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1.相似多边形
(1)对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．
(2)相似多边形的对应边的比叫做相似比．
2.相似多边形的性质
相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方．
例1：已知矩形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F.求证：四边形ABCD∽四边形EBFO.
一、选择题
1.在下列几个命题中，正确的有( )
①四条边相等的四边形都相似；②四个角都相等的四边形都相似；③三条边相等的三角形都相似；④所有的正十二边形都相似．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2.将一个三角形和一个矩形按照如图的方式扩大，使它们的对应边之间的距离均为1，得到新的三角形和矩形，下列说法正确的是( )
A．新三角形与原三角形相似
B．新矩形与原矩形相似
C．新三角形与原三角形，新矩形与原矩形都相似
D．新三角形与原三角形，新矩形与原矩形都不相似
3.（2019秋?嘉兴期末）下列说法正确的是（ ）
A．所有菱形都相似
B．所有矩形都相似
C．所有正方形都相似
D．所有平行四边形都相似
4.如图，一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到的．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于( )
A．0.618
B．
C．
D．2
5.已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长分别为24、36，则它们对角线AC与A′C′的比为（??
）
A.
2：3
B.
3：2
C.
4：9
D.
9：4
6.（2019?武侯区校级模拟）两个相似多边形的周长比是2：3，其中较小多边形的面积为4cm2，则较大多边形的面积（ ）
A．9cm2
B．16cm2
C．56cm2
D．24cm2
7.（2020春?广饶县期末）如图，把一个矩形分割成四个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为（ ）
A．2：1
B．4：1
C．
D．1：2
8.（2019秋?甘井子区期中）如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，则下列角的度数正确的是（ ）
A．∠D＝81°
B．∠F＝83°
C．∠G＝78°
D．∠H＝91°
9.（2019秋?巴州区校级期中）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元
B．1080元
C．720元
D．2160元
10.如图，连结正五边形的各条对角线AD，AC，BE，BD，CE，给出下列结论：①∠AME＝108°；②五边形PFQNM∽五边形ABCDE；③AN2＝AM?AD，其中正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②
二、填空题
1.四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，它们的面积比为9∶4，四边形ABCD的周长是24，则四边形A1B1C1D1的周长为____．
2.把一个长方形按如图2的方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若小长方形的宽为2，则原长方形的宽x为____．
如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝____．
4.（2019秋?耒阳市期末）若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是 ．
5.（2019春?张店区期末）如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE＝BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为 ．
三、解答题
1.（2017春?钦南区校级期中）如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F．求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
2.两个相似多边形的一对对应边的边长．分别是15cm和12cm．
（1）它们的周长相差24cm，求这两个多边形的周长；
（2）它们的面积相差270cm2，求这两个多边形的面积．
3.（2019秋?赣榆区期末）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
4.（2019秋?雁塔区校级月考）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，当∠BCD＝ 40° 时，CD为△ABC的完美分割线；
（2）如图2，△ABC中，AC＝2，BC，CD是△ABC的完美分割线，求完美分割线CD的长．
5.【核心素养题】如图，在矩形ABCD中，AB＝16，BC＝12，顺次连结各边中点，得菱形A1B1C1D1；再顺次连结菱形A1B1C1D1的各边中点，得矩形A2B2C2D2；再顺次连结矩形A2B2C2D2的各边中点，得菱形A3B3C3D3；…；这样继续下去．求图中的四边形A8B8C8D8的周长和四边形A9B9C9D9的面积．
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1.相似多边形
(1)对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．
(2)相似多边形的对应边的比叫做相似比．
2.相似多边形的性质
相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方．
例1：已知矩形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F.求证：四边形ABCD∽四边形EBFO.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°.
又∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB＝∠EBF＝∠OFB＝∠EOF＝∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，
∴OE∥AD，OF∥DC，
∴△BEO∽△BAD，△BFO∽△BCD，
∴＝＝＝＝，
∴四边形ABCD∽四边形EBFO.
一、选择题
1.在下列几个命题中，正确的有( B )
①四条边相等的四边形都相似；②四个角都相等的四边形都相似；③三条边相等的三角形都相似；④所有的正十二边形都相似．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2.将一个三角形和一个矩形按照如图的方式扩大，使它们的对应边之间的距离均为1，得到新的三角形和矩形，下列说法正确的是( A )
A．新三角形与原三角形相似
B．新矩形与原矩形相似
C．新三角形与原三角形，新矩形与原矩形都相似
D．新三角形与原三角形，新矩形与原矩形都不相似
3.（2019秋?嘉兴期末）下列说法正确的是（ ）
A．所有菱形都相似
B．所有矩形都相似
C．所有正方形都相似
D．所有平行四边形都相似
【解析】∵相似多边形的对应边成比例，对应角相等，
∴所有正方形都是相似多边形，故选：C．
4.如图，一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到的．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于( C )
A．0.618
B．
C．
D．2
5.已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长分别为24、36，则它们对角线AC与A′C′的比为（??
）
A.
2：3
B.
3：2
C.
4：9
D.
9：4
【答案】A【详解】如图，连接AC、A′C
′
∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，∴=
，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，∴=
=
=
，故选：A．
6.（2019?武侯区校级模拟）两个相似多边形的周长比是2：3，其中较小多边形的面积为4cm2，则较大多边形的面积（ ）
A．9cm2
B．16cm2
C．56cm2
D．24cm2
【答案】解：∵两个相似多边形的周长比是2：3，∴两个相似多边形的相似比是2：3，∴两个相似多边形的面积比是4：9，∵较小多边形的面积为4cm2，∴较大多边形的面积为9cm2，故选：A．
7.（2020春?广饶县期末）如图，把一个矩形分割成四个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为（ ）
A．2：1
B．4：1
C．
D．1：2
【解析】设原矩形ABCD的长为x，宽为y，∴小矩形的长为y，宽为，
∵小矩形与原矩形相似，∴∴x：y＝2：1。故选：A．
8.（2019秋?甘井子区期中）如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，则下列角的度数正确的是（ ）
A．∠D＝81°
B．∠F＝83°
C．∠G＝78°
D．∠H＝91°
【解析】∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴∠B＝∠F＝78°，∠A＝∠E＝118°，∠C＝∠G＝83°，
∴∠D＝360°﹣78°﹣118°﹣83°＝81°．故选：A．
9.（2019秋?巴州区校级期中）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元
B．1080元
C．720元
D．2160元
【解析】∵将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，∴面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的成本为：120×9＝1080（元）．故选：B．
10.如图，连结正五边形的各条对角线AD，AC，BE，BD，CE，给出下列结论：①∠AME＝108°；②五边形PFQNM∽五边形ABCDE；③AN2＝AM?AD，其中正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】解：∵∠BAE＝∠AED＝108°，∵AB＝AE＝DE，∴∠ABE＝∠AEB＝∠EAD＝36°，
∴∠AME＝180°﹣∠EAM﹣∠AEM＝108°，故①正确；
∵∠ABE＝∠CBD＝36°，∴∠DBE＝36°，同理∠MEN＝∠MAP＝∠FFQ＝∠NDQ＝∠FBP，
△EMN≌△AMP≌△BPF≌△CFQ≌△DQN，∴MN＝PM＝PF＝FQ＝QN，
∴五边形MNQFP是正五边形，∴五边形PFQNM∽五边形ABCDE，②正确．
∵∠AEN＝108°﹣36°＝72°，∠ANE＝36°+36°＝72°，∴∠AEN＝∠ANE，∴AE＝AN，同理DE＝DM，∴AE＝DM，∵∠EAD＝∠AEM＝∠ADE＝36°，∴△AEM∽△ADE，∴，∴AE2＝AM?AD；∴AN2＝AM?AD；故③正确；故选：D．
二、填空题
1.
四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，它们的面积比为9∶4，四边形ABCD的周长是24，则四边形A1B1C1D1的周长为__16__．
【解析】
设四边形A1B1C1D1的周长为x，∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1的面积比为9∶4，∴它们的周长比为3∶2，∴24∶x＝3∶2，解得x＝16.
2.把一个长方形按如图2的方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若小长方形的宽为2，则原长方形的宽x为__2__．
【解析】
∵每一个小长方形与原长方形相似，∴＝，解得x＝2(负值舍去)．
如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝__1＋__．
【解析】
设AD＝x，∵AB＝2，则FD＝x－2，FE＝2，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴＝，
∴＝，解得x1＝1＋，x2＝1－(不合题意，舍去)，
经检验x1＝1＋是原方程的解，∴AD＝1＋.
4.（2019秋?耒阳市期末）若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是 87° ．
【解析】∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠A＝∠A′＝138°，
∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴∠α＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝87°．
故答案为：87°．
5.（2019春?张店区期末）如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE＝BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为 ．
【答案】解：设BG＝x，则BE＝x，
∵BE＝BC，∴BC＝x，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比＝BG：BC＝x：x＝：2，
故答案为：．
三、解答题
1.如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F．求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
【答案】证明；∵∠GEA＝∠EAF＝∠GFA＝90°，∴四边形EAFG为矩形．
∵四边形ABCD为正方形，∴AC平分∠DAB．
又∵GE⊥AD，GF⊥AB，∴GE＝GF．∴四边形EAFG为正方形．
∴四边形AFGE与四边形ABCD相似．
2.两个相似多边形的一对对应边的边长．分别是15cm和12cm．
（1）它们的周长相差24cm，求这两个多边形的周长；
（2）它们的面积相差270cm2，求这两个多边形的面积．
【答案】解：（1）设较大多边形的周长是xcm．则
∵两个相似多边形的一组对应边分别是15cm和12cm，
∴两个相似多边形的相似比是15：12＝5：4，
又∵相似多边形的周长的比等于相似比，∴x：（x﹣24）＝5：4，解得：x＝120，
较小多边形的周长120﹣24＝96（cm）；
答：两个多边形的周长分别为120cm，96cm；
（2）设较大多边形的面积为acm2，由题意得：a：（a﹣270）＝25：16，解得：a＝750，
则较小多边形的面积为750﹣270＝480（cm2）．
答：两个多边形的面积分别为750cm2，480cm
3.
3.（2019秋?赣榆区期末）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
【解析】（1）①当△BPQ∽△BAC时，∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴，∴，
②当△BPQ∽△BCA时，∵，∴，∴；∴或时，△BPQ与△ABC相似；
（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，
则有PB＝3t，，，，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，∴解得：；
4.（2019秋?雁塔区校级月考）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，当∠BCD＝ 40° 时，CD为△ABC的完美分割线；
（2）如图2，△ABC中，AC＝2，BC，CD是△ABC的完美分割线，求完美分割线CD的长．
【解析】（1）当∠BCD＝40°时，∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC不是等腰三角形，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD是等腰三角形，
∵∠BCD＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC∴△BCD∽△BAC，∴CD是△BAC的完美分割线；
故答案为：40°；
（2）①∵△BCD∽△BAC，∴，
∵AC＝AD＝2，BC，设BD＝x，则AB＝2+x，∴，解得x＝﹣1±，
∵x＞0，∴BD＝x＝﹣1，∵△BCD∽△BAC，∴，
∵AC＝2，BC，BD＝﹣1∴CD＝2，
如图3，②∵△ADC∽△ACB，∴，∴，∴AD，∴AB＝2，
∵△ADC∽△ACB，∴，∴，∴CD＝1，
如图4，③∵△CDB∽△ACB，∴，∴，即，
CDDB，CD2+DB?CD＝2，CD?BD+DB2＝2，
∴CD2﹣DB2＝22，∴DB，∴CD＝2；
如图5，④∵△ACD∽△ABC，∴，∴，∴CD，同理解得：CD，
如图6，⑤△ADC∽△ACB，CD＝BC
综上所述，CD的长为或1或或或2．
5.【核心素养题】如图，在矩形ABCD中，AB＝16，BC＝12，顺次连结各边中点，得菱形A1B1C1D1；再顺次连结菱形A1B1C1D1的各边中点，得矩形A2B2C2D2；再顺次连结矩形A2B2C2D2的各边中点，得菱形A3B3C3D3；…；这样继续下去．求图中的四边形A8B8C8D8的周长和四边形A9B9C9D9的面积．
解：∵矩形ABCD中，AB＝16，BC＝12，顺次连结矩形ABCD各边中点，
∴四边形A1B1C1D1是菱形，矩形对角线长＝＝20，∴A1B1＝10，
∴四边形A1B1C1D1的周长是10×4＝40.
同理可得A2D2＝BC＝12×＝6，C2D2＝AB＝16×＝8，
∴四边形A2B2C2D2的周长是2×(6＋8)＝28，
∴A4D4＝3，C4D4＝4，∴四边形A4B4C4D4的周长是2×(3＋4)＝14，…，
∴四边形A8B8C8D8的周长＝×28＝.根据题意，得四边形A1B1C1D1的面积＝矩形ABCD面积的一半，
四边形A2B2C2D2的面积＝四边形A1B1C1D1的面积的一半＝矩形ABCD的面积，…，
∴四边形A9B9C9D9的面积＝9×矩形ABCD的面积＝9×16×12＝.
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