2020-2021浙教版九年级数学上册第三章圆的基本性质单元培优测试卷(含解析)

2020-2021浙教版九年级数学上册第三章圆的基本性质单元培优测试卷
一、选择题（共10题；共30分）
1.下列说法错误的是（　　）
A.?等弧所对的圆心角相等????????????????????????????????B.?弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数
C.?经过三点可以作一个圆????????????????????????????????D.?三角形的外心到三角形各顶点距离相等
2.如图，将
绕点O逆时针方向旋转45度后得到
，若
，则
的度数是（???
）
A.???????????????????B.???????????????????????????C.??????????????????????????D.?
3.在
中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C．若OC：OB＝3
：5，则DE的长为（???
）
A.?6???????????????????????B.?9???????????????????????C.?12??????????????????????????????D.?15
4.如图，
中，弧AB=AC，
．则
的度数为（???
）
?
A.?100°????????????????????B.?90°???????????????????C.?80°????????????????????????D.?70°
5.如图，
为⊙
的直径，C，D是圆周上的两点，若
，则锐角
的度数为（??
）
A.?57°?????????????????B.?52°??????????????????????C.?38°?????????????????????D.?26°
6.如图，四边形
内接于
，
，
为弧BD
中点，
，则
等于（
?）
A.??????????????????B.???????????????????????C.????????????????????D.?
7.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是
弧CD上的任意一点，则∠APB的大小是（??
）
A.?15°???????????????????B.?30°????????????????????C.?45°????????????????????????D.?60°
8.如图，半径为10的扇形
中，
，
为弧AB上一点，
，
，垂足分别为
、
.若
为
，则图中阴影部分的面积为（??
）
A.??????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
9.如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（????
）
A.?2π+2??????????????B.?3π??????????????????????C.???????????????????????D.?
+2
10.如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE=EF，若AD=
?，则弧CF的长为(
)?
?
A.?????????????????????B.??????????????????????????C.???????????????????????????D.?π
二、填空题（共6题；共24分）
11.如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为________．
12.若一个扇形的弧长是
，面积是
，则扇形的圆心角是________度．
13.已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为________cm.
14.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝120°，AB＝2
，以点O为圆心，OB长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为________.（结果保留π）
15.如图，
是
的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边
，
上，若
，则
的度数是________度.
16.如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，则点O到CD的距离OE为________.
三、解答题（共8题；共66分）
17.如图，在
中，
，将
绕点A逆时针旋转
，得到
，使得点B、C、D恰好在同一条直线上，求
的度数.
18.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图
，点
表示筒车的一个盛水桶．如图
，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心
为圆心，
为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦
长为
，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
19.如图，平面直角坐标系中，以点A（2，
）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于B，C两点，若二次函数
的图象经过点B，C，求此二次函数的函数关系式．
20.如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD＝
AB.
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若H是边AB上一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G.设四边形BGEF的面积为s1
，
以HB，BC为邻边的矩形的面积为s2
，
且s1＝s2.当AB＝2时，求AH的长.
21.如图，在
中，点
为弧AB的中点，弦
、
互相垂直，垂足为
，
分别与
、
相交于点
、
，连接
、
.
（1）求证：
为
的中点.
（2）若
的半径为8，弧AB的度数为
，求线段
的长.
22.如图1，点B在线段
上，Rt△
≌Rt△
，
，
，
.
???
（1）点F到直线
的距离是________；
（2）固定△
，将△
绕点C按顺时针方向旋转30°，使得
与
重合，并停止旋转.
①请你在图1中用直尺和圆规画出线段
经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为________；
②如图2，在旋转过程中，线段
与
交于点O，当
时，求
的长.
23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．
（1）求∠ADB的度数；
（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；
（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．
24.如图
（1）（操作发现）
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，
的三个顶点均在格点上．
①请按要求画图：将
绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点
，点C的对应点为点
．连接
；
②在①中所画图形中，
＝________°．
（2）（问题解决）
如图2，在
中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数．
（3）（拓展延伸）
如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．
答案
一、选择题
1.解：A等弧所对的圆心角相等，故不符合题意；
B、弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数，故不符合题意；
C、经过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，故符合题意；
D、三角形的外心到三角形各顶点距离相等，故不符合题意；
故答案为：C.
2.解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=10°，
∴∠AOB′=∠A′OA-∠A′OB′=45°-10°=35°，
故答案为：C．
3.解：如图所示：∵直径AB＝15，
∴BO＝7.5，
∵OC：OB＝3：5，
∴CO＝4.5，
∵DE⊥AB
，
∴DC＝
＝6，
∴DE＝2DC＝12．
故答案为：C．
4.解：∵
，
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠A=180°-70°×2=40°，
∵圆O是△ABC的外接圆，
∴∠BOC=2∠A=40°×2=80°，
故答案为：C．
5.解：连接
，
为
的直径，
?
?
?
故答案为：B.
6.∵
为
中点，
∴
,
∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，
∵
，
∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，
∵四边形
内接于
，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴3∠ADB+60°=180°，
∴
=40°，
故答案为：A．
7.解：连接OA、OB、如图所示：
∵∠AOB＝
＝60°，
∴∠APC＝
∠AOC＝30°.
故答案为：B.
8.连接OC交DE为F点，如下图所示：
由已知得：四边形DCEO为矩形.
∵∠CDE=36°，且FD=FO，
∴∠FOD=∠FDO=54°，△DCE面积等于△DCO面积.
.
故答案为：A.
9.解：如图，
?
点O的运动路径的长＝
的长+O1O2+
的长＝
+
+
＝
，
故答案为：C．
10.解：连接AF，AC，
由旋转的性质及矩形的性质得，AD=BC=EF，AB=AE，∠D=∠DAB=∠B=90°，
∵AD=DE，∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE=∠DEA=45°，AE=
AD=
?
，
∴∠EAB=45°，AB=AE=CD=
?
，
即得∠CAF=45°，
在Rt△ABC中，AC=
=3，
∴
弧CF的长=
.
故答案为：B
二、填空题
11.解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P（4，2），
故答案为：（4，2）．
12.解：扇形的面积=
=6π，
解得：r=6，
又∵
=2π，
∴n=60．
故答案为：60．
13.解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，
则AC＝BC＝
AB＝5，
在Rt△OAC中，OC＝
＝12，
所以圆心O到AB的距离为12cm.
故答案为：12.
14.解：如图，设连接以点O为圆心，OB长为半径画弧，分别与AB，AD相交于E，F，连接EO，FO，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴AC⊥BD，BO＝DO，OA＝OC，AB＝AD，∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD＝2
，∠ABD＝∠ADB＝60°，
∴BO＝DO＝
，
∵以点O为圆心，OB长为半径画弧，
∴BO＝OE＝OD＝OF，
∴
△BEO，△DFO是等边三角形
，
∴∠DOF＝∠BOE＝60°，
∴∠EOF＝60°，
∴阴影部分的面积＝2×（S△ABD﹣S△DFO﹣S△BEO﹣S扇形OEF）＝2×（
×12﹣
×3﹣
×3﹣
）＝3
﹣π，
故答案为：3
﹣π.
15.连接OA，OB，作OH⊥AC，OM⊥AB，如下图所示：
因为等边三角形ABC，OH⊥AC，OM⊥AB，
由垂径定理得：AH=AM，
又因为OA=OA，故△OAH
△OAM（HL）.
∴∠OAH=∠OAM.
又∵OA=OB,AD=EB,
∴∠OAB=∠OBA=∠OAD,
∴△ODA
△OEB（SAS）,
∴∠DOA=∠EOB,
∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOE+∠EOB=∠AOB.
又∵∠C=60°以及同弧
，
∴∠AOB=∠DOE=120°.
故答案为：120.
16.解：∵AC＝AD，∠A＝30°，
∴∠ACD＝∠ADC＝75°，
∵AO＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝30°，
∴∠OCD＝45°，即△OCE是等腰直角三角形，
在等腰Rt△OCE中，OC＝2；
因此OE＝
.
故答案为：
.
三、解答题
17.
解：∵将
绕点A逆时针旋转150°，得到
，
.
∵点B、C、D恰好在同一条直线上
是顶角为150°的等腰三角形，
，
，
.
18.
解：作
于
，交
于点
在
中，
筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为
19.
解：过点A作AD⊥BC于D，连接AC，则AD＝
，AC＝2，
∴CD＝
，
∴BD＝CD＝1，
∴点B、C的坐标分别为：（1，0）、（3，0），
∴二次函数的函数关系式为：
．
20.
（1）证明：∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∵OA＝OB＝OC＝OD＝
AB，
∴OA2+OB2＝AB2
，
∴∠AOB＝90°，
即AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形
（2）解：∵EF⊥BC，EG⊥AG，
∴∠G＝∠EFB＝∠FBG＝90°，
∴四边形BGEF是矩形，
∵将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，
∴∠DHE＝90°，DH＝HE，
∴∠ADH+∠AHD＝∠AHD+∠EHG＝90°，
∴∠ADH＝∠EHG，
∵∠DAH＝∠G＝90°，
∴△ADH≌△GHE（AAS），
∴AD＝HG，AH＝EG，
∵AB＝AD，
∴AB＝HG，
∴AH＝BG，
∴BG＝EG，
∴矩形BGEF是正方形，
设AH＝x，则BG＝EG＝x，
∵s1＝s2.
∴x2＝2（2﹣x），
解得：x＝
﹣1（负值舍去），
∴AH＝
﹣1.
21.
（1）解：∵点
为
的中点
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
°
在
和
中
∴
∴
∴点N为BE中点
（2）解：连接CA，AB，OA，OB，如图所示：
∵点
为
的中点
∴
在
和
中
∴
∴
，即M为AE中点
∵N为BE中点
∴MN为
的中位线
又∵
的半径为8，
的度数为
∴
，OA=OB=8
∴
∴
22.
（1）1
（2）
解：作EH⊥CF于点H，如图4，
在Rt△EFH中，∵∠F=60°，EF=1，
∴
，
∴CH=
，
设OH=x，则
，
，
∵OB=OE，∴
，
在Rt△BOC中，∵
，∴
，
解得：
，
∴
.
解：（1）∵
，
，∴∠ACB=60°，
∵Rt△
≌Rt△
，
∴∠ECF=∠BAC=30°，EF=BC=1，
∴∠ACF=30°，∴∠ACF=∠ECF=30°，
∴CF是∠ACB的平分线，
∴点F到直线
的距离=EF=1；
故答案为：1；
（
2
）①线段
经旋转运动所形成的平面图形如图3中的阴影所示：
在Rt△CEF中，∵∠ECF=30°，EF=1，
∴CF=2，CE=
，
由旋转的性质可得：CF=CA=2，CE=CG=
，∠ACG=∠ECF=30°，
∴S阴影=（S△CEF+S扇形ACF）－（S△ACG+S扇形CEG）=S扇形ACF－S扇形CEG=
；
故答案为：
；
23.
（1）解：如图1，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠ADB＝∠ACB＝45°；
（2）解：线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2
．
理由如下：
如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，
∵AD∥BF，
∴∠EBF＝∠ADB＝45°，
又∠ABC＝90°，
∴α+β＝45°，
过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，
∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，
∴△AEB≌△CNB（SAS），
∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，
∴∠FCN＝90°．
∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，
∴△BFE≌△BFN（SAS），
∴EF＝FN，
∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2
，
∴EA2+CF2＝EF2；
（3）解：如图3，延长GE，HF交于K，
由（2）知EA2+CF2＝EF2
，
∴
EA2+
CF2＝
EF2
，
∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK
，
∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH＝S△EFK+S五边形BGEFH
，
即S△ABC＝S矩形BGKH
，
∴
S△ABC＝
S矩形BGKH
，
∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO
，
∴S△BGM＝S四边形COMH
，
S△BMH＝S四边形AGMO
，
∵S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，
∴S△BMH：S△BGM＝8：9，
∵BM平分∠GBH，
∴BG：BH＝9：8，
设BG＝9k，BH＝8k，
∴CH＝3+k，
∵AG＝3，
∴AE＝3
，
∴CF＝
（k+3），EF＝
（8k﹣3），
∵EA2+CF2＝EF2
，
∴
，
整理得：7k2﹣6k﹣1＝0，
解得：k1＝﹣
（舍去），k2＝1．
∴AB＝12，
∴AO＝
AB＝6
，
∴⊙O的半径为6
．
24.
（1）解：①如图，△AB′C′即为所求．
；45
（2）解：如图2中，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H．
∵∠C＝∠BAE＝∠H＝90°，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠CAB+∠EAH＝90°，
∴∠B＝∠EAH，
∵AB＝AE，
∴△ABC≌△EAH（AAS），
∴BC＝AH，EH＝AC，
∵BC＝CD，
∴CD＝AH，
∴DH＝AC＝EH，
∴∠EDH＝45°，
∴∠ADE＝135°．
（3）解：如图③中，∵AE⊥BC，BE＝EC，
∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，
∵∠BAD＝∠CAG，
∴∠BAC＝∠DAG，
∵AB＝AC，AD＝AG，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，
∴△ABC∽△ADG，
∵AD＝kAB，
∴DG＝kBC＝2k，
∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，
∴∠ADG+∠ADC＝90°，
∴∠GDC＝90°，
∴CG＝
＝
．
∴BD＝CG＝
．
解：（1）②由作图可知，△ABB′是等腰直角三角形，
∴∠AB′B＝45°，
故答案为45．