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位似图形
所有经过对应点的直线都相交于同一点，这个交点到两个对应点的距离之比都相等，那么这两个图形就叫做位似图形，经过各对应两点的直线的交点叫做位似中心，位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比．
位似图形的性质
(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
(2)当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为(x，y)，位似图形与原图形的位似比为k，则位似图形上的对应点的坐标为(kx，ky)或(－kx，－ky)．
注意：位似图形是特殊的相似图形，位似图形对应角相等，对应边成比例，相似比等于位似比．
例1：如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1∶2，若AB＝2
cm，则A′B′＝________cm，并在图中画出位似中心O.
解答：4 如图所示，点O即为位似中心．
分析：△ABC与△A′B′C′位似，位似比为1∶2，则AB∶A′B′＝1∶2，∴A′B′＝2AB＝4
cm.连结AA′，CC′，它们的交点O即是位似中心．
一、选择题
1．下列判断中，正确的是( B )
A．相似图形一定是位似图形
B．位似图形一定是相似图形
C．全等的图形一定是位似图形
D．位似图形一定是全等图形
2．下列图中的两个图形不是位似图形的是( D )
A
B
C
D
如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD＝90°，CO＝CD.若B(1，0)，则点C的坐标为( B )
A．(1，2)
B．(1，1)
C．(，)
D．(2，1)
【解析】
如答图，连结BC，∵∠OCD＝90°，CO＝CD，∴△OCD是等腰直角三角形，∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∴点B是OD的中点，且BC⊥OD，∴OB＝BC，∵B(1，0)，∴C(1，1)．
4．（2019?盘锦）如图，点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′，点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为（ ）
A．（4，3）
B．（3，4）
C．（5，3）
D．（4，4）
【答案】解：∵点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′，∴点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为：（4，3）．故选：A．
5．（2019春?济南期末）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ）
△AOM和△AON都是等边三角形
四边形MBON和四边形MODN都是菱形
四边形AMON与四边形ABCD是位似图形
MO∥BC且BM＝CO
【答案】解：∵∠BAD不一定等于为120°，∴△AOM和△AON不一定都是等边三角形，A错误；
∵BM不一定等于BO，∴四边形MBON和四边形MODN不一定都是菱形，B错误；
∵四边形ABCD为菱形，∴AO＝OC，又AM＝MB，∴OM∥BC，OM＝BC，
同理，ON∥CD，ON＝CD，
∴四边形AMON与四边形ABCD是以A为位似中心的位似图形，C正确；
MO∥BC，但BM不一定等于CO，D错误；故选：C．
6．（2019春?北碚区校级月考）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AO：AD的值为（ ）
A．2：3
B．2：5
C．4：9
D．4：13
【答案】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，
∴＝，AC∥DF，
∴＝＝，∴＝．故选：B．
7．（2020春?莱州市期末）如图，两个三角形是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是（ ）
A．（﹣3，2）
B．（﹣3，1）
C．（2，﹣3）
D．（﹣2，3）
【解析】如图点P为位似中心，∴，即，解得，PB＝3，
∴点P的坐标为（﹣3，2），故选：A．
8．（2020春?沙坪坝区校级月考）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，则AO：AD的值为（ ）
A．4：7
B．3：5
C．9：4
D．9：5
【解析】∵△ABC与△DEF位似，∴AB∥DE，△ABC∽△DEF，
∵△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，
∴△ABC的面积与△DEF的相似比是4：3，即，
∵AB∥DE，∴△OAB∽△ODE，∴，∴，故选：A．
9．（2020春?九龙坡区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣1），B（0，﹣2），P（1，1）以点P为位似中心，把△PAB扩大为原来的2倍，得到△PA'B'，则A'的坐标为（ ）
A．（6，2）
B．（6，5）
C．（9，3）
D．（9，5）
【解析】如图所示：过点A′作A′D⊥x轴于点D，过点A作AC⊥x轴于点E，
过点P作x轴的平行线，交A′D于点F，交AE延长线于点E，
由题意可得：△ACP∽△A′FP，
∵点A（﹣3，﹣1），P（1，1）∴CP＝3+1＝4，AC＝1+1＝2，
∵以点P为位似中心，把△PAB扩大为原来的2倍，
∴，∴PF＝8，A′F＝4，∴A′D＝5，
∴A'的坐标为（9，5）．故选：D．
二、填空题
1．已知在平面直角坐标系中，点A(－3，－1)，B(－2，－4)，C(－6，－5)，以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为1∶2，则点B的对应点的坐标为__(1，2)或(－1，－2)__．
2．如图，A(2，1)，B(1，－1)，以O为位似中心，按比例尺1∶2，把△AOB放大，则点A的对应点A′的坐标为__(4，2)或(－4，－2)__．
3．（2019春?海淀区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2）若△ABC的面积为m，则△A′B′C′的面积＝ 4m ．
【答案】解：∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，
且点B（3，1），B′（6，2），∴△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1：2，
∵△ABC的面积为m，∴△A′B′C′的面积为4m，故答案为：4m．
4．（2019?和平区二模）以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′相似比为，若点C的坐标为（4，1），点C的对应点为C′，则点C′的坐标为 （12，3）或（﹣12，﹣3）， ．
【答案】解：∵△ABC与△A'B'C'相似比为，若点C的坐标为（4，1），
∴点C′的坐标为（4×3，1×3）或（4×（﹣3），1×（﹣3）），
∴点C′的坐标为（12，3）或（﹣12，﹣3），
故答案为：（12，3）或（﹣12，﹣3）；
三、解答题
1．找出下列图形的位似中心．
【答案】解：（1）①连接对应点AE、BF，
②分别延长AE、BF，使AE、BF交于点O，∴点O就是位似中心；
（2）①连接对应点AM、BN，
②延长AM、BN，使AM、BN的延长线交于点O，∴点O就是位似中心；
（3）①连接AA′，BB′，AA′，BB′的交点就是位似中心O．
2．（2018秋?碑林区校级月考）如图，以O为位似中心，将△ABC在异侧放大为原来的2倍（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：如图所示，△A′B′C′即为所求．
3．（2019秋?雁塔区校级期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点都在格点上，其坐标分别为A（﹣4，﹣4），B（6，﹣6），C（0，﹣2），请以点O为位似中心，画出符合条件的△ABC的所有位似图形，使之与△ABC的相似比为1：2．
【解析】如图所示：△A′B′C′和△A″B″C″．
4．如图，正三角形ABC的边长为2．
（1）正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长．
【答案】解：（1）如图①，正方形E′F′P′N′即为所求．
（2）设正方形E′F′P′N′的边长为x，∵△ABC为正三角形，∴AE′＝BF′＝x．
∵E′F′+AE′+BF′＝AB，∴x+x+x＝2解得：x＝12﹣6．
故正方形E′F′P′N′的边长为12﹣6．
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位似图形
所有经过对应点的直线都相交于同一点，这个交点到两个对应点的距离之比都相等，那么这两个图形就叫做位似图形，经过各对应两点的直线的交点叫做位似中心，位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比．
位似图形的性质
(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
(2)当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为(x，y)，位似图形与原图形的位似比为k，则位似图形上的对应点的坐标为(kx，ky)或(－kx，－ky)．
注意：位似图形是特殊的相似图形，位似图形对应角相等，对应边成比例，相似比等于位似比．
例1：如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1∶2，若AB＝2
cm，则A′B′＝________cm，并在图中画出位似中心O.
一、选择题
1．下列判断中，正确的是( )
A．相似图形一定是位似图形
B．位似图形一定是相似图形
C．全等的图形一定是位似图形
D．位似图形一定是全等图形
2．下列图中的两个图形不是位似图形的是( )
A
B
C
D
如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD＝90°，CO＝CD.若B(1，0)，则点C的坐标为(
)
A．(1，2)
B．(1，1)
C．(，)
D．(2，1)
4．（2019?盘锦）如图，点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′，点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为（ ）
A．（4，3）
B．（3，4）
C．（5，3）
D．（4，4）
5．（2019春?济南期末）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ）
△AOM和△AON都是等边三角形
B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形
C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形
D．MO∥BC且BM＝CO
6．（2019春?北碚区校级月考）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AO：AD的值为（ ）
A．2：3
B．2：5
C．4：9
D．4：13
7．（2020春?莱州市期末）如图，两个三角形是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是（ ）
A．（﹣3，2）
B．（﹣3，1）
C．（2，﹣3）
D．（﹣2，3）
8．（2020春?沙坪坝区校级月考）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，则AO：AD的值为（ ）
A．4：7
B．3：5
C．9：4
D．9：5
9．（2020春?九龙坡区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣1），B（0，﹣2），P（1，1）以点P为位似中心，把△PAB扩大为原来的2倍，得到△PA'B'，则A'的坐标为（ ）
A．（6，2）
B．（6，5）
C．（9，3）
D．（9，5）
二、填空题
1．已知在平面直角坐标系中，点A(－3，－1)，B(－2，－4)，C(－6，－5)，以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为1∶2，则点B的对应点的坐标为__
__．
2．如图，A(2，1)，B(1，－1)，以O为位似中心，按比例尺1∶2，把△AOB放大，则点A的对应点A′的坐标为__
_．
3．（2019春?海淀区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2）若△ABC的面积为m，则△A′B′C′的面积＝ ．
4．（2019?和平区二模）以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′相似比为，若点C的坐标为（4，1），点C的对应点为C′，则点C′的坐标为
．
三、解答题
1．找出下列图形的位似中心．
2．（2018秋?碑林区校级月考）如图，以O为位似中心，将△ABC在异侧放大为原来的2倍（不写作法，保留作图痕迹）
3．（2019秋?雁塔区校级期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点都在格点上，其坐标分别为A（﹣4，﹣4），B（6，﹣6），C（0，﹣2），请以点O为位似中心，画出符合条件的△ABC的所有位似图形，使之与△ABC的相似比为1：2．
4．如图，正三角形ABC的边长为2．
（1）正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长．
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