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1.平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例．
如图，l1∥l2∥l3，l4分别交l1，l2，l3于A，B，C三点，l5分别交l1，l2，l3于D，E，F三点，则＝.
平行线等分线段定理：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等．
定理的运用：可以用来证明同一直线上的线段相等；可以等分线段．
推论
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．
如图，∵DE∥BC，∴＝.注意：此定理是判定三角形相似的基础．
选择题
1.
如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A，B，C和点D，E，F.若＝，DE＝4，则EF的长是( )
A.
B.
C．6
D．10
2．[2018·乐山]如图，DE∥FG∥BC，若DB＝4FB，则EG与GC的关系是( )
A．EG＝4GC
B．EG＝3GC
C．EG＝GC
D．EG＝2GC
3．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则的值为( )
A.
B.
2
C.
D.
5.
如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，则DF的长为(
)
A．3.6
B．4.8
C．5
D．5.2
6．【四川凉山中考】如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC＝1∶2，O是BD的中点，连结AO并延长交BC于E，则BE∶EC＝( )
A．1∶2
B．1∶3
C．1∶4
D．2∶3
7．如图，已知直线a∥b∥c，则下列结论：①＝；②＝；③＝，其中正确的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
8．[2018·哈尔滨]如图，在△ABC中，点D在BC边上，连结AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
9．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为( )
A．6
B．8
C．10
D．12
二、填空题
1．如图，AB，CD相交于点O，AC∥BD，若OC∶CD＝2∶5，OB＝9，则AO＝____．
2．[2018·嘉兴]如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知＝，则＝____．
如图，直线l1，l2，…，l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3，l6相交于
B，E，C，F，若BE＝3，AB＝AC，则AF的长是___．
4．如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且＝，过点D作DE∥BC交AB于点E，连结CE，过点D作DF∥CE交AB于点F.若AB＝15，则EF＝______.
三、解答题
1．如图，在平行四边形ABCD中，E是BA延长线上一点，CE与AD，BD交于G，F.
求证：CF2＝GF·EF.
2．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，CE＝CF，EM⊥AF，CN⊥AF.求证：MN＝NB．
3.【核心素养题】如图，已知△ABC中，AB＞AC，BC＝6，BC边上的高AN＝4.直角梯形DEFG的底EF在BC边上，EF＝4，点D、G分别在边AB，AC上，且DG∥EF，GF⊥EF，垂足为F.设GF的长为x，直角梯形DEFG的面积为y，求y关于x的函数表达式，并写出函数的定义域．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F.
(1)求证：DE＝EF；
(2)连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B＝∠A＋∠DGC．
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1.平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例．
如图，l1∥l2∥l3，l4分别交l1，l2，l3于A，B，C三点，l5分别交l1，l2，l3于D，E，F三点，则＝.
平行线等分线段定理：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等．
定理的运用：可以用来证明同一直线上的线段相等；可以等分线段．
推论
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．
如图，∵DE∥BC，∴＝.注意：此定理是判定三角形相似的基础．
选择题
1.
如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A，B，C和点D，E，F.若＝，DE＝4，则EF的长是( C )
A.
B.
C．6
D．10
【解析】
∵l1∥l2∥l3，∴＝，∴＝，∴EF＝6.
2．[2018·乐山]如图，DE∥FG∥BC，若DB＝4FB，则EG与GC的关系是( B )
A．EG＝4GC
B．EG＝3GC
C．EG＝GC
D．EG＝2GC
【解析】
∵DE∥FG∥BC，∴＝，又∵DB＝4FB，∴＝＝，∴EC＝4CG，∴EG＝3GC.
3．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( A )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则的值为( D )
A.
B.
2
C.
D.
5.
如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，则DF的长为(
B
)
A．3.6
B．4.8
C．5
D．5.2
6．【四川凉山中考】如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC＝1∶2，O是BD的中点，连结AO并延长交BC于E，则BE∶EC＝( B )
A．1∶2
B．1∶3
C．1∶4
D．2∶3
7．如图，已知直线a∥b∥c，则下列结论：①＝；②＝；③＝，其中正确的有( C )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
8．[2018·哈尔滨]如图，在△ABC中，点D在BC边上，连结AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是( D )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
【解析】
∵GE∥BD，∴＝，又∵GF∥AC，∴＝，∴＝.
9．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为( C )
A．6
B．8
C．10
D．12
【解析】
∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B.∵∠ADE＝∠EFC，∴∠B＝∠EFC，∴BD∥EF.∵DE∥BF，
∴四边形BDEF为平行四边形，∴DE＝BF.∵DE∥BC，∴＝＝＝，
∴BC＝DE，∴CF＝BC－BF＝DE＝6，∴DE＝10.
二、填空题
1．如图，AB，CD相交于点O，AC∥BD，若OC∶CD＝2∶5，OB＝9，则AO＝__6__．
【解析】
∵OC∶CD＝2∶5，∴OC∶OD＝2∶3＝.∵AC∥BD，∴AO∶BO＝OC∶OD，
∴AO＝＝6.
2．[2018·嘉兴]如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知＝，则＝__2__．
【解析】
∵＝，∴＝2，∵l1∥l2∥l3，∴＝＝2.
如图，直线l1，l2，…，l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3，l6相交于B，E，C，F，若BE＝3，AB＝AC，则AF的长是__5__．
4．如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且＝，过点D作DE∥BC交AB于点E，连结CE，过点D作DF∥CE交AB于点F.若AB＝15，则EF＝______.
三、解答题
1．如图，在平行四边形ABCD中，E是BA延长线上一点，CE与AD，BD交于G，F.
求证：CF2＝GF·EF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，
∴＝，＝，
∴＝，即CF2＝GF·EF.
2．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，CE＝CF，EM⊥AF，CN⊥AF.求证：MN＝NB．
证明：延长ME交BC的延长线于点D．
∵∠ACB＝90°，AF⊥EM，
∴∠AEM＋∠CAF＝90°，∠D＋∠DEC＝90°.
又∵∠AEM＝∠DEC，∴∠D＝∠CAF.
∵∠DCE＝∠ACF，CE＝CF，∴△EDC≌△FAC，∴DC＝AC．
又∵AC＝BC，∴DC＝BC．
又∵EM⊥AF，CN⊥AF，∴DM∥CN.
又∵点C是BD的中点，
∴点N是MB的中点，∴MN＝NB．
3.【核心素养题】如图，已知△ABC中，AB＞AC，BC＝6，BC边上的高AN＝4.直角梯形DEFG的底EF在BC边上，EF＝4，点D、G分别在边AB，AC上，且DG∥EF，GF⊥EF，垂足为F.设GF的长为x，直角梯形DEFG的面积为y，求y关于x的函数表达式，并写出函数的定义域．
解：∵GF⊥EF，AN⊥BC，四边形DEFG为直角梯形，
∴四边形GFNM为矩形，∴GF＝MN＝x.
∵DG∥EF，∴DG∥BC，
∴＝＝＝＝，即＝，解得DG＝6－x.
∴y＝·MN＝·x＝－x2＋5x，
即y关于x的函数表达式为y＝－x2＋5x(0＜x＜4)．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F.
(1)求证：DE＝EF；
(2)连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B＝∠A＋∠DGC．
证明：(1)∵DE∥BC，CF∥AB，
∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF＝BC．
∵D为边AB的中点，DE∥BC，
∴DE＝BC，
∴EF＝DF－DE＝BC－BC＝BC，
∴DE＝EF.
(2)如图，∵DB∥CF，∴∠ADG＝∠G.
∵∠ACB＝90°，D为边AB的中点，∴CD＝DB＝AD，
∴∠B＝∠DCB，∠A＝∠DCA．
∵DG⊥DC，∴∠DCA＋∠1＝90°.
∵∠DCB＋∠DCA＝90°，
∴∠1＝∠DCB＝∠B．
∵∠A＋∠ADG＝∠1，
∴∠A＋∠G＝∠B．
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