初中数学浙教版九年级上册3.3垂径定理练习题（Word版 含解析）

初中数学浙教版九年级上册第三章3.3垂径定理练习题
一、选择题
一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O为圆心，5为半径的圆的一部分，M是中弦CD的中点，EM经过圆心O交于点若，则隧道的高的长为
A.
4
B.
6
C.
8
D.
9
如图是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，，直线MO交圆于E，，则圆的半径为
A.
4
B.
3
C.
D.
如图．将半径为6cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心则折痕AB的长为
A.
6cm
B.
C.
D.
如图，CD为的直径，AB为弦，，垂足为E，若，，则CE的长是
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
如图所示，在半径为10cm的中，弦，于点C，则OC等于
A.
3cm
B.
4cm
C.
5cm
D.
6cm
如图，的弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若，则AB的长为
A.
B.
C.
D.
如图，的半径为5，弦心距，则弦AB的长是
A.
4
B.
6
C.
8
D.
5
如图，AB是的直径，弦于点E，，，则BE的长为
A.
5cm
B.
3cm
C.
2cm
D.
往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为
A.
8cm
B.
10cm
C.
16cm
D.
20cm
下列说法正确的是
A.
弦是直径
B.
平分弦的直径垂直弦
C.
长度相等的两条弧是等弧
D.
圆的对称轴有无数条，而对称中心只有一个
二、填空题
已知的直径为10cm，AB，CD是的两条弦，，，，则AB与CD之间的距离为______cm．
在半径为的中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，，则______．
如图，AB是的直径，弦于点E，若，，则弦CD的长是______．
如图，的弦，C是AB的中点，，则的半径为______．
如图，AB为的直径，，C，D为上两动点D不与A，B重合，且CD为定长，于E，M是CD的中点，则EM的最大值为______．
三、解答题
如图，为等腰三角形，底边CD交于A，B两点，求证：．
如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点、、，若该圆弧所在圆的圆心为D点，请你利用网格图回答下列问题：
圆心D的坐标为______；
若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径长结果保留根号．
如图，AB是直径，弦于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．
求证：；
若，，求的半径．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：是弦CD的中点，
根据垂径定理：，
又则有：，
设OM是x米，
在中，有，
即：，
解得：，
所以．
故选D．
因为M是弦CD的中点，根据垂径定理，，则，在中，有，可求得OM，进而就可求得EM．
此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
2.【答案】C
【解析】解：连接OC，
是弦CD的中点，
根据垂径定理：，
设圆的半径是x米，
在中，有，
即：，
解得：，
所以圆的半径长是．
故选：C．
因为M是弦CD的中点，根据垂径定理，，则，在中，有，进而可求得半径OC．
此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
3.【答案】C
【解析】解：过点O作交AB于点D，连接OA，
，
，
，
．
故选：C．
通过作辅助线，过点O作交AB于点D，根据折叠的性质可知，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长．
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键
4.【答案】B
【解析】解：连接OA，
，
，
在中，，
，
故选：B．
连接OA，根据垂径定理即可求得AE的长，然后利用勾股定理即可求得OE的长，即可得出答案．
本题考查了勾股定理和垂径定理，能根据垂径定理求出AE的长是解此题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：连接OA，如图：
，，
，
在中，，
故选：D．
根据垂径定理可知AC的长，再根据勾股定理即可求出OC的长．
本题考查的是垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理，构造出直角三角形是解答此题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：连接OA，
的弦AB垂直平分半径OC，，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
连接OC，由题意即可推出OC的长度可得OA的长度，运用勾股定理即可推出AD的长度，然后，通过垂径定理即可推出AB的长度．
本题主要考查垂径定理、勾股定理的应用，关键在于正确地作出辅助线构建直角三角形，认真地进行计算．
7.【答案】C
【解析】解：连接OA，如图所示：
，，，
，
，
．
故选：C．
先根据垂径定理得出，再根据勾股定理求出AD的长，进而得出AB的长．
本题考查的是垂径定理及勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出AC是解决问题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：弦，
，
在中，，
，
故选：C．
根据勾股定理求出CE，根据勾股定理计算即可．
本题考查的是垂径定理，勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：连接OB，过点O作于点D，交于点C，如图所示：
，
，
的直径为52，
，
在中，，
，
故选：C．
连接OB，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，选项错误；
B、平分弦的直径垂直弦，被平分的弦不是直径，故选项错误；
C、能重合的两个弧是等弧，选项错误；
D、圆的对称轴有无数条，而对称中心只有一个，正确．
故选D．
根据弦的定义以及垂径定理、等弧的定义即可作出判断．
本题考查了垂径定理以及弦的定义，注意垂径定理中平分弦的直径垂直于弦，被平分的弦不是直径，理解定理是关键．
11.【答案】1或7
【解析】解：作于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，
，，
，
，，
在中，，
在中，，
当点O在AB与CD之间时，；
当点O不在AB与CD之间时，；
综上所述，AB与CD之间的距离为1或7cm．
故答案为1或7．
作于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点O在AB与CD之间时，；当点O不在AB与CD之间时，．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论．
12.【答案】或或
【解析】解：作于E，于F，连结OD、OB，
则，，
如图1，
在中，，，
，
同理可得，
，
四边形OEPF为矩形，
，
，
；
如图2，
同理：；
如图3，
同理：；
故答案为：或或．
如图1，作于E，于F，连结OD、OB，如图，根据垂径定理得到，，根据勾股定理在中计算出，同理可得，接着证明四边形OEPF为正方形，于是得到，根据三角形面积公式求得即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
13.【答案】
【解析】解：连接OC，
由题意，得
，
，
，
故答案为．
根据垂径定理和勾股定理，即可得答案．
本题考查了垂径定理，利用勾股定理，解题关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
14.【答案】5
【解析】解：连接OA，
的弦，C是AB的中点，OC过O，
，，
由勾股定理得：，
即的半径为5，
故答案为：5．
连接OA，根据垂径定理求出，，根据勾股定理求出OA即可．
本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出AC的长是解此题的关键．
15.【答案】5
【解析】解：如图，通过画图观察可知，当时，EM的值最大．
连接OM，CE．
，
，
，，
，
四边形OMCE是矩形，
，
的最大值为5．
故答案为5．
如图，通过画图观察可知，当时，EM的值最大．只要证明四边形OMCE是矩形即可解决问题．
本题考查圆的有关知识、垂径定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是发现时EM的值最大，属于中考填空题中的压轴题．
16.【答案】证明：过点O作，
，
，
又在中，
，
．
【解析】
【分析】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．
过点O作，由等腰三角形的性质可知，再由垂径定理可知AE，故可得出结论．
17.【答案】
【解析】解：分别作线段AB和线段BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点，就是圆心D，如图，
D点正好在x轴上，D点的坐标是，
故答案为：；
连接AC、AD、CD，
的半径长，
，，
，
．
设圆锥的底面圆的半径长为r，
则，
解得：，
所以该圆锥底面圆的半径长为．
分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，则点D即为该圆弧所在圆的圆心，可知点D的坐标为．
连接AC、AD和CD，根据勾股定理的逆定理求出，根据弧长公式和圆的周长求出答案即可．
本题考查了坐标与图形的性质，垂径定理，圆锥的计算，勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，能求出D点的坐标和求出是解此题的关键．
18.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，
．
解：设的半径为则，
，，
，，
，
在中，，
，
解得或舍弃，
的半径为．
【解析】想办法证明即可解决问题．
设的半径为则，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
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