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1.成比例
如果实数a∶b＝c∶d，那么称a，b，c，d成比例，其中b，c称为比例内项，a，d称为比例外项．
比例的基本性质
＝?ad＝bc(a，b，c，d都不为0)．
合比性质
＝?＝(a，b，c，d都不为0)．
线段的比
两条线段的长度的比叫做这两条线段的比．
比例线段
一般地，四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
注意：求两条线段的比必须选定同一长度单位，但比值与单位的大小无关．
比例中项
一般地，如果三个数a，b，c满足比例式＝(或a∶b＝b∶c)，那么b就叫做a，c的比例中项．即b2＝ac?＝.
提示：当a，b，c表示实数时，由b2＝ac，得b＝±；当a，b，c表示线段长度时，由b2＝ac，得b＝.
黄金分割
如图，如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，使AP>BP，且＝，那么称线段AB被点P黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点.＝＝≈0.618叫做黄金比．
例1:
如果＝，那么＝________.
例2:
如图，在△ABC中，AD，CE分别是BC，AB边上的高，找出图中的一组比例线段，并说明理由．
一、选择题
1．如果＝，那么下列式子中一定成立的是( )
A．2x＝3y
B．3x＝2y
C．x＝6y
D．xy＝6
2．若2y－7x＝0，则x∶y等于( )
A．2∶7
B．4∶7
C．7∶2
D．7∶4
3．【四川雅安中考】若a∶b＝3∶4，且a＋b＝14，则2a－b的值是
( )
A．4
B．2
C．20
D．14
在下列给出的各组长度的线段中，不成比例的线段是
( )
A．3
cm,5
cm,9
cm,15
cm
B．0.8
cm,1.6
cm,2.8
cm,5.6
cm
C．12
cm,24
cm,36
cm,48
cm
D．50
cm,10
cm,80
cm,16
cm
已知＝＝＝，则＝(
)
A．
B．
C．
D．
6．[2018秋·长清区校级月考]已知＝，则在①＝；②＝；③＝；④＝，这四个式子中正确的个数是( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．已知甲、乙两地图的比例尺分别为1∶5000和1∶20
000，如果甲图上A，B两地的距离与乙图上C，D两地的距离恰好一样长，那么A，B两地的实际距离与C，D两地的实际距离之比为
( )
A．5∶2
B．2∶5
C．1∶4
D．4∶1
8．如图，四条线段的长分别为9,5，x,1(其中x为正实数)，用它们拼成两个相似的直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段，则x可取值的个数为
( )
A．1
B．3
C．6
D．9
9．若b是a和c的比例中项，则关于x的一元二次方程ax2＋2bx＋c＝0的根的情况是
( )
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
10．线段a，b，c中，b是a，c的比例中项，则a，b，c
( )
A．一定能构成三角形
B．一定不能构成三角形
C．不一定能构成三角形
D．不能构成直角三角形
11．点P把线段AB分割成AP和PB两段，如果AP是PB和AB的比例中项，那么下列式子成立的是（
）
( )
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
12．[2017秋·莲湖区期中]人以肚脐为界，若下身与身高比例符合“黄金分割”比例，则在人的视觉里看，是最完美的比例．身高为170
cm的人，满足“黄金分割”比例的下身长约为( )
A．100
cm
B．104
cm
C．105
cm
D．112
cm
13．宽与长的比是(约0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E，F，连结EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（
）
( )
A．矩形ABFE
B．矩形EFCD
C．矩形EFGH
D．矩形DCGH
14．如图，矩形ABCD中，已知点M是线段AB的黄金分割点，且AM＞BM，AD＝AM，FB＝BM，EF和GM把矩形ABCD分成四个小矩形，其面积分别用S1，S2，S3，S4表示，EF与MG相交于点N，则以下结论：①N是GM的黄金分割点；②S1＝S4；③＝.其中正确的有(
)
( )
A．①②
B．①③
C．③
D．①②③
15．已知三条线段a，b，c中，有c2＝ab，则称c是a，b的比例中项，若a＝2，b＝8，则a，b的比例中项c的值为( )
A．4
B．±4
C．±16
D．16
16．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，下列结论中正确的是
( )
A．AB2＝AC2＋BC2
B．BC2＝AC·BA
C.＝
D.＝
17．如图，扇子的圆心角为x，余下扇形的圆心角为y，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形较美观，若黄金比取0.618，则x为( )
A．222°
B．138°
C．139°
D．108°
18．如图，延长线段AB到点C，使BC＝2AB，再延长线段BA到点D，使AD＝AB，则CD∶BD为( )
A．7∶3
B．5∶2
C．7∶2
D．5∶3
19．已知在△ABC和△A′B′C′中，＝＝＝，A′B′＋B′C′＋A′C′＝16
cm，则AB＋BC＋AC＝( )
A．48
cm
B．24
cm
C．18
cm
D．36
cm
二、填空题
1．如果2x＝5y，则＝____，＝____，＝____．
2．已知三个数1,2,4，请再添上一个数，使它们能构成一个比例式，则这个数可以是____________.
3．[2018·成都]已知＝＝，且a＋b－2c＝6，则a的值为____．
4．【核心素养题】已知三条线段的长分别为1
cm，2
cm，
cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为 ________________________
__________.
5．若＝＝＝k，则k＝____．
6．点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB＝10
cm，则AC的长约为____________cm.(结果精确到0.1)
7．一张矩形报纸ABCD的长AB＝a
cm，宽BC＝b
cm，E，F分别是AB，CD的中点．将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长AD与宽AE之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则的值为______.
三、解答题
1．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，已知AC＝3，BC＝4.问线段AD，CD，CD，BD是不是成比例线段？写出你的理由．
2.
△ABC与△DEF在网格中的位置如图所示，如果每个小正方形的边长都是1.
(1)求，，的值；
(2)求△ABC的周长与△DEF的周长的比；
(3)在AB，BC，AC，DE，EF，DF这六条线段中，指出其中三组成比例的线段．
3．若一个矩形的短边与长边的比值为(黄金分割数)，我们把这样的矩形叫做黄金矩形．
(1)操作：请你在图所示的黄金矩形ABCD(AB>AD)中，以短边AD为一边作正方形AEFD；
(2)探究：在(1)中得到的四边形EBCF是不是黄金矩形？请说明理由；
(3)归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论(不需要说明原因)．
4．已知＝＝，求的值．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，＝，BD将△ABC的周长分为30
和15
两部分，求AB的长．
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1.成比例
如果实数a∶b＝c∶d，那么称a，b，c，d成比例，其中b，c称为比例内项，a，d称为比例外项．
比例的基本性质
＝?ad＝bc(a，b，c，d都不为0)．
合比性质
＝?＝(a，b，c，d都不为0)．
线段的比
两条线段的长度的比叫做这两条线段的比．
比例线段
一般地，四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
注意：求两条线段的比必须选定同一长度单位，但比值与单位的大小无关．
比例中项
一般地，如果三个数a，b，c满足比例式＝(或a∶b＝b∶c)，那么b就叫做a，c的比例中项．即b2＝ac?＝.
提示：当a，b，c表示实数时，由b2＝ac，得b＝±；当a，b，c表示线段长度时，由b2＝ac，得b＝.
黄金分割
如图，如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，使AP>BP，且＝，那么称线段AB被点P黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点.＝＝≈0.618叫做黄金比．
例1:
如果＝，那么＝________.
分析：由合比性质，得＝＝.
例2:
如图，在△ABC中，AD，CE分别是BC，AB边上的高，找出图中的一组比例线段，并说明理由．
分析：由三角形的高联想到三角形的面积公式，从而得出比例线段．
解答：＝.理由如下：
∵AD，CE分别是BC，AB边上的高，∴S△ABC＝AB·CE＝BC·AD，
即AB·CE＝BC·AD，∴＝.
一、选择题
1．如果＝，那么下列式子中一定成立的是( A )
A．2x＝3y
B．3x＝2y
C．x＝6y
D．xy＝6
2．若2y－7x＝0，则x∶y等于( A )
A．2∶7
B．4∶7
C．7∶2
D．7∶4
3．【四川雅安中考】若a∶b＝3∶4，且a＋b＝14，则2a－b的值是
( A )
A．4
B．2
C．20
D．14
在下列给出的各组长度的线段中，不成比例的线段是
( C )
A．3
cm,5
cm,9
cm,15
cm
B．0.8
cm,1.6
cm,2.8
cm,5.6
cm
C．12
cm,24
cm,36
cm,48
cm
D．50
cm,10
cm,80
cm,16
cm
已知＝＝＝，则＝(
C
)
A．
B．
C．
D．
6．[2018秋·长清区校级月考]已知＝，则在①＝；②＝；③＝；④＝，这四个式子中正确的个数是( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】
设x＝3k，y＝5k，则①＝＝－；②＝＝；③＝＝；
④＝＝.故选B.
7．已知甲、乙两地图的比例尺分别为1∶5000和1∶20
000，如果甲图上A，B两地的距离与乙图上C，D两地的距离恰好一样长，那么A，B两地的实际距离与C，D两地的实际距离之比为
( C )
A．5∶2
B．2∶5
C．1∶4
D．4∶1
8．如图，四条线段的长分别为9,5，x,1(其中x为正实数)，用它们拼成两个相似的直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段，则x可取值的个数为
( C )
A．1
B．3
C．6
D．9
9．若b是a和c的比例中项，则关于x的一元二次方程ax2＋2bx＋c＝0的根的情况是
( A )
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
10．线段a，b，c中，b是a，c的比例中项，则a，b，c
( C )
A．一定能构成三角形
B．一定不能构成三角形
C．不一定能构成三角形
D．不能构成直角三角形
11．点P把线段AB分割成AP和PB两段，如果AP是PB和AB的比例中项，那么下列式子成立的是（
D
）
( )
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
12．[2017秋·莲湖区期中]人以肚脐为界，若下身与身高比例符合“黄金分割”比例，则在人的视觉里看，是最完美的比例．身高为170
cm的人，满足“黄金分割”比例的下身长约为( C )
A．100
cm
B．104
cm
C．105
cm
D．112
cm
【解析】
设满足“黄金分割”比例的下身长约为x
cm，根据题意得＝，解得x≈105
cm.
13．宽与长的比是(约0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E，F，连结EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（D）
( )
A．矩形ABFE
B．矩形EFCD
C．矩形EFGH
D．矩形DCGH
【解析】
设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1，在Rt△DCF中，DF＝，∴FG＝，
∴CG＝－1，∴＝，∴矩形DCGH是黄金矩形．故选D.
14．如图，矩形ABCD中，已知点M是线段AB的黄金分割点，且AM＞BM，AD＝AM，FB＝BM，EF和GM把矩形ABCD分成四个小矩形，其面积分别用S1，S2，S3，S4表示，EF与MG相交于点N，则以下结论：①N是GM的黄金分割点；②S1＝S4；③＝.其中正确的有(
A
)
( )
A．①②
B．①③
C．③
D．①②③
15．已知三条线段a，b，c中，有c2＝ab，则称c是a，b的比例中项，若a＝2，b＝8，则a，b的比例中项c的值为( A )
A．4
B．±4
C．±16
D．16
【解析】
∵c2＝2×8，∴c1＝4，c2＝－4(不合题意，舍去)．故选A.
16．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，下列结论中正确的是
( C )
A．AB2＝AC2＋BC2
B．BC2＝AC·BA
C.＝
D.＝
17．如图，扇子的圆心角为x，余下扇形的圆心角为y，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形较美观，若黄金比取0.618，则x为( B )
A．222°
B．138°
C．139°
D．108°
【解析】
由题意，得＝0.618，y＝360°－x，∴x＝0.618(360°－x)，解得x≈138°.故选B.
18．如图，延长线段AB到点C，使BC＝2AB，再延长线段BA到点D，使AD＝AB，则CD∶BD为( A )
A．7∶3
B．5∶2
C．7∶2
D．5∶3
【解析】
∵CD＝AD＋AB＋BC＝AB＋AB＋2AB＝AB，BD＝AD＋AB＝AB＋AB＝AB，
∴CD∶BD＝AB∶AB＝7∶3.故选A.
19．已知在△ABC和△A′B′C′中，＝＝＝，A′B′＋B′C′＋A′C′＝16
cm，则AB＋BC＋AC＝( B )
A．48
cm
B．24
cm
C．18
cm
D．36
cm
【解析】
∵AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，∴AB＋BC＋AC＝(A′B′＋B′C′＋A′C′)＝×16＝24(cm)．故选B.
二、填空题
1．如果2x＝5y，则＝____，＝____，＝____．
【解析】
由2x＝5y，得＝，∴＋1＝＋1，即＝，－1＝－1，即＝.
2．已知三个数1,2,4，请再添上一个数，使它们能构成一个比例式，则这个数可以是或2或8____________.
3．[2018·成都]已知＝＝，且a＋b－2c＝6，则a的值为__12__．
【解析】
设＝＝＝k，则a＝6k，b＝5k，c＝4k，∵a＋b－2c＝6，
∴6k＋5k－8k＝6，3k＝6，解得k＝2，∴a＝6k＝12.
4．【核心素养题】已知三条线段的长分别为1
cm，2
cm，
cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为2
cm或
cm或
cm ________________________
__________.
5．若＝＝＝k，则k＝__2或－1__．
【解析】
根据已知条件，得出
a＋b＝ck， ①b＋c＝ak， ②c＋a＝bk. ③①＋②＋③，得2(a＋b＋c)＝k(a＋b＋c)．
(1)当a＋b＋c≠0，则k＝2；
(2)当a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c，b＋c＝－a，a＋c＝－b，∴k＝－1.综上所述，k的值是2或－1.
6．点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB＝10
cm，则AC的长约为___6.2或3.8 _________cm.(结果精确到0.1)
7．一张矩形报纸ABCD的长AB＝a
cm，宽BC＝b
cm，E，F分别是AB，CD的中点．将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长AD与宽AE之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则的值为______.
8．如图是一种贝壳的示意图，点C分线段AB近似于黄金分割比．已知AB＝12
cm，则AC的长约为__7.4__cm(结果精确到0.1
cm)．
【解析】
由图可知AC＞BC，∴AC＝×12≈0.618×12≈7.4(cm)．
三、解答题
1．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，已知AC＝3，BC＝4.问线段AD，CD，CD，BD是不是成比例线段？写出你的理由．
解：是．理由如下：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5.∵S△ABC＝AB·CD＝BC·AC，
∴CD＝＝＝2.4.在Rt△ADC中，AD＝＝1.8，
∴BD＝3.2，∴AD∶CD＝CD∶BD＝3∶4，即线段AD，CD，CD，BD是成比例线段．
2.
△ABC与△DEF在网格中的位置如图所示，如果每个小正方形的边长都是1.
(1)求，，的值；
(2)求△ABC的周长与△DEF的周长的比；
(3)在AB，BC，AC，DE，EF，DF这六条线段中，指出其中三组成比例的线段．
解：(1)AB＝4，BC＝6，AC＝2，DE＝2，EF＝3，DF＝，
∴＝2，＝2，＝2；
(2)∵＝＝，∴＝＝2，
∴△ABC的周长与△DEF的周长的比为2∶1；
(3)∵＝，∴AB，DE，BC，EF是成比例的线段；
∵＝，∴AB，DE，AC，DF是成比例的线段；
∵＝，∴BC，EF，AC，DF是成比例的线段．
3．若一个矩形的短边与长边的比值为(黄金分割数)，我们把这样的矩形叫做黄金矩形．
(1)操作：请你在图所示的黄金矩形ABCD(AB>AD)中，以短边AD为一边作正方形AEFD；
(2)探究：在(1)中得到的四边形EBCF是不是黄金矩形？请说明理由；
(3)归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论(不需要说明原因)．
解：(1)在AB和DC上分别截取AE＝DF＝AD，连结EF，
如答图所示，则四边形AEFD就是所求作的正方形；
(2)四边形EBCF是黄金矩形．理由：
∵四边形AEFD是正方形，∴∠AEF＝∠BEF＝90°，
∴四边形EBCF是矩形．
设CD＝a，AD＝b，则＝，
∴＝＝－1＝－1＝，
∴矩形EBCF是黄金矩形；
(3)在黄金矩形内以短边为边作一个正方形后，所得到的另外一个矩形是黄金矩形．
4．已知＝＝，求的值．
解：①若a＋b＋c≠0，则设＝＝＝k，
∴a＋b＝ck，b＋c＝ak，a＋c＝bk，
∴(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)＝k(a＋b＋c)，∴k＝2，
∴b＋c＝2a，a＋c＝2b，a＋b＝2c，
∴＝＝8；
②若a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c，b＋c＝－a，c＋a＝－b，
则＝＝－1.
综上所述，＝8或－1.
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，＝，BD将△ABC的周长分为30
和15
两部分，求AB的长．
解：当AB＋AD＝30时，由＝，得＝＝＝.设AD＝2k(k>0)，则DC＝k，
∴AB＝AC＝3k，AB＋AD＝5k＝30，解得k＝6，
∴AB＝18；当AB＋AD＝15时，同理可得，＝.
设AD＝m(m>0)，则DC＝2m，∴AB＝AC＝3m，AB＋AD＝4m＝15，解得m＝，∴AB＝3m＝.
∵AB＝18，AB＝都符合三角形的三边关系，∴AB＝18或.
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