第3章 圆的基本性质单元测试卷（含解析）

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九年级上册数学
圆的基本性质
单元测试卷
（满分120分）
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
下列说法中，正确的是（
）
A.
同一条弦所对的两条弧一定是等弧
B.
长度相等的两条弧是等弧
C.
弦的中垂线一定经过圆心
D.
三角形的外心到三角形各边的距离相等
已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45度．给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE=BC．其中正确结论的序号是（　　）
A.
①②③
B.
①②④
C.
①②⑤
D.
①②③⑤
如图，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是（　　）
???????
A.
100米
B.
110米
C.
120米
D.
200米
如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠A=50°，∠B=30°，则∠BED的大小为（　　）
A.
80°
B.
100°
C.
110°
D.
105°
如图，用圆心角为120°，半径为6
cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的底面周长是（
）
A.
2π
cm
B.
3π
cm
C.
4π
cm
D.
5π
cm
如图，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB=AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，且∠BAC=120°，BC=2．若在这个圆面上随意抛飞镖，则飞镖落在扇形ABC内的概率是（　　）
A.
B.
C.
D.
点P（5，-3）绕着原点顺时针旋转90°的点的坐标是（　　）
A.
（-3，5）
B.
（-3，-5）
C.
（3，5）
D.
（3，-5）
如图,MN是的直径,点A是半圆上的三等分点,点B是劣弧AN的中点,点P是直径MN上一动点若,则的最小值是(??
??)．
A.
B.
C.
1
D.
2
如图，AB是⊙O的直径，AB=8，弦CD垂直平分OB，E是弧AD上的动点，AF⊥CE于点F，点E在弧AD上从A运动到D的过程中，线段CF扫过的面积为（　　）
A.
4π+3
B.
4π+
C.
π+
D.
π+3
如图1所示，小明（点）在操场上跑步，操场由两段半圆形弯道和两段直道构成，若小明从点（右侧弯道起点）出发以顺时针方向沿着跑道行进．设行进的路程为x，小明到右侧半圆形弯道的圆心的距离为，可绘制出如图2所示函数图象，那么的值应为（
）
A.
4
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
正方形是中心对称图形，它绕它的中心旋转一周和原来的图形重合_______次．
矩形ABCD中，边AB=6cm,AD=8cm.若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是
____________．????????
如图将△ABC
绕点B
顺时针旋转
50°，点C
的对应点C′落在AB
的延长线上，则∠A′BC=________．
在半径为5cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为2cm，则油槽面宽AB=______cm．
已知A是⊙O上的一个动点，P是⊙O所在平面内的一个定点．若PA的最大值为9，最小值为3，则⊙O的半径为?
?
?
?
?。
如图，7根圆柱形木棒的横截面圆的半径均为1，则捆扎这7根木棒一周的绳子长度为______
．
如图，在矩形ABCD
中，AB＝2，BC＝，以点B
为圆心，AB
为半径画弧，交AC于点E，交BC
于点F，则图中阴影部分的面积为?
?
?
?
??。
?
如图，过D、A、C三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠A=63°，那么∠B的度数为?
?
?
?
?。
如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，直到半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于________．
在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，已知⊙O的半径为5，则抛物线与该圆所围成的阴影部分（不包括边界）的整点个数是?
?
?
?。
三、解答题（本大题共6小题，共60.0分）
（1）已知一个圆和点O，画一个圆，使它与已知圆关于点O成中心对称．
（2）已知⊙O与⊙O内一定点P，请用尺规作图法求作经过点P的最短弦AB．（保留作图痕迹，不写作法）
如图，用长为20米的篱笆恰好围成一个扇形花坛，且扇形花坛的圆心角小于180°，设扇形花坛的半径为r米，面积为S平方米．（注：π的近似值取3）
（1）求出S与r的函数关系式，并写出自变量r的取值范围；
（2）当半径r为何值时，扇形花坛的面积最大，并求面积的最大值．
如图,在⊙O中,弦AC,BD相交于点M,且∠A=∠B.
（1）求证:AC=BD；
（2）若OA=2,∠A=30°,当AC⊥BD时,求弧CD的长.
如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点．∠APC=∠CPB=60°．
（1）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）当点P位于什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
P是以AB为直径的半圆上一动点（P与A、B不重合），O为圆心，CO⊥AP，OC、BC与AP分别相交于D、E两点，AB＝12．
（1）若∠ABC＝35°，求∠PAB的度数；
（2）若AP平分线段BC，求弦AP的长度；
（3）是否存在点P，使△PBC的面积为整数，如果存在，这样的P点有几个？（直接写出结果，不需写出解题过程．）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）（a为常数，且a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，以AB为直径的⊙M恰好经过点D，且与y轴负半轴交于点C，P是劣弧BC上一动点．
?
（1）求⊙M的半径及a的值；
（2）如图1，Q为弧PC的中点，弦AP、DQ交于点G，连接AD，求证：AD＝AG；
（3）如图2，连接PA、PB、PC、PD，求代数式的值．
答案和解析
【答案】C
【解析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理以及三角形的外接圆与外心：熟练掌握与圆有关的概念和性质定理是解题的关键。
2.【答案】B
【解析】连接AD，AB是直径，则AD⊥BC，
又∵△ABC是等腰三角形，
故点D是BC的中点，即BD=CD，故②正确；
∵AD是∠BAC的平分线，
由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确；
∵∠ABE=90°-∠EBC-∠BAD=45°=2∠CAD，故④正确；
∵∠EBC=22.5°，2EC≠BE，AE=BE，∴AE≠2CE，③不正确．
∵AE=BE，BE是直角边，BC是斜边，肯定不等，故⑤错误
故选：B．
3.【答案】A
【解析】∵每次小明都是沿直线前进10米后向左转36°，
∴他走过的图形是正多边形，每个外角都为36°，
∴边数n=360°÷36°=10，
∴他第一次回到出发点A时，一共走了10×10=100米．
本题考查了正多边形的边数的求法，根据题意判断出小亮走过的图形是正多边形是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】由圆周角定理推知∠A=∠D=50°，再根据三角形内角和定理求得即可．
5.【答案】C
【解析】这个纸帽的底面周长==4π（cm）．
利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，用弧长公式计算即可．
6.【答案】C
【解析】如图，连接AO，∠BAC=120°，根据等腰三角形的性质得到AO⊥BC，∠BAO=60°，解直角三角形得到AB=，由扇形的面积公式得到扇形ABC的面积==，根据概率公式即可得到结论．
本题考查了几何概率，扇形的面积的计算，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】如图，设点P（5，-3）绕着原点顺时针旋转90°得到点P′．
作PM⊥x轴于点M，作P′N⊥y轴于点N．
∴∠POP′=90°，OP′=OP．
在△OPM与△OP′N中，
，
∴△OPM≌△OP′N，
∴P′N=PM=3，ON=OM=5，
∴点P′的坐标为（-3，-5）．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正确确定旋转角，证明△OPM≌△OP′N是解决本题的关键．
8.【答案】D
【解析】本题结合图形的性质，考查轴对称--最短路线问题，等腰直角三角形的判定及性质，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理的有关知识，其中求出∠BON的度数是解题的关键．本题是要在MN上找一点P，使PA+PB的值最小，设是A关于MN的对称点，连接，与MN的交点即为点P．此时PA+PB=是最小值，可证是等腰直角三角形，从而得出结果．
9.【答案】A
【解析】连AC，OC，BC．线段CF扫过的面积=扇形MAH的面积+△MCH的面积．证明∠AMH=120°即可解决问题．CF扫过的面积为π×（2）2+?（2）2=4π+3．
本题考查扇形的面积，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】D
【解析】此题考查了动点函数图像，根据题意可知，a代表离O最远,b代表离O最近，根据画图可求出a-b的值．
画图如下：
∵b=，
∴点P所在位置最远，是半圆+圆+（a-b）=
∴a-b=--=．
11.【答案】4
【解析】本题考查中心对称的性质。正方形绕中心至少旋转90度后能和原来的图案互相重合．故旋转一周和原来的图形重合4次。
12.【答案】6＜r＜10
【解析】本题主要考查点与圆的位置关系，矩形的性质有关知识，先根据矩形的性质求出对角线的长度，再根据点与圆的位置关系可得半径r的取值范围.
13.【答案】80
【解析】本题考查了旋转的性质和平角的定义的知识，熟练掌握这些知识是解题的关键，利用旋转的性质得∠ABA'=∠CBC'=50°再通过平角的定义可得∠A'BC=80°
14.【答案】8
【解析】连接OA，过O作OD⊥AB于D，交⊙O于D，
∴AB=2AD，OD=OA-2=3，
在Rt△AOD中，OA2=AD2+OD2，
∴AD=4，∴AB=8，
此题考查了勾股定理的应用和垂径定理的应用，圆中的有关半径，弦长，弦心距之间的计算一般是通过垂径定理转化为解直角三角形的问题．
15.【答案】3或6
【解析】若点P在圆外，则⊙O的直径为9-3=6，所以⊙O的半径为3；
若点P在圆内，则⊙O的直径为9+3=12，所以⊙O的半径为6；
综上，⊙O的半径为3或6；
本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
①点P在圆外?d＞r
②点P在圆上?d=r
③点P在圆内?d＜r．
16.【答案】2π+12
【解析】从图中可以看出，捆扎这7根木棒一周的绳子长度为六段公切线长和六段弧长
根据公切线的定义可知：每条公切线=1+1=2
连接六个圆的圆心的线段正好组成了一个正六边形，
根据正六边形的内角定义可知：
每个内角=180×（6-2）÷6=120°，
故可求出六段弧的圆心角都是360°-90°-90°-120°=60°，
根据弧长公式可得：六段弧长==2π，
故捆扎这7根木棒一周的绳子长度=2π+12．
本题的关键是作图，并从图中可以看出，捆扎这7根木棒一周的绳子长度为六段公切线长和六段弧长，然后根据公式计算．
17.【答案】???????
【解析】本题考查矩形的性质，扇形面积计算，三角形面积计算，解题的关键是构建阴影部分面积的等量关系，连接BE，作于H，作于G，由已知得，BA=BE=BF=2，是等边三角形，，，EG
=，?.
18.【答案】18°
【解析】连接DE，
∵过D、A、C三点的圆的圆心为E，
∴∠C+∠AED=180°，
∵过B、E、F三点的圆的圆心为D，
∴∠BED=∠B=θ，∴∠AED=180°-θ，
∴∠C=90°+θ，
∵∠A+∠C+∠B=180°，
∴63°+90°+θ+θ=180°，解得：θ=18°．
∴∠B=18°．
此题考查了圆周角定理以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合与方程思想的应用．
19.【答案】5π
【解析】本题考查的是弧长的计算和旋转的知识，解题关键是确定半圆作无滑动翻转所经过的路线并求出长度，属于较难题．
由图形可知，圆心先向前走OO1的长度，从O到O1的运动轨迹是一条直线，长度为圆的周长，然后沿着弧O1O2旋转圆的周长，则圆心O运动路径的长度为：×2π×5+×2π×5=5π
20.【答案】21
【解析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，注意分类进行，做到不重复不遗漏．
分别找到y=0、y=-1、y=-2、y=-3、y=-4的整点个数，再把它们相加即可求解．
解：当x=0时，代入抛物线方程，得y=；
当x=±1时，代入抛物线方程，得y=0；
当x=±2时，代入抛物线方程，得y=-1；
当x=±3时，代入抛物线方程，得y=；
当x=±4时，代入抛物线方程，得y=-5.
可得y=0的整点个数是1，横坐标为0；
y=-1的整点个数是3，横坐标分别为0和±1；
y=-2的整点个数是5，横坐标分别为0、±1和±2；
y=-3的整点个数是7，横坐标分别为0、±1、±2和±3；
y=-4的整点个数是5，横坐标分别为0、±1和±2.
1+3+5+7+5=21，
∴阴影部分的整数点有21个．
21.【答案】（1）如图，
所以圆O′即为所求．
（2）如图所示：线段AB即为所求；
【解析】本题考查了复杂作图、垂径定理，注意：圆内最长弦为直径，最短的弦为过这点且垂直于这条直径的线．
22.【答案】解：（1）设扇形的弧长为l米．
由题意可知，l+2r=20．∴l=20-2r．
∴．其中4＜r＜10．
（2）∵S=-r2+10r=-（r-5）2+25．
∴当r=5时，S最大值=25．
【解析】本题主要考查了函数模型的选择与应用．此题涉及中间量转换问题，不过根据公式进行转换难度不是很大．
23.【答案】（1）证明：延长AO交⊙O于点F，连接CF，延长BO交⊙O于点E，连接DE，
∵BE，AF是⊙O的直径，
∴∠EDB=∠FCA=90°．
在△DEB与△CFA中，
∵，
∴△DEB≌△CFA（AAS），
∴AC=BD；
（2）延长AO交⊙O于点F，连接CF，延长BO交⊙O于点E，连接DE，CD，OD，OC，
∵∠A=30°，OA=OC，
∴∠COA=180°-30°-30°=120°．
∵∠A=∠B=30°，AC⊥BD，
∴∠EOA+∠A=60°，∴∠EOA=30°，
∴∠DOE=60°，∴∠COD=30°，
∴==．
【解析】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
24.【答案】解：（1）PA+PB=PC，理由如下：
如图1，在PC上截取PD=PA，连接AD．由圆周角定理得，∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠CPB=60°，
∴△ABC是等边三角形；∴AB=AC，
∵∠APC=60°．PD=PA，
∴△PAD是等边三角形．
∴PA=AD，∠PAD=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠PAB=∠DAC，
在△PAB和△DAC中，，
∴△PAB≌△DAC（SAS）
∴PB=DC，
∵PD+DC=PC，
∴PA+PB=PC；
（2）△ABC是圆内接等边三角形，面积一定，则当点P到AB的距离最大时，△ABP的面积最大，此时点P为的中点，
∴当点P为的中点时，四边形APBC面积最大，
∵CA=CB，∴，
又∵，
∴PC为⊙O的直径，
∴∠PAC=90°，又∠ACP=30°，
∴PA=PC=1，
由勾股定理得，AC==，
∴四边形APBC面积=×1××2=；
∴当P是弧AB中点时，四边形APBC的面积最大为．
【解析】本题考查的是圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定，掌握圆周角定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25.【答案】解：如图连接BP，CP，OP，
（1）∵∠ABC＝35°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝70°，
∵CO⊥AP，
∴∠PAB＝90°﹣70°＝20°；
（2）∵AB是圆的直径，∴BP⊥AP，
∵CO⊥AP，
∴OC∥BP，∠CDE＝∠BPE＝90°，
∵CE＝BE，∠CED＝∠BEP，
∴△BPE≌△CDE，
∴CD＝BP，
∵AO＝BO，OC∥BP，
∴2OD＝BP，
∴CD＝2OD，
∵OCAB＝6，
∴OD＝2，BP＝4，
由勾股定理可得，AP8；
（3）∵OC∥BP，
∴S△BPC＝S△BOP，
∵OB＝6，
∴当点P到OB距离为，，，6时，S△BPC为整数，
∴这样的P点有35个．
【解析】此题主要考查圆的综合问题，熟练掌握圆的性质并灵活运用于实际问题的证明，会证明三角形全等，会进行三角形的等积分析是解题的关键．
（1）连接BP，CP，OP，根据圆周角定理和垂径定理进行计算即可；
（2）通过证明三角形全等得出线段CD与OD的关系，进而求出BP，运用勾股定理求解即可；
（3）把S△BPC转化为S△BOP，进而进行分析即可．
26.【答案】解：（1）由已知可知：A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，∴⊙M的半径为2，
∵OM＝1，DM＝2，
∴DO，
∴D（0，），
将点D代入y＝a（x+1）（x﹣3），
∴a；
（2）连接AQ、AC、DP，
∵Q为弧PC的中点，
∴∠CDQ＝∠PDQ，
∵∠CDA＝∠Q，
∴∠DCA+∠CDQ＝∠Q+∠QAP，
∴∠AGD＝∠ADG，
∴AD＝AG；
（3）设P（m，n），
过点P作x轴垂线与x轴交于点T，过点P作y轴垂线交于点H，
在Rt△DHP中，PD2＝PH2+DH2，
在Rt△PHC中，PC2＝PH2+CH2，
∴PD2﹣PC2＝DH2﹣CH2＝（DH+CH）（DH﹣CH）＝CD?（n﹣n）＝2?（﹣2n）＝﹣4n，
在Rt△ABP中，AB?PT＝PA?PB，∴4（﹣n）＝PA?PB，
∴．
???????
【解析】本题考查二次函数的图象与性质，圆的相关性质；熟练掌握二次函数的图象与性质，结合圆、直角三角形的相关知识解题是关键．
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精品试卷·第
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