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相似三角形
一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．相似三角形对应边的比叫做相似比．
相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．
相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
注意：两个全等三角形也相似，它们的相似比为1.
例1：找出如图所示的相似三角形的对应边和对应角．
①△ADE∽△ABC
②△AOC∽△BOD
③△DEF∽△DGH
①对应边：__AD与AB，AE与AC，DE与BC__，
对应角：__∠A与∠A，∠ADE与∠B，∠AED与∠C__；
②对应边：__AO与BO，CO与DO，AC与BD__，
对应角：__∠A与∠B，∠C与∠D，∠AOC与∠BOD__；
③对应边：__DE与DG，DF与DH，EF与GH__，
对应角：__∠E与∠G，∠EDF与∠GDH，∠F与∠H__．
例2：如图，E是AD上的一点，△ABE∽△ADB，＝，∠AEB＝110°，∠A＝40°.
(1)求∠ABD与∠D的度数；
(2)写出△ABE与△ADB的对应边成比例的比例式，并求出相似比
解答：(1)∵△ABE∽△ADB，∠AEB＝110°，
∴∠ABD＝∠AEB＝110°，∠D＝∠ABE.
又∵∠A＝40°，∴∠ABE＝180°－∠AEB－∠A＝30°，
∴∠D＝30°.
(2)∵△ABE∽△ADB，∴＝＝＝.
一、选择题
1．下列各组所给出的两个三角形一定相似的是
( B )
A．两个直角三角形
B．两个等边三角形
C．两个等腰三角形
D．两个钝角三角形
2．△ABC∽△A′B′C′，若∠A＝55°，∠B＝100°，则∠C′等于
( C )
A．55°
B．100°
C．25°
D．35°
3．【甘肃兰州中考】已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝8，A′B′＝6，则＝(
B
)
( )
A．2
B．
C．3
D．
4．△ABC的三边之比为3∶4∶5，与其相似的△DEF的最短边是9
cm，则其最长边的长是(
C
)
( )
A．5
cm
B．10
cm
C．15
cm
D．30
cm
5．如图，△ADE∽△ABC，若AD∶DB＝3∶4，则DE∶BC等于( C )
A．3∶4
B．4∶3
C．3∶7
D．4∶7
【解析】
∵△ADE∽△ABC，AD∶DB＝3∶4，∴AD∶AB＝3∶7，∴DE∶BC＝3∶7.
6．[2018秋·芙蓉区校级期中]已知△ABC∽△A1B1C1，如果∠A＝40°，那么∠A1等于( A )
A．40°
B．80°
C．140°
D．20°
【解析】
∵△ABC∽△A1B1C1，∴∠A1＝∠A＝40°.
7．[2018·重庆A卷]要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5
cm，6
cm
和9
cm，另一个三角形的最短边长为2.5
cm，则它的最长边为
( C )
A．3
cm
B．4
cm
C．4.5
cm
D．5
cm
【解析】
设另一个三角形的最长边为x
cm，根据相似三角形的性质，得＝，解得x＝4.5，
故选C.
8．如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝2，点D是边AB上一点，CD将△ABC分成△ACD和△BCD，若△ACD是以AC为底的等腰三角形，且△BCD与△BAC相似，则CD的长为( D )
A.
B．2
C．4－4
D.
【解析】∵△ACD是以AC为底的等腰三角形，∴AD＝CD，∵△BCD与△BAC相似，
∴＝＝，
设CD＝x，BD＝y，∴＝＝，∴解得y＝，x＝，∴CD＝.
9．如图，正方形ABCD中，AB＝2，E为BC中点，两个动点M和N分别在边CD和AD上运动且MN＝1，若△ABE与以D，M，N为顶点的三角形相似，则DM为（
D）
( )
A．
B．
C．或
D．或
10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝14，AB＝4，CD＝6，P是AD上的动点，连结BP，CP，若△PAB∽△CDP，则这样的点P共有
( C )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
二、填空题
1．[2018秋·南关区期末]如图，在△ABC中，点D在BC边上，△ABC∽△DBA.若BD＝4，DC＝5，则AB的长为__6__．
【解析】
∵△ABC∽△DBA，∴＝，∴AB2＝BD·BC＝4×(4＋5)＝36，∵AB＞0，∴AB＝6.
2.
如果△ABC与△A′B′C′的相似比是，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是__3__．
【解析】
△ABC与△A′B′C′的相似比是，即＝，∴＝3，∴△A′B′C′与△ABC的相似比是3.
3．如图，若△ADE∽△ACB，且
＝，DE＝10，则BC＝__15__．
【解析】
∵△ADE∽△ACB，∴＝，又∵＝，DE＝10，∴BC＝15.
4．如图，AB、CD相交于点O，△AOC∽△BOD，OC∶OD＝1∶2，AC＝5，则BD的长为__10____.
5．如图，在一个边长为1的正方形组成的网格中，△ABC与△A1B1C1都是格点三角形(顶点在网格交点处)，若△ABC∽△A1B1C1，则△ABC与△A1B1C1的相似比是______.
6．如图，△ABC∽△AED，AD＝5
cm，BD＝6
cm，AC＝9
cm，则AE＝____cm，△ABC与△AED的相似比是____．
【解析】
∵△ABC∽△AED，∴＝.∵AD＝5
cm，BD＝6
cm，
∴AB＝AD＋BD＝5＋6＝11(cm)．
∵AC＝9
cm，∴＝，∴AE＝＝(cm)；
△ABC与△AED的相似比是＝.
7．【核心素养题】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是边AB上的一点，E是边AC上的一点(D，E与端点不重合)，如果△CDE与△ABC相似，那么CD的长是_或_________.
8.
【辽宁辽阳中考】如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO，CO分别在x轴，y轴上，点A的坐标为
(－8,6)，点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，P点坐标为__或(－4,3)________________.
三、解答题
1．如图，在△ABC中，AB＝8
cm，BC＝16
cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2
cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4
cm/s的速度移动(当点Q到达点C时，点P，Q同时停止运动)，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？
解：设经x
s
△PBQ与△ABC相似，则AP＝2x
cm，BQ＝4x
cm，
∵AB＝8
cm，BC＝16
cm，∴BP＝AB－AP＝(8－2x)cm，
∵∠B是公共角，
①当＝，即＝时，△PBQ∽△ABC，解得x＝2；
②当＝，即＝时，△QBP∽△ABC，解得x＝0.8，
∴经2
s或0.8
s时△PBQ与△ABC相似．
2．如图，已知AD＝3
cm，AC＝6
cm，BC＝9
cm，∠B＝36°，∠D＝117°，△ABC∽△DAC.求：
(1)AB的长；
(2)∠BAD的大小．
解：(1)∵△ABC∽△DAC，∴＝，∴＝，∴AB＝＝4.5(cm)；
(2)∵△ABC∽△DAC，∴∠BAC＝∠D＝117°，∠CAD＝∠B＝36°，
∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝117°＋36°＝153°.
3．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，
DE＝2，求EF的长．
解：在Rt△ABE中，BE＝＝＝3.
∵△ABE∽△DEF，∴＝，即＝，∴EF＝.
4．如图，D是AB的中点，△ABC∽△ACD，且AD＝2，∠ADC＝65°.
(1)写出△ABC与△ACD的对应边成比例的比例式；
(2)求AC的长及∠ACB的度数．
解：(1)∵△ABC∽△ACD，∴＝＝；
(2)由(1)，得＝.又∵AD＝2，AB＝4，
∴＝，∴AC＝±2.
∵AC>0，∴AC＝2，∵△ABC∽△ACD，∠ADC＝65°，
∴∠ACB＝∠ADC＝65°.
如图，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，求AP的长．
解：∵AD∥BC，∴∠A＝180°－∠B＝90°，
∴∠A＝∠B＝90°.
设AP的长为x，则BP长为8－x.
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP∶BP＝AD∶BC，即x∶(8－x)＝3∶4，解得x＝；
②若△APD∽△BCP，则AP∶BC＝AD∶BP，即x∶4＝3∶(8－x)，解得x＝2或x＝6.
综上所述，AP＝或2或6.
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相似三角形
一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．相似三角形对应边的比叫做相似比．
相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．
相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
注意：两个全等三角形也相似，它们的相似比为1.
例1：找出如图所示的相似三角形的对应边和对应角．
①△ADE∽△ABC
②△AOC∽△BOD
③△DEF∽△DGH
①对应边：
，
对应角：
，
②对应边：
，
对应角：
，
③对应边：
，
对应角：
，
例2：如图，E是AD上的一点，△ABE∽△ADB，＝，∠AEB＝110°，∠A＝40°.
(1)求∠ABD与∠D的度数；
(2)写出△ABE与△ADB的对应边成比例的比例式，并求出相似比
一、选择题
1．下列各组所给出的两个三角形一定相似的是
( )
A．两个直角三角形
B．两个等边三角形
C．两个等腰三角形
D．两个钝角三角形
2．△ABC∽△A′B′C′，若∠A＝55°，∠B＝100°，则∠C′等于
( )
A．55°
B．100°
C．25°
D．35°
3．【甘肃兰州中考】已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝8，A′B′＝6，则＝(
)
( )
A．2
B．
C．3
D．
4．△ABC的三边之比为3∶4∶5，与其相似的△DEF的最短边是9
cm，则其最长边的长是(
)
( )
A．5
cm
B．10
cm
C．15
cm
D．30
cm
5．如图，△ADE∽△ABC，若AD∶DB＝3∶4，则DE∶BC等于( )
A．3∶4
B．4∶3
C．3∶7
D．4∶7
6．[2018秋·芙蓉区校级期中]已知△ABC∽△A1B1C1，如果∠A＝40°，那么∠A1等于( )
A．40°
B．80°
C．140°
D．20°
7．[2018·重庆A卷]要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5
cm，6
cm
和9
cm，另一个三角形的最短边长为2.5
cm，则它的最长边为
( )
A．3
cm
B．4
cm
C．4.5
cm
D．5
cm
8．如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝2，点D是边AB上一点，CD将△ABC分成△ACD和△BCD，若△ACD是以AC为底的等腰三角形，且△BCD与△BAC相似，则CD的长为( )
A.
B．2
C．4－4
D.
9．如图，正方形ABCD中，AB＝2，E为BC中点，两个动点M和N分别在边CD和AD上运动且MN＝1，若△ABE与以D，M，N为顶点的三角形相似，则DM为（
）
( )
A．
B．
C．或
D．或
10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝14，AB＝4，CD＝6，P是AD上的动点，连结BP，CP，若△PAB∽△CDP，则这样的点P共有
( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
二、填空题
1．[2018秋·南关区期末]如图，在△ABC中，点D在BC边上，△ABC∽△DBA.若BD＝4，DC＝5，则AB的长为____．
2.
如果△ABC与△A′B′C′的相似比是，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是____．
3．如图，若△ADE∽△ACB，且
＝，DE＝10，则BC＝____．
4．如图，AB、CD相交于点O，△AOC∽△BOD，OC∶OD＝1∶2，AC＝5，则BD的长为______.
5．如图，在一个边长为1的正方形组成的网格中，△ABC与△A1B1C1都是格点三角形(顶点在网格交点处)，若△ABC∽△A1B1C1，则△ABC与△A1B1C1的相似比是______.
6．如图，△ABC∽△AED，AD＝5
cm，BD＝6
cm，AC＝9
cm，则AE＝____cm，△ABC与△AED的相似比是____．
7．【核心素养题】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是边AB上的一点，E是边AC上的一点(D，E与端点不重合)，如果△CDE与△ABC相似，那么CD的长是__________.
8.【辽宁辽阳中考】如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO，CO分别在x轴，y轴上，点A的坐标为(－8,6)，点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，P点坐标为_________________.
三、解答题
1．如图，在△ABC中，AB＝8
cm，BC＝16
cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2
cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4
cm/s的速度移动(当点Q到达点C时，点P，Q同时停止运动)，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？
2．如图，已知AD＝3
cm，AC＝6
cm，BC＝9
cm，∠B＝36°，∠D＝117°，△ABC∽△DAC.求：
(1)AB的长；
(2)∠BAD的大小．
3．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，
DE＝2，求EF的长．
4．如图，D是AB的中点，△ABC∽△ACD，且AD＝2，∠ADC＝65°.
(1)写出△ABC与△ACD的对应边成比例的比例式；
(2)求AC的长及∠ACB的度数．
如图，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，求AP的长．
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