第4章 相似三角形单元测试卷（含解析）

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九年级上册数学
相似三角形
单元测试卷
（满分120分）
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A.
a=2，b=3，c=4，d=1
B.
a=2，b=4，c=3，d=6
C.
a=4，b=6，c=5，d=10
D.
a=1，b=2，c=3，d=4
如图，DE∥AB，下列比例式中不成立的是（　　）
A.
B.
=
C.
=
D.
=
若x:y=1:3,2y=3z,则的值是(
)
A.
-5
B.
-
C.
D.
5
如图，在△ABC中，∠A=75°，AB=6，AC=8，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(
)
A.B.C.D.
如图，两个三角形是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是（
）
A.
（﹣3，2）
B.
（﹣3，1）
C.
（2，﹣3）
D.
（﹣2，3）
如图，在△ABC中，BC=9，∠ABC的平分线BF交AC于点F，点D、点E分别是边AB、AC上的点，若，则BD-DE的值为（　　）
A.
3
B.
3.5
C.
4
D.
4.5
如图，一张等腰三角形纸片，底边长12
cm，底边上的高为12
cm，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为2
cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（　　）
A.
第4张
B.
第5张
C.
第6张
D.
.第7张
如图，在⊙O中，AE为直径，点C是弧AB的中点，弦AB与半径OC相交于点D，AB=6，CD=1，连接BE，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3．若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为2，8，则图中三个阴影三角形面积之和为（?
?）
A.
23
B.
19
C.
21
D.
12
如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD交BC于E，垂足为F，BG平分∠ABD交AE于H，GP∥BD交AE于P，下列结论：①BF+GPCD；②（S△ABF）2＝S△BEF?S△AFD；③；④．其中结论正确的个数是（
）
A.
5个
B.
4个
C.
3个
D.
2个
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
如果在比例尺为1：1
000
000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是____千米．
如图,已知ABCDEF,它们依次交直线、于点A、D、F和点B、C、E,如果AD:DF=3:1,BE=10,那么CE等于?
?
?
?。
如图，D是△ABC的边AB上一点．请添加一个条件：???????????，使△ACD∽△ABC．
路灯（P点）距地面高9米，身高1.5的小艺站在距路灯的底部（O点）20米的A点，则此时小艺在路灯下的影子长是_________米.
如图，在三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AF平分∠BAC，交DE于点G，交BC于点F．若∠AED=∠B，且AG：GF=4：3，则DE：BC=______．
如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、AD上，且AE=AB，AF=AD，连结EF交对角线AC于G，则=______．
已知，如图，在ΔABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，EC和BD相交于点O，连接DE，若，，则的值是??????????????.
如图1，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为5；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图2中阴影部分；取△A1B1C1和△1D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2F2，如图3中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4F4的面积为______．
如图，在矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3．将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为___________．
如图，已知边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=1，在AB上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是______．
三、解答题（本大题共6小题，共60.0分）
在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，△ABC是格点三角形（顶点在网格交点处）．
（1）作出△ABC的中心对称图形△A1B1C1，A点为对称中心；
（2）作出△ABC关于点P的位似△A'B'C'，且位似比为1：2；
（3）在图中画出以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D．
如图，在中，为边上一点，为边上一点，且
（1）求证：；
（2）求与四边形的面积比．
如图，△ABC中，AC=BC，F为底边AB上一点，=（m，n＞0），D是CF中点，联结AD并延长交BC于E．
（1）求的值；
（2）若BE=2EC，求证：CF⊥AB．
如图,ABC是一张锐角三角形的硬纸片,AD是边BC上的高,BC=40cm,AD=30cm.从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF在BC上,顶点G,H分别在AC,AB上,AD与HG的交点为M.
(1)求证:
=
;
(2)求这个矩形EFGH的宽HE的长.
如图，在中，，，，点P从点A开始，沿AB边以的速度向点B运动：点Q从点B开始，沿BC边以的速度向点C运动，当点P运动到点B时，运动停止，如果P、Q分别从A、B两点同时出发．
几秒后的面积等于？
几秒后以P、B、Q为顶点的三角形与相似？
已知ABC=,AB=2,BC=3,ADBC,P为线段BD上的动点,点Q在射线AB上,且满足=(如图所示).
(1)当AD=2,且点Q与点B重合时(如图所示),求线段PC的长.
(2)在图中,连接AP.当AD=,且点Q在线段AB上时,设点B,Q之间的距离为x,
=y,其中表示APQ面积,表示PBC面积,求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围.
(3)当AD答案和解析
1.【答案】B
【解析】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
2.【答案】D
【解析】由△CDO∽△CAF，△COE∽△CFB，△CDE∽△CAB可依次判断各个选项．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．
3.【答案】A
【解析】本题考查了比例的性质，代数式求值.根据比例的性质设x=k，y=3k，z=2k，代入代数式化简后即可得到答案.
4.【答案】D
【解析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
5.【答案】A
【解析】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．根据位似变换的概念找出位似中心，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
如图点P为位似中心，
∴=，即=，解得PB=3，
∴点P的坐标为（-3，2）
6.【答案】D
【解析】延长DE，BF交于点G，可证△ADE∽△ABC，得DE∥BC，得出BD=DG，可证△EFG∽△CFB，求出EG=BC，则BD-DE的值可求．
本题考查了相似三角形的判定和性质及等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是2cm，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为xcm，
则=，解得x=2，
所以另一段长为12-2=10，
因为10÷2=5，所以是第5张．
本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用；由相似三角形的性质得出比例式是解决问题的关键．
8.【答案】D
【解析】设⊙O的半径为r，
∵点C是弧AB的中点，
∴OC⊥AB，AD=DB=3，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r-1）2+32，
解得，r=5，则OD=5-1=4，
∵AD=DB，AO=OE，
∴BE=2OD=8，==
本题考查的是垂径定理、圆周角定理、三角形中位线定理，掌握垂径定理是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】已知△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为2，8，且两三角形相似，因此可得出A2B2：A3B3=1：2，由于△A2B2A3与△B2A3B3是等高不等底的三角形，所以面积之比即为底之边比，因此这两个三角形的面积比为1：2，根据△A3B2B3的面积为8，可求出△A2B2A3的面积4，同理可求出△A3B3A4和△A1B1A2的面积分别为16和1．即可求出阴影部分的面积．
本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积．解题的关键是利用平行线证明三角形相似，再根据已给的面积，求出相似比，从而求阴影部分的面积．
10.【答案】C
【解析】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用面积法解决问题，属于中考压轴题．
①首先作GM⊥BD于点M，根据全等三角形判定的方法，判断出△ABG≌△MBG，即可判断出BM＝AB；然后判断出四边形PGMF是矩形，即可推得GP＝FM，据此判断出BF+GP＝CD即可；
②首先根据AD∥BC，可得，然后根据三角形的面积和底的正比关系，判断出，，即可推得S△ABF2＝S△BEF?S△AFD；
③首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF∽△DBA，即可判断出；然后根据AD＝BC，可得AB?BC＝AF?BD，据此推得即可；
④首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABG≌△MBG，即可判断出MG＝AG；然后判断出AE∥GM，即可推得1，据此判断出即可．
11.【答案】34
【解析】本题主要考查的是比例线段的有关知识，设A、B两地的实际距离是xcm.根据题意列出方程求解即可.
12.【答案】???????
【解析】本题考查了平行线分线段成比例.根据平行线分线段成比例可得到，根据BE=10，即可得到CE的值.
13.【答案】∠ACD=∠B
【解析】根据相似三角形的判定定理：有两角对应相等的两三角形相似，添加条件∠ACD=∠B即可．
14.【答案】4
【解析】此题考查的是相似三角形的判定和性质.本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长.根据题意易得：△ABC∽△OBP，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长.
15.【答案】4：7
【解析】利用相似三角形的性质：相似三角形的对应角平分线的比等于相似比即可解决问题．
16.【答案】
【解析】根据题意在AD上截取AH=AD，得到AG与AO的关系，然后由相似三角形得到OC与AO的关系，代入求出比值即可．
本题考查的是相似三角形的判定与性质；通过作辅助线证明三角形相似是解决问题的关键．
17.【答案】
【解析】本题考查相似三角形的判定和性质，解答的关键是找到相似三角形.首先证明△AEC∽△ADB，于是可得，，然后证明△AED∽△ACB，于是可得，然后证明△BEO∽△CDO，于是可得，，然后证明△EOD∽△BOC，根据相似三角形的性质可得，问题得解.
18.【答案】
【解析】∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边中点，
∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1且相似比为2：1，
∵正六角星形AFBDCE的面积为5，
∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为，
同理可得，第二个六角形的面积为：，
第三个六角形的面积为：，
第4个六角形的面积为：=．
故答案为：．
先分别求出第一个正六角星形AFBDCE与第二个边长之比，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，找出规律即可解答．
19.【答案】
【解析】本题考查的是折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质?．连接BD，由折叠的性质知，BE=ED，∠BEG=∠DEG，BG=GD，BD⊥EF，在△ABD中利用勾股定理求得BD的长，利用△BGF∽△BCD，求得GF，从而得到EF的长.?
20.【答案】12
【解析】如图，延长NP交EF于G点，
设PG=x，则PN=4-x，
∵PG∥BF，
∴△APG∽△ABF，
∴=，即=，解得AG=2x，
∴MP=EG=EA+AG=2+2x，
∴S矩形PNDM=PM?PN=（2+2x）（4-x）
=-2x2+6x+8=-2（x-）2+（0≤x≤1），
∵-2＜0，PG=x≤BF=1，
∴抛物线开口向下，当x=1时，函数有最大值为12．
本题考查了二次函数的最值的运用．关键是设线段的长，利用相似的性质表示矩形的面积，用二次函数的方法解题．
21.【答案】解：（1）如图所示：△A1B1C1，为所求作的三角形；
（2）如图所示：△A′B′C′为所求作的三角形；
（3）如图所示：D1，D2，D3为所求作的点．
【解析】此题考查了作图-位似变换及旋转变换，以及平行四边形的判定与性质，其中画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形，同时第三问满足题意的点D的位置有3处，注意找全．
22.【答案】（1）证明：∵，
∴==，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
（2）解：∵△ADE∽△ABC，=，
∴=（）2=，
∴△ADE与四边形DBCE的面积比是4：5．
【解析】本题考查了相似三角形的性质和判定，能熟记相似三角形的性质和判定的内容是解此题的关键，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
23.【答案】（1）解：如图，过点F作FG∥BC交AE于G，
则∠DFG=∠DCE，∠DGF=∠DEC，
∵D是CF的中点，∴CD=DF，
∴△DCE≌△DFG（ASA），
∴EC=GF，
∵=，
∴，
∵FG∥BC，∴△AFG∽△ABE，
∴，
∴；
（2）证明：若BE=2EC，则BE：EC=2，
由（1）知，=2，
解得：m=n，
∴点F是AB的中点，
∵AC=BC，
∴CF⊥AB．
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线，构造出全等三角形和相似三角形是解题的关键．
24.【答案】（1）证明：∵四边形EFGH为矩形，
∴EF∥HG，
∴∠AHG=∠ABC，
又∵∠HAG=∠BAC，
∴△AHG∽△ABC，
∵AD是边BC上的高，HG∥BC，
∴AM⊥HG，
∴；
（2）解：设HE=xcm，MD=HE=xcm，
∵AD=30cm，∴AM=（30-x）cm，
∵HG=2HE，∴HG=（2x）cm，
由（1）可得
，解得x=12，
∴宽HE的长为12cm．
【解析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据矩形性质得出△AHG∽△ABC是解决问题的关键．
25.【答案】解：（1）设t秒后△PBQ的面积等于8
cm，
此时，AP＝t，BP＝6-t，BQ＝2t，
∵，
即，即t2-6t＋8＝0，解得t1＝2，t2＝4．
∴2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8
cm2；
（2）设x秒后以P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似，
此时，AP＝x，BP＝6-x，BQ＝2x，
①若△BPQ∽△BAC，则，即，解得x＝3；
②若△BPQ∽△BCA，则，即，解得x＝1.2．
综上所述，1.2秒或3秒后，以P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【解析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键，注意分类讨论
26.【答案】解：(1)如图,
在RtABD中,AB=2,AD=2,
==1,D=,
PQ=PC,即PB=PC,
过点P作PEBC,则BE=BC=,
而PBC=D=,
PC=PB=；
(2)在图中,
过点P作PEBC,PFAB于点F,
DAF=PEB=,D=PBE,
RtABDRtEPB,==2=,
设EB=3k,则EP=4k,PF=EB=3k,
=BCPE
=34k=6k,
==ABPF=23k=3k=,
y===,
x取值范围:0x<2；
(3)QPC=.
证明:在图中,
过点P作PEBC,PFAB于点F.A=PEB=,D=PBE,
RtABDRtEPB,=.
又=,
=,
=,RtPQFRtPCE,FPQ=EPC,
EPC+QPE=FPQ+QPE=???????.
【解析】本题是三角形综合题，主要考查相似三角形的判定与性质.
（1）根据题意求得PQ=PC,即PB=PC，再进一步求得答案；
（2）证明RtABDRtEPB,结合三角形的面积，即可求得答案；
（3）过点P作PEBC,PFAB于点F，证明RtABDRtEPB，RtPQFRtPCE,即可求得结论.
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精品试卷·第
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