浙教版九年级上册 第四章 相似三角形 专题练习：相似三角形的性质及应用(1)（word版，含答案）

专题：相似三角形的性质与应用
一．选择题
1.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=6，AD=5，则AE的长为(
)．
A.
2.5
B.2.8
C.3
D.
3.2
如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1
，
还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2020次操作后得到的折痕D2019E2019到BC的距离记为h2020；若h1=1，则h2020的值为(
)．
A.
B.
C.1-
D.2-
如图，一块含30°角的直角三角板，它的斜边AB=8cm，里面空心△DEF的各边与△ABC的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm，那么△DEF的周长是（
）cm．
A.5
B.6
C.(6-)
D.(3+)
4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图．为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x,y应为(　　)
A.
x=15,y=12
B.
x=12,y=15
C.
x=14,y=10
D.
x=10,y=14
5.
如图所示,△ABC∽△BEF,相似比为2：3,在△BEF中∠E=60°,EF=6,则AD的长为(　　)
A.
B.
8
C.
D.
6
如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（
?）
A.
B.
C.
D.
如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC?AD=AE2；④S△ABC=4S△ADF．其中正确的有（　　）个。
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
8.
如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，DE交AC于M，AF交BD于N；若AF平分∠BAC，DE⊥AF；
记，，，则有（　　）
A.
m＞n＞p
B.
m=n=p
C.
m=n＞p
D.
m＞n=p
9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，下列结论中：①AC·BC=AB·CD
②AC2=AD·DB
③BC2=BD·BA
④CD2=AD·DB.正确的个数是（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
二．填空题
10.
如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，∠ABO=90°，OA与反比例函数y=的图象交于点D，且OD=2AD，过点D作x轴的垂线交x轴于点C．若S四边形ABCD=10，则k的值为____．
11.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分线EF交AD于点E，交BC于点F，则EF=____.
12.如图，平面内4条直线l1、l2、l3、l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点A、C分别在直线l1，l4上，该正方形的面积是____平方单位.
13.如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为
14.已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O．以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再A2C2以为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，则线段OA2015的长为____．
15.
如图，已知△ABC≌△DCE≌△HEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BH，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，其中S△PCQ=1，则图中三个阴影部分的面积和为______．
16.
如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=1，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连结AD，下列说法：①∠BCE=∠ACD；?②△ACD∽△BCE；?③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为．其中正确的结论是____．
17.如图，“L”形纸片由六个边长为1的小正方形组成，过A点切一刀，刀痕是线段EF，若阴影部分的面积是纸片面积的一半，则EF的长为____．
三．解答题
18.夜晚，小明在路灯下散步．已知小明身高1.5m，路灯的灯柱高均为4.5m．
（1）如图①，若小明在相距10m的两路灯AB，CD之问行走（不含两端），他前后的两个影子长分别为FM=x（m），FN=y（m）．试求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（2）有一个成语叫“形影不离”，其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离．但在灯光下，人的速度与影子的速度却不是一样的！如图②，若小明在灯柱PQ前，朝着影子的方向（如图中箭头），以0.8m/s的速度匀速行走，试求他影子的顶端R在地面上移动的速度．
19.现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图①所示的形状，R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q.
(1)
求BP:PQ:QR的值；
（2）若取四个直角三角形拼成如图②所示的形状，S为EF的中点，BS分别交AC，CD，DE于点P，Q，R，
求BP:PQ:QR:RS；
（3）若取五个直角三角形拼成如图③所示的形状，T为FG的中点，BT分别交AC，CD，DE，EF于点P，Q，R，S，求S四CESQ/S四DQSF
20.
课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（1）加工成的正方形零件的边长是多少mm？
（2）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请你计算．
（3）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
21.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．
（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；
（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？
（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．
22.
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2=CE?CB．
（1）求证：AE⊥CD；
（2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF=∠EAB．
23.
如图，AB是⊙O的直径，C、P是上两点，AB=13，AC=5.
（1）如图（1），若点P是的中点，求PA的长；
（2）如图（2），若点P是的中点，求PA的长.
24.已知：如图，在△ABC中，点D．E分别在AB，AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF?BA，CF与DE相交于点G．
（1）求证：DF?AB=BC?DG；
（2）当点E为AC的中点时，求证：．
25.已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，点P在AC上，且∠MPN=90°．
（1）当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F．证明：△PME∽△PNF，PN=PM．
（2）当PC=PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请分别写出线段PN、PM之间的数量关系（不用证明）．
26.
如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N.
(1)
当F为BE中点时，求证：AM=CE；
(2)
若
=2，求
的值；
(3)
若
=n，当n为何值时，MN∥BE？
27.
在△ABC中,P为边AB上一点.
(1)如图1,若∠ACP=∠B,求证:;
(2)若M为CP的中点,AC=2.
①如图2,若∠PBM=∠ACP,AB=3,求BP的长;
②如图3,若∠ABC=45°,∠A=∠BMP=60°,直接写出BP的长.
28.
操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：
说明：
方案一：图形中的圆过点A、B、C；
方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点
纸片利用率=×100%
发现：
（1）方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点．你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．
（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%．请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程．
探究：
（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率．
说明：方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点．
参考答案
1.B
2.D
3.B
4.
A
5.
C
6.A．
7.D
8.D
9.C.
10.
﹣16．
11.
.
12.
5或9.
13.
7
14.
32014
15.
13
16.
①②④⑤，
17.
2．
18.解：（1）∵EF∥AB，
∴∠MEF=∠A，∠MFE=∠B．
∴△MEF∽△MAB．
∴===．
∴=，MB=3x?
BF=3x-x=2x．
同理，DF=2y．????
∵BD=10
∴2x+2y=10
∴y=-x+5?????
∵当EF接近AB时，影长FM接近0；
当EF接近CD时，影长FM接近5
∴0＜x＜5；
??
（2）如图，设运动时间为t秒，则EE'=FF'=0.8t
∵EF∥PQ
∴∠REF=∠RPQ，∠RFE=∠RQP
∴△REF∽△RPQ
∴===，
∴=，
∵EE'∥RR'
∴∠PEE'=∠PRR'，∠PE'E=∠PR'R
∴△PEE'∽△PRR'
∴=，
∴=，
∴RR'=1.2t，
∴V影子==1.2米/秒．
19.
解：（1）∵四个直角三角形是全等三角形，
∴AB=EF=CD，AB∥EF∥CD，BC=CE，AC∥DE，
∴BP:PR=BC:CE=1，
∵CD∥EF，
∴∠BCQ=∠BES，∠BQC=∠BSE，
∴△BCQ∽△BES．
又∵BC=CE，
∴CQ=SE=EF，
∴DQ=EF.
∵AB∥CD，
∴∠ABP=∠DQR，∠ACQ=∠BAP．
又∵AC∥DE，
∴∠ACQ=∠QDR，
∴∠BAP=∠QDR，
∴△BAP∽△QDR．
∴BP:QR=4:3．
∴BP:PQ:QR=4:1:3，
∵DQ∥SE，
∴QR:RS=DQ:SE=3:2，
∴BP:PQ:QR:RS=4:1:3:2．
（2）∵五个直角三角形是全等直角三角形
∴AB=CD=EF，AB∥CD∥EF，AC=DE=GF，AC∥DE∥GF，BC=CE=EG，
∴BP=PR=RT，
∵AC∥DE∥GF，
∴△BPC∽△BER∽△BTG，
∴PC=TG=FG，RE=TG=FG，
∴AP=FG，DR=FG，FT=FG
∴AP:DR:FT=5:4:3．
∵AC∥DE∥GF，
∴∠BPA=∠QRD=∠STF．
又∵∠BAP=∠QDR=∠SFT，
∴△BAP∽△QDR∽△SFT．
∴BP:QR:ST=AP:DR:FT=5:4:3．
又∵BP:PR:RT=1:1:1，
∴BP:PQ:QR:RS:ST=5:（5-4）:4:（5-3）:3=5:1:4:2:3．
20.
解：（1）如图1，设正方形的边长为xmm，则PN=PQ=ED=x，
∴AE=AD-ED=80-x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴=，即=，
解得x=48．
∴加工成的正方形零件的边长是48mm；
（2）如图2，设PQ=x，则PN=2x，AE=80-x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴=，即=，
解得：x=，
∴2x=，
∴这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm；
（3）如图3，设PN=x（mm），矩形PQMN的面积为S（mm2），
由条件可得△APN∽△ABC，
∴=，
即=，
解得：PQ=80-x．
则S=PN?PQ=x（80-x）=-x2+80x=-（x-60）2+2400，
故S的最大值为2400mm2，此时PN=60mm，PQ=80-×60=40（mm）．
21.
（1）能，
如图1，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，t=1秒，
∴AP=1厘米，BQ=1.25厘米，
∵AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，CD=3cm，
∴PC=AC-AP=4-1=3（厘米），QD=BC-BQ-CD=5-1.25-3=0.75（厘米），
∵PE∥BC，
∴△APE∽△ACD，
∴=，=，解得PE=0.75，
∵PE∥BC，PE=QD，
∴四边形EQDP是平行四边形；
（2）如图2，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，
∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=5-1.25t，
∴==1-，==1-，
∴=，
又∵∠C=∠C，
∴△CPQ∽△CAB，
∴∠CPQ=∠CAB，
∴PQ∥AB；
（3）分两种情况讨论：
①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t，
又∵EQ∥AC，
∴△EDQ∽△ADC
∴=，
∵BC=5厘米，CD=3厘米，
∴BD=2厘米，
∴DQ=1.25t-2，
∴=，解得t=2.5（秒）；
②如图4，当∠QED=90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则四边形EMCP是矩形，EM=PC=4-t，
在Rt△ACD中，
∵AC=4厘米，CD=3厘米，
∴AD===5，
∴CN==，
∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，
∴△EDQ∽△CDA，
∴==，=，解得t=3.1（秒）．
综上所述，当t=2.5秒或t=3.1秒时，△EDQ为直角三角形．
22.
证明：（1）∵AC2=CE?CB，
∴．
又∵∠ACB=∠ECA=90°
∴△ACB∽△ECA，
∴∠ABC=∠EAC．
∵点D是AB的中点，
∴CD=AD，
∴∠ACD=∠CAD
∵∠CAD+∠ABC=90°，
∴∠ACD+∠EAC=90°
∴∠AFC=90°，
∴AE⊥CD
（2）∵AE⊥CD，
∴∠EFC=90°，
∴∠ACE=∠EFC
又∵∠AEC=∠CEF，
∴△ECF∽△EAC
∴
∵点E是BC的中点，
∴CE=BE，
∴
∵∠BEF=∠AEB，
∴△BEF∽△AEB
∴∠EBF=∠EAB．
23.
解：（1）如图（1）所示，连接PB.
∵AB是⊙O的直径且P是的中点
∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°
∴△APB是等腰直角三角形
∵在等腰直角△APB中，AB=13
∴PA===；
（2）如图（2）所示：连接BC、OP，相交于M点，作PN⊥AB于点N.
∵P点为的中点
∴OP⊥BC，∠OMB=90°
又∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∴∠ACB=∠OMB
∴OP∥AC
∴∠CAB=∠POB
又∵∠ACB=∠ONP=90°
∴△ACB∽△ONP
∴
又∵AB=13，AC=5，OP=
代入得ON=
∴AN=OA+ON=9
∴在Rt△OPN中，有NP2=OP2-ON2=36
在Rt△ANP中有PA=
∴PA=.
24.
证明：（1）∵BC2=BF?BA，
∴BC：BF=BA：BC，
而∠ABC=∠CBF，
∴△BAC∽△BCF，
∵DE∥BC，
∴△BCF∽△DGF，
∴△DGF∽△BAC，
∴DF：BC=DG：BA，
∴DF?AB=BC?DG；
（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，
∵DE∥BC，
∴AH∥DE，
∵点E为AC的中点，
∴AH=2EG，
∵AH∥DG，
∴△AHF∽△DGF，
∴=，
∴．
25.【解答】解：（1）如图1，作PF⊥BC，
∵∠ABC=90°，PE⊥AB，
∴PE∥BC，PF∥AB，
∴四边形PFBE是矩形，
∴∠EPF=90°
∴P是AC的中点，
∴PE=BC，PF=AB，
∵∠MPN=90°，∠EPF=90°，
∴∠MPE=∠NPF，
∴△MPE∽△NPF，
∴==，
∵∠A=30°，
在RT△ABC中，cot30°==，
∴=，
即PN=PM；
（2）如图2，PN=PM，
如图2?
在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F，
∴四边形BFPE是矩形，
∴△PFN∽△PEM，
∴=，
又∵Rt△AEP和Rt△PFC中，∠A=30°，∠ACB=60°，
∴PF=PC，PE=PA，
∴==，
∵PC=PA?
∴=，
即：PN=PM，
如图3，在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F，
∴四边形BFPE是矩形，
∴△PFN∽△PEM，
∴=，
又∵Rt△AEP和Rt△PFC中，∠A=30°，∠ACB=60°，
∴PF=PC，PE=PA，
∴==，
∵PC=PA?
∴=，
即：PN=PM．
26.
(1)解：当F为BE中点时，如图1，则有BF=EF.
∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AB∥DC，∴∠MBF=∠CEF，∠BMF=∠ECF.
在△BMF和△ECF中，∵
，∴△BMF≌△ECF，∴BM=EC.
∵E为CD的中点，∴EC=
DC，∴BM=EC=
DC=
AB，∴AM=BM=EC；
(2)解：如图2所示：设MB=a.
∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=DC，∠A=∠ABC=∠BCD=90°，AB∥DC，∴△ECF∽△BMF，∴
=
=2，∴EC=2a，∴AB=CD=2CE=4a，AM=AB﹣MB=3a.
∵
=2，∴BC=AD=2a.
∵MN⊥MC，∴∠CMN=90°，∴∠AMN+∠BMC=90°.
∵∠A=90°，∴∠ANM+∠AMN=90°，∴∠BMC=∠ANM，∴△AMN∽△BCM，∴
=
，∴
=
，∴AN=
a，ND=AD﹣AN=2a﹣
a=
a，∴
=
=3；
(3)
解：当
=
=n时，如图3：设MB=a.
∵△MFB∽△CFE，∴
=
，即
，解得：EC=an，∴AB=2an.
又∵
=n，∴
，∴BC=2a.
∵MN∥BE，MN⊥MC，∴∠EFC=∠HMC=90°，∴∠FCB+∠FBC=90°.
∵∠MBC=90°，∴∠BMC+∠FCB=90°，∴∠BMC=∠FBC.
∵∠MBC=∠BCE=90°，∴△MBC∽△BCE，∴
=
，∴
=
，∴n=4.
27.
(1)证明:∵∠ACP=∠B,∠A=∠A,∴△ACP∽△ABC,,.(2)①解法一:延长PB至点D,使BD=PB,连接CD.∵M为CP的中点,∴CD∥MB.∵∠PBM=∠ACP,∴∠D=∠PBM=∠ACP.∵△ADC∽△ACP,,设BP=x,,解得(舍去负根),即.解法二:取AP的中点E,连接EM.∵M为CP的中点,∴ME∥AC,.∵∠PBM=∠ACP,∴∠PME=∠PBM,∴△EBM∽△EMP,.设BP=x,,解得(舍去负根),即.②.
28.
解：发现：（1）小明的这个发现正确．
理由：
解法一：如图一：连接AC、BC、AB，
∵AC=BC=，AB=2
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠BCA=90°，
∴AB为该圆的直径．
解法二：如图二：连接AC、BC、AB．
易证△AMC≌△BNC，
∴∠ACM=∠CBN．
又∵∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠BCN+∠ACM=90°，
即∠BCA=90°，
∴AB为该圆的直径．
（2）如图三：∵DE=FH，DE∥FH，
∴∠AED=∠EFH，
∵∠ADE=∠EHF=90°，
∴△ADE≌△EHF（ASA），
∴AD=EH=1．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴=，
∴=，
∴BC=8，
∴S△ACB=16．
∴该方案纸片利用率=×100%=×100%=37.5%；
探究：（3）过点C作CD⊥EF于D，过点G作GH∥AC，交BC于点H，
设AP=a，
∵PQ∥EK，
易得△APQ∽△KQE，△CEF是等腰三角形，△GHL是等腰三角形，
∴AP：AQ=QK：EK=1：2，
∴AQ=2a，PQ=a，
∴EQ=5a，
∵EC：ED=QE：QK，
∴EC=a，
则PG=5a+a=a，GL=a，
∴GH=a，
∵，
解得：GB=a，
∴AB=a，AC=a，
∴S△ABC=×AB×AC=a2，
S展开图面积=6×5a2=30a2，
∴该方案纸片利用率=×100%=×100%=49.86%．