAB的面积为：?∴正六边形的面积?故答案为：(1)6cm；(2)；(3).
根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解半径，正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出边心距，最后正六边形的面积等于6个等边三角形的面积之和.
15.------------------------------------------------------------
解析解：
（1）连接OB、OC；
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴OB=OC，∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=∠OBA=30°，
在△OBM和△OCN中
∴△OBM≌△OCN（SAS），
∴∠MOB=∠NOC，
∴∠MON=∠BOC=120°；
（2）同理在图②中可求得∠MON=∠BOC=90°，
在图③中可求得∠MON=∠BOC==72°，
∴在n边形图中，∠MON=∠BOC=，
故答案为：90°；72°；．
（1）连接OB、OC，可证明△OBM≌△OCN，可求得∠MON=∠BOC=120°；
（2）同理可求得图②、图③和正n边形的图中∠MON和正多边形的中心角相等，可求得答案．
本题为圆的综合应用，涉及正多边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识．构造三角形全等是解题的关键，注意归纳推理，本题难度不大．
答案
90°；72°；
16.------------------------------------------------------------
答案：D.
解：设该弧所对的圆心角的度数为α，则=2.5π，
所以α=75°.
故选D.
【考点提示】
本题是一道关于弧长的题目，掌握弧长公式是解题的关键；
【解题方法提示】
首先设该弧所对的圆心角的度数为α，代入弧长计算公式可得=2.5π；
接下来对上式求解得到α的值，即可解答.
17.
------------------------------------------------------------
【答案】将点A翻滚到A2位置分成两部分：第一部分是以B为旋转中心，BA长5cm为半径旋转90°，第二部分是以C为旋转中心，3cm为半径旋转60°，根据弧长的公式计算即可．
第一次是以B为旋转中心，BA长5cm为半径旋转90°，（2分）
此次点A走过的路径是．（4分）
第二次是以C为旋转中心，3cm为半径旋转60°，（2分）
此次走过的路径是，（2分）
∴点A两次共走过的路径是．（2分）
18.
-----------------------------------------------------------
答案：24π.
解：根据扇形面积公式可得=24π.
【考点提示】
分析题意，仔细想想扇形的面积公式；
【解题方法提示】
设一个扇形的半径为r，圆心角度数为n°，则扇形的面积=；
根据扇形的面积公式即可得到本题的答案.
19.
-----------------------------------------------------------
答案：
利用弧长公式,分别计算出l
1,l
2,l
3,…的长,寻找其中的规律,确定l
2014的长．
解：根据题意得：l
1=
=
,
l
2=
=
,
l
3=
=
=π,
l
4=
=
,
按照这种规律可以得到：l
n=
,
所以l
2020=
．
故答案为．
20.-----------------------------------------------------------
【答案】观察图形可知等边三角形△ABC放在水平直线l上向右连续翻滚n次，每连续翻滚三次是一个循环．
如图：以原始状态时点B为坐标原点，水平直线l为x轴，过B点垂直于l的直线为y轴建立平面直角坐标系．
根据等边三角形和旋转的性质可知“第②次”时三角形顶点坐标为A
（2，0）、B
（3，0）、C点横坐标为（2+3）÷2=2.5，纵坐标为1×=0.5，即C（2.5，0.5）．
∵每连续翻滚三次是一个循环，2010÷3=670．故图形的三角形顶点与原始状态时相同，“第2010次”时三角形顶点坐标为A
（2010.5，0.5）、B
（2010，0）、C
（2011，0）．
21.---------------------------------------------------------
C．8-2π
解：∵矩形ABCD，
∴AD=CB=2，
∴S阴影=S矩形-S半圆=2×4-π×22=8-2π，
故选C．
用矩形的面积减去半圆的面积即可求得阴影部分的面积．
22.-----------------------------------------------------------
C
根据阴影部分的面积是：扇形BAB′的面积+S
△AB′C′-S
△ABC-扇形CAC′的面积,分别求得：扇形BAB′的面积S
△AB′C′,S
△ABC以及扇形CAC′的面积,即可求解．
解：扇形BAB′的面积是：
=
,
在直角△ABC中,BC=AB?sin60°=4×
=2
,AC=
AB=2,
S
△ABC=S
△AB′C′=
AC?BC=
×2
×2=2
．
扇形CAC′的面积是：
=
,
则阴影部分的面积是：扇形BAB′的面积+S
△AB′C′-S
△ABC-扇形CAC′的面积=
-
=2π．
故选：C．
23.-----------------------------------------------------------
【答案】
【解析】
。
故答案为：。
【答案】
【解析】
。
故答案为：。
24.------------------------------------------------------------
解析观察图形发现：阴影部分的面积=两个半圆的面积-直角三角形的面积．根据勾股定理又知以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积即2π．然后根据勾股定理求面积即可．
答案解：图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．
即阴影部分的面积=π×4+π×1-4×2÷2=π-4．所以阴影部分的面积是π-4．
点评此题综合运用了勾股定理以及一个结论：以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积．
25.
-----------------------------------------------------------
解析根据条件可以证得四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=DC，∠BDC=90°，在直角△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC，根据四边形ABCD的周长为15，即可求得BC，即可得到圆的半径
答案解：(1)∵AD∥BC，∠BAD=120°，∴∠ABC=∠DCB=180°－∠BAD=180°－120°=60°，又∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=30°，∴∠DBC+∠DCB=90°，∴∠BDC=90°∴BC是圆的直径．∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°∴AB=AD=DC?，∠BCD=60°∴AB=AD=DC，∵BC是直径，∴∠BDC=90°，在直角△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC．∴BC+?32BC=15，解得：BC=6故此圆的半径为3．?(2)设BC的中点为O，由(1)可知O即为圆心．连接OA，OD，过O作OE⊥AD于E．在直角△AOE中，∠AOE=30°∴OE=OA·cos30°=?3?32，S△AOD=?12×3×?3?32=?9?34?．
∴S阴影=S扇形AOD-S△AOD=?60π×32360-?9?34=?6π?9?34?．故答案为：(1)3；(2)?6π?9?34?
点评本题主要考查了扇形的面积的计算，正确证得四边形ABCD是等腰梯形，是解题的关键．第三章
圆的基本性质之考点专练（上）
考点七：圆内接四边形
1.
如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．求⊙C的半径及圆心C的坐标．
2.
如图，分别延长圆内接四边形ABDE的两组对边，延长线相交于点F、C，若∠F=27°，∠A=53°，则∠C的度数为（ ）
A.
30°
B.
43°
C.
47°
D.
53°
3.
如图,ABCD是⊙O的内接四边形,∠B=130°,则∠AOC的度数是
度．
4.
如图，圆内接四边形ABDC，延长BA和DC相交于圆外一点P，∠P=30°，∠D=70°，则∠ACP=
__________．
5.
如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长AD，BC相交于点E，点F是BD延长线上的点，且DE平分∠CDF.
求证：AB＝AC.
考点八：圆内定理的综合应用
6.
如图，MN是⊙O的直径，弦AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且=，连接CM交AB于点E，交AN于点F.现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③=；④∠ACM
+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF.其中正确结论的个数是（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
7.
如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为
______
．
8.
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为______．
9.
如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.
（1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径.
10.
如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且=.
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值.
考点九：正多边形
11.
一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的外接圆半径是（ ）
A.
2
B.
C.
1
D.
1/2
12.
如图，小亮从A点出发，沿直线前进100m后向左转30°，再沿直线前进100m，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了______m．
13.
如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是___________.
14.
如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的外接圆的半径R，边心距?，面积?.
15.（1）如图①，M、N分别是⊙O的内接正△ABC的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON，求∠MON的度数．
（2）图②、③、…④中，M、N分别是⊙O的内接正方形ABCD、正五边ABCDE、…正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON；则图②中∠MON的度数是
______
，图③中∠MON的度数是
______
；…由此可猜测在n边形图中∠MON的度数是
______
．
考点十：弧长与扇形面积
16.半径为6cm的圆上有一段长度为2.5πcm的弧，则此弧所对的圆心角为（ ）
A.35°
B.45°
C.60°
D.75°
17.
如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为多少？
18.
圆心角为60°，且半径为12的扇形的面积等于____.
19.
如图,六边形ABCDEF是正六边形,曲线FK
1K
2K
3K
4K
5K
6K
7…叫做“正六边形的渐开线”,其中FK
1,K
1K
2,K
2K
3,K
3K
4,K
5K
6…的圆心依次按A,B,C,D,E,F循环,其弧长分别记为l
1,l
2,l
3,l
4,l
5,l
6,…．当AB=1时,l
2014等于
20.
如图，将边长为1的等边三角形△ABC放在水平直线l上向右连续翻滚n次，第一次以点C为旋转中心，第二次以点A为旋转中心，第三次以点B为旋转中心，…，到第2010次后停止翻滚，请在图中标出“第②次”时三角形顶点坐标为A____、B____、C____与“第2010次”时三角形顶点坐标为A____、B____、C____的位置．
考点十一：不规则图形求面积
21.
如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，分别以A、C为圆心，AD、CB为半径画弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A.
4-2π
B.
8-
C.
8-2π
D.
8-4π
22.
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°．把△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△AB'C',若AB=4,则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是( )
A.
π
B.
π
C.
2π
D.
4π
23.
如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC的夹角为，AB的长为30cm，BD的长为18cm，则扇面（阴影部分图形）的面积为____（结果保留）。
24.
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_______.
25.
如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四边形ABCD的周长为15．(1)求此圆的半径；(2)求图中阴影部分的面积．
参考答案
1.-------------------------------------------------------------
解：（1）∵四边形AOMB是圆内接四边形，∠BMO=120°，
∴∠OAB+∠MBO=180°（圆内接四边形对角互补）
∴∠OAB=180°–120°=60°，
∴∠ABO=90°–60°=30°，
∵点A的坐标为（0，4），∴OA=4，
在Rt三角形AOB中
∵∠ABO=30°
∴OA=1/2AB（30°角所对的边是斜边的一半）
∴AB=2OA=2??4=8，
⊙C的半径AC==4；
（2）作CE垂直AO于点E，
∵C在第二象限，
∴C点横坐标小于0，
设C点坐标为（x，y），
由半径AC=OC=4，即=，
则==4，
解得，y=2，x=-2或x=2（舍去），
故⊙C的半径及圆心C的坐标分别为：4，（-2，2）．
2.
-------------------------------------------------------------
【答案】
C
解：∵∠A=53°，∠F=27°，
∴∠CBD=∠A+∠F=80°，
∵∠A+∠BDE=180°，
∴∠BDE=180°-53°=127°，
∵∠BDE=∠C+∠CBD，
∴∠C=127°-80°=47°．
故选C．
先根据三角形外角性质∠CBD=∠A+∠F=80°，根据圆内接四边形的性质得到∠A+∠BDE=180°，求得∠BDE=180°-53°=127°，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．也考查了三角形外角性质．
3.-------------------------------------------------------------
首先根据圆内接四边形的对角互补,得∠D=180°-∠B=50°．再根据圆周角定理,得∠AOC=2∠D=100°．
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠D=180°-∠ABC=50°;
∴∠AOC=2∠D=100°．
4.-------------------------------------------------------------
第1空：80°
【解答】解：∵∠P=30°，∠D=70°，
∴∠B=80°，
∴∠ACP=∠B=80°，
故答案为：80°．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B，根据圆内接四边形的性质解答．
5.-------------------------------------------------------------
证明：∵四边形ABCD内接于圆，∴∠ABC＝∠CDE.∵DE平分∠CDF，∴∠CDE＝∠EDF＝∠ADB.又∵＝，∴∠ACB＝∠ADB.∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.
6.
-------------------------------------------------------------
答案：D.
解：
∵MN是⊙O的直径，弦AB⊥MN，
∴∠MAN=90°，AD=BD，=.
故①②③正确；
∵＝，
∴∠ACM=∠ANM.
∵∠ANM=∠AOM，
∴∠ACM+∠ANM=∠AOM.
∵=，
∴∠AOM=∠BOM，
∴∠ACM+∠ANM=∠BOM.
故④正确；
∵＝，=，
∴∠AMC=∠BAM，
∴AE=EM.
∵∠MAN=90°，
∴∠AMC+∠AFM=90°，∠BAM+∠EAF=90°，
∴∠AFM=∠EAF，
∴AE=EF，
∴AE=MF.
故⑤正确.
所以正确的结论共5个.
故选D.
1、仔细分析题目，回想圆的相关知识，想一想弦、弧、圆周角之间有什么关系？
2、已知MN是⊙O的直径，弦AB⊥MN，利用垂径定理即可判断①②③的正误；
3、根据＝可得∠ACM=∠ANM，结合同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠ANM=∠AOM，由此进行角度之间的转化即可判断④的正误；
4、由=，=可得∠AMC=∠BAM，从而利用等角对等边的性质可得AE=EM；
5、然后由同角的余角相等可得∠AFM=∠EAF，从而得到AE=EF，进而判断⑤的正误，快试试吧！
7.
-------------------------------------------------------------
解析解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．
此时PA+PB最小，且等于AC的长．
连接OA，OC，根据题意得：
∵∠AMN=30°，
∴弧AN的度数是60°，
∵B为AN弧的中点，
∴弧BN的度数是30°，
∵NO⊥BC，
∴=，
∴弧CN的度数是30°，
∴=+=90°
∴∠AOC=90°，
又∵OA=OC=1，
∴AC==．
即PA+PB的最小值为：，
故答案为：．
首先利用在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点P的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算．
此题主要考查了利用轴对称求最短路线问题，解答此题的关键是找到点B的对称点，把题目的问题转化为两点之间线段最短解答．
答案
8.-------------------------------------------------------------
【解答】解：延长AE交⊙O于F，
∵AE⊥CD，
∴=，
∴∠DBC=2∠DAF，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ADE=∠GBC=50°，
∴∠DAF=40°，
∴∠DBC=2∠DAF=80°，
故答案为：80°．
【分析】延长AE交⊙O于F，根据垂径定理得到=，得到∠DBC=2∠DAF，根据圆内接四边形的性质、三角形内角和定理计算即可．
9.-------------------------------------------------------------
证明：（1）∵∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE.
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠BAD=∠CAD=∠CBD.
∵∠BED=∠ABE+∠BAD
=∠CBE+∠CBD，
即∠BED=∠DBE，
∴DB=DE.
（2）连接CD，
∵∠BAC=90°，
∴BC是△ABC外接圆的直径，
∴∠BDC=90°.
∵∠CAD=∠BAD=∠CBD，∠BAC=90°，
∴∠CBD=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC=BD=4，
∴△ABC外接圆的半径为2.
【解题方法提示】
（1）先根据角平分线的定义得∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，再根据圆角定理得∠CAD=∠CBD；
然后利用三角形外角的性质得，∠BED=∠ABE+∠BAD，从而进一步可得∠DBE=∠DEB，由此即可得证；
（2）连接CD，根据圆周角定理由∠BAC=90°得BC是△ABC外接圆的直径，从而∠BDC=90°，再由（1）∠CAD=∠BAD=∠CBD得∠CBD的度数；
然后利用等腰直角三角形的判定定理及性质求得BC的长即可.
10.
------------------------------------------------------------
解：（1）△ABC为等腰三角形.理由如下：
∵=，
∴∠EBD=∠EDB.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°.
∴∠CDE+∠EDB=∠C+∠EBD=90°，
∴∠CDE=∠C.
∵四边形ABED内接于⊙O，
∴∠CDE=∠CBA，
∴∠C=∠CBA，
∴△ABC是等腰三角形.
（2）∵∠CDE=∠C，
∴CE=DE.
∵=，
∴DE=EB，
∴CE=EB=BC=×12=6.
∵⊙O的半径为5，∠C=∠CBA，
∴AC=AB=10.
∵∠CDE=∠CBA，∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBA，
∴，即，
∴CD=7.2，
∴AD=AC-CD=10-7.2=2.8，
∴sin∠ABD===.
【解题方法提示】
分析题意，对于（1），要判断△ABC的形状，需找出边或角之间的关系，你有思路了吗？
根据“等弧所对的圆周角相等”以及“直径所对的圆周角为直角”，利用直角三角形的性质可推出∠CDE=∠C；
接下来根据圆内接四边形的的性质可得∠CDE=∠CBA，结合上述的结论，第（1）问便可解答了；
对于（2），要求sin∠ABD的值，根据正弦的定义，只需求出AB和AD的值即可；
AB的值可通过半圆的半径求得，而AD的值，则需先求出CD的长，CD的长要通过证明△CDE∽△CBA，利用相似三角形的性质求出，试试吧！
11.------------------------------------------------------------
A．2
解：设多边形的边数为n．
因为正多边形内角和为（n-2）?180°，正多边形外角和为360°，
根据题意得：（n-2）?180°=360°×2，
解得：n=6．
故正多边形为6边形．
边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，
所以正多边形的半径等于2．
故选：A．
先由多边形的内角和和外角和的关系判断出多边形的边数，再求多边形的半径．
12.
------------------------------------------------------------
∵360÷30=12，
∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×100=1200米．
故答案为：1200米．
13.------------------------------------------------------------
答案：.
解：连接AC、EC，AC与EF相交于点M，则AC经过圆心O，如图所示.
∴AC垂直平分EF，∠EAC=∠FAC=∠EAF=30°.
不妨设正方形的边长为2，则AC=2.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC=90°.
在Rt△AEC中，AE=AC?cos∠EAC=2×=，CE=AC?sin∠EAC=2×=.
在Rt△MCE中，∵∠FEC=∠FAC=30°，
∴CM=CE?sin∠FEC=×=.
∵△GCH是等腰直角三角形，
∴GH=2CM=.
∵△AEF是等边三角形，
∴EF=AE=，
∴==.
【解题方法与技巧】
本题是关于圆中的线段比值问题，考查的知识点较多，综合性较强，解题的关键是作出辅助线：连接AC、EC，从而得到AC经过圆心O，AC垂直平分EF，∠EAC=∠FAC=∠EAF=30°，为后面的解题奠定了基础.另外，在求解与圆有关的问题时，常常要注意圆的简单性质的应用，例如直径所对的圆周角等于90°，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，相交弦定理、切割线定理等的应用.
【解题方法提示】
连接AC、EC，AC与EF相交于点M，可知AC经过圆心O，则AC垂直平分EF，∠EAC=∠FAC=∠EAF=30°；
由AC是⊙O的直径，得到∠AEC=90°，在Rt△AEC和Rt△MCE中，根据三角函数求出AE、CE、CM的值；
接下来根据等腰三角形斜边的中线等于斜边的一半求出GH=2CM，接下来，自己试试吧！
14.------------------------------------------------------------
解：(1)连接OA，OB，∵正6边形的中心角为360°÷6=60°，∴△OAB是等边三角形，
∴边长为6cm的正六边形外接圆半径是6cm；(2)作OM⊥AB，得到∠AOM=30度，∴?正六边形的边心距；(3)△OAB的面积为：?∴正六边形的面积?故答案为：(1)6cm；(2)；(3).
根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解半径，正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出边心距，最后正六边形的面积等于6个等边三角形的面积之和.
15.------------------------------------------------------------
解析解：
（1）连接OB、OC；
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴OB=OC，∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=∠OBA=30°，
在△OBM和△OCN中
∴△OBM≌△OCN（SAS），
∴∠MOB=∠NOC，
∴∠MON=∠BOC=120°；
（2）同理在图②中可求得∠MON=∠BOC=90°，
在图③中可求得∠MON=∠BOC==72°，
∴在n边形图中，∠MON=∠BOC=，
故答案为：90°；72°；．
（1）连接OB、OC，可证明△OBM≌△OCN，可求得∠MON=∠BOC=120°；
（2）同理可求得图②、图③和正n边形的图中∠MON和正多边形的中心角相等，可求得答案．
本题为圆的综合应用，涉及正多边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识．构造三角形全等是解题的关键，注意归纳推理，本题难度不大．
答案
90°；72°；
16.------------------------------------------------------------
答案：D.
解：设该弧所对的圆心角的度数为α，则=2.5π，
所以α=75°.
故选D.
【考点提示】
本题是一道关于弧长的题目，掌握弧长公式是解题的关键；
【解题方法提示】
首先设该弧所对的圆心角的度数为α，代入弧长计算公式可得=2.5π；
接下来对上式求解得到α的值，即可解答.
17.
------------------------------------------------------------
【答案】将点A翻滚到A2位置分成两部分：第一部分是以B为旋转中心，BA长5cm为半径旋转90°，第二部分是以C为旋转中心，3cm为半径旋转60°，根据弧长的公式计算即可．
第一次是以B为旋转中心，BA长5cm为半径旋转90°，（2分）
此次点A走过的路径是．（4分）
第二次是以C为旋转中心，3cm为半径旋转60°，（2分）
此次走过的路径是，（2分）
∴点A两次共走过的路径是．（2分）
18.
-----------------------------------------------------------
答案：24π.
解：根据扇形面积公式可得=24π.
【考点提示】
分析题意，仔细想想扇形的面积公式；
【解题方法提示】
设一个扇形的半径为r，圆心角度数为n°，则扇形的面积=；
根据扇形的面积公式即可得到本题的答案.
19.
-----------------------------------------------------------
答案：
利用弧长公式,分别计算出l
1,l
2,l
3,…的长,寻找其中的规律,确定l
2014的长．
解：根据题意得：l
1=
=
,
l
2=
=
,
l
3=
=
=π,
l
4=
=
,
按照这种规律可以得到：l
n=
,
所以l
2020=
．
故答案为．
20.-----------------------------------------------------------
【答案】观察图形可知等边三角形△ABC放在水平直线l上向右连续翻滚n次，每连续翻滚三次是一个循环．
如图：以原始状态时点B为坐标原点，水平直线l为x轴，过B点垂直于l的直线为y轴建立平面直角坐标系．
根据等边三角形和旋转的性质可知“第②次”时三角形顶点坐标为A
（2，0）、B
（3，0）、C点横坐标为（2+3）÷2=2.5，纵坐标为1×=0.5，即C（2.5，0.5）．
∵每连续翻滚三次是一个循环，2010÷3=670．故图形的三角形顶点与原始状态时相同，“第2010次”时三角形顶点坐标为A
（2010.5，0.5）、B
（2010，0）、C
（2011，0）．
21.---------------------------------------------------------
C．8-2π
解：∵矩形ABCD，
∴AD=CB=2，
∴S阴影=S矩形-S半圆=2×4-π×22=8-2π，
故选C．
用矩形的面积减去半圆的面积即可求得阴影部分的面积．
22.-----------------------------------------------------------
C
根据阴影部分的面积是：扇形BAB′的面积+S
△AB′C′-S
△ABC-扇形CAC′的面积,分别求得：扇形BAB′的面积S
△AB′C′,S
△ABC以及扇形CAC′的面积,即可求解．
解：扇形BAB′的面积是：
=
,
在直角△ABC中,BC=AB?sin60°=4×
=2
,AC=
AB=2,
S
△ABC=S
△AB′C′=
AC?BC=
×2
×2=2
．
扇形CAC′的面积是：
=
,
则阴影部分的面积是：扇形BAB′的面积+S
△AB′C′-S
△ABC-扇形CAC′的面积=
-
=2π．
故选：C．
23.-----------------------------------------------------------
【答案】
【解析】
。
故答案为：。
【答案】
【解析】
。
故答案为：。
24.------------------------------------------------------------
解析观察图形发现：阴影部分的面积=两个半圆的面积-直角三角形的面积．根据勾股定理又知以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积即2π．然后根据勾股定理求面积即可．
答案解：图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．
即阴影部分的面积=π×4+π×1-4×2÷2=π-4．所以阴影部分的面积是π-4．
点评此题综合运用了勾股定理以及一个结论：以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积．
25.
-----------------------------------------------------------
解析根据条件可以证得四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=DC，∠BDC=90°，在直角△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC，根据四边形ABCD的周长为15，即可求得BC，即可得到圆的半径
答案解：(1)∵AD∥BC，∠BAD=120°，∴∠ABC=∠DCB=180°－∠BAD=180°－120°=60°，又∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=30°，∴∠DBC+∠DCB=90°，∴∠BDC=90°∴BC是圆的直径．∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°∴AB=AD=DC?，∠BCD=60°∴AB=AD=DC，∵BC是直径，∴∠BDC=90°，在直角△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC．∴BC+?32BC=15，解得：BC=6故此圆的半径为3．?(2)设BC的中点为O，由(1)可知O即为圆心．连接OA，OD，过O作OE⊥AD于E．在直角△AOE中，∠AOE=30°∴OE=OA·cos30°=?3?32，S△AOD=?12×3×?3?32=?9?34?．
∴S阴影=S扇形AOD-S△AOD=?60π×32360-?9?34=?6π?9?34?．故答案为：(1)3；(2)?6π?9?34?
点评本题主要考查了扇形的面积的计算，正确证得四边形ABCD是等腰梯形，是解题的关键．
