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相关概念
形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形；
如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边长度比叫做相似比（相似系数）
比例线段、比例的性质
定义：在四条线段a,b,c,d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段a,b,cd叫做成比例线段，简称比例线段；
注：①比例线段是有顺序的；②
(2)黄金分割：如图，如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，使AP>BP，且＝，那么称线段AB被点P黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点.＝＝≈0.618叫做黄金比．
注：①黄金三角形：顶角是36°的等腰三角形；②黄金矩形：宽与长的比等于黄金比的矩形。
（3）合比性质：＝?＝(a，b，c，d都不为0)．
（4）等比性质：
等比性质的证明：设
∴
3.比例线段的有关定理
(1)平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例。
已知AD∥BE∥CF，可得，
特别在三角形中，由DE∥BC，可得
4.相似三角形的概念
(1)定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数），相似三角形对应角相等，对应边成比例。
注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上；
②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的。
③两个三角形形状一样，但大小不一定一样。
④全等三角形是相似比为1的相似三角形。
(2)三角形相似的判定方法
1)平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2)判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似。AA；
3)判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。SAS；
4)判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似。SSS；
5)判定定理4：直角三角形中，“HL”；
全等与相似的比较：
(3)射影定理：
如图，
5.相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例；
(2)相似三角形周长的比等于相似比；
(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；
(4)相似三角形面积比等于相似比的平方。
6.相似三角形经典模型汇总
例1：如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中正确的是( )
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
例2：如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AF交BC于点E，交DC的延长线于点F，且CF＝1，则CE的长为______
.
例3：已知△ABC∽△DEF，S△ABC∶S△DEF＝1∶4.若BC＝1，则EF的长为
( )
A．1
B．2
C．3
D．4
例4：如图，△AOB缩小后得到△COD，△AOB与△COD的相似比是3.若C(1,2)，则点A的坐标为( )
A．(2,4)
B．(2,6)
C．(3,6)
D．(3,4)
一、选择题
1．下列结论中，错误的是( )
A．若＝，则＝
B．若＝，则＝
C．若＝＝(b－d≠0)，则＝
D．若＝，则a＝3，b＝4
2．（2020?雨花区校级一模）如图，直线a∥b∥c，则下列结论不正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知＝＝且3a－2b＋c＝9，则2a＋4b－3c的值为( )
A．7
B．42
C．14
D.
4．[嵊州期末]如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE＝6，＝，则EC的长是( )
A．4.5
B．8
C．10.5
D．14
5．[上虞校级期中]如果两个相似多边形面积的比为1∶5，则它们的相似比为( )
A．1∶25
B．1∶5
C．1∶2.5
D．1∶
6．[德清期末]如图，在△ABC中，AD是中线，G是重心，过点G作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F.若AC＝18，则AF的长为( )
A．6
B．9
C．12
D．15
7．在平面直角坐标系中，点P(m，n)是线段AB上的一点，以原点O为位似中心，把△AOB放大到原来的2倍，则点P对应点的坐标为( )
A．(2m,2n)
B．(2m,2n)或(－2m，－2n)
C．
D．或
8．[慈溪期中]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于( )
A．54
B．72
C．75
D．78
[宁波鄞州区校级期中]如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝4，CD＝1，BC＝4.在腰BC上取一点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与以C，D，P为顶点的三角形相似，这样的点P有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10．[鄞州区期末]如图，点G是△ABC的重心，EF∥BC，交AD于点F，则AF∶FG∶GD等于( )
A．3∶1∶2
B．2∶1∶2
C．4∶2∶3
D．4∶1∶3
11．[杭州拱墅区期末]如图，已知点E在△ABC的BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB＝12，EF＝9，DF＝6，连结AD，AE，若△ABC的面积为S，则( )
A．S△CEF＝S
B．S△CDF＝S
C．S四边形ADCE＝S
D．S四边形ADEB＝S
12．（2020?沐川县模拟）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，如下结论：①BEGE；②△AGE≌△ECF；⑧∠FCD＝45°；④△GBE∽△ECH，其中，正确的结论有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题
1．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝__________时，以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．
2．如图，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则AP的长为
．
3．△ABO的顶点坐标分别为A(－3，3)，B(3，3)，O(0，0)，以原点为位似中心，试将△ABO缩小为△A′B′O，使△A′B′O与△ABO的位似比为1∶2，则A′点的坐标为__
__，B′点的坐标为__
__．
4．[上虞校级期中]如图，P是△ABC的重心，过点P
作PE∥AB交BC
于点E，PF∥AC
交BC
于点F，若△PEF的周长是6，则△ABC
的周长为___．
5．如图，在∠AOB的边OA上每隔相等的长度取点A1，A2，A3，…过这些点作互相平行的直线交OB于B1，B2，B3，…得到如图所示的阴影梯形，它们的面积依次记为S1，S2，S3，…若△OA1B1的面积为1，则S2
018＝____．
6．[温州校级期中]如图，点C在反比例函数y＝(k>0，x>0)的图象上，CB⊥x轴于点B，延长BC至A，使得AC＝3BC，连结AO交反比例函数的图象于点D，连结BD，OC交于点E，请你用含k的代数式表示图中阴影部分的面积____．
三、解答题
1．如图所示，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，AB＝4，CD＝6，BC＝14，P为BC上一点，试问BP为何值时，△ABP与△PCD相似？
2．如图，正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连结EB，ED，延长BE交AD于点F.
(1)求证：∠BEC＝∠DEC；
(2)当CE＝CD时，求证：DF2＝FE·FB.
3．[杭州上城区期末]四边形ABCD中，点E在边AB上，连结DE，CE.
(1)若∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，找出图中的相似三角形，并说明理由；
(2)若四边形ABCD为矩形，AB＝5，BC＝2，且图中的三个三角形都相似，求AE的长；
(3)若∠A＝∠B＝90°，AD4．[温州校级期中]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O分别交边AB，BC，AC于点G，F，E，GE交CD于M，MD∶CO＝1∶2，ME＝2.
(1)求证：△MEO∽△MCE；
(2)求⊙O的直径CD的长．
5．[杭州萧山区期末]如图，AB是⊙O的直径，且AB＝10，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连结AC，BC，DG.
(1)求证：∠ACG＝∠F；
(2)若＝，＝，求DG的长．
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精品试卷·第
2
页
（共
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相关概念
形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形；
如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边长度比叫做相似比（相似系数）
比例线段、比例的性质
定义：在四条线段a,b,c,d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段a,b,cd叫做成比例线段，简称比例线段；
注：①比例线段是有顺序的；②
(2)黄金分割：如图，如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，使AP>BP，且＝，那么称线段AB被点P黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点.＝＝≈0.618叫做黄金比．
注：①黄金三角形：顶角是36°的等腰三角形；②黄金矩形：宽与长的比等于黄金比的矩形。
（3）合比性质：＝?＝(a，b，c，d都不为0)．
（4）等比性质：
等比性质的证明：设
∴
3.比例线段的有关定理
(1)平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例。
已知AD∥BE∥CF，可得，
特别在三角形中，由DE∥BC，可得
4.相似三角形的概念
(1)定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数），相似三角形对应角相等，对应边成比例。
注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上；
②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的。
③两个三角形形状一样，但大小不一定一样。
④全等三角形是相似比为1的相似三角形。
(2)三角形相似的判定方法
1)平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2)判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似。AA；
3)判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。SAS；
4)判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似。SSS；
5)判定定理4：直角三角形中，“HL”；
全等与相似的比较：
(3)射影定理：
如图，
5.相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例；
(2)相似三角形周长的比等于相似比；
(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；
(4)相似三角形面积比等于相似比的平方。
6.相似三角形经典模型汇总
例1：平行线分线段成比例
如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中正确的是( C )
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
例2：相似三角形的判定
如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AF交BC于点E，交DC的延长线于点F，且CF＝1，则CE的长为______
.
例3：相似三角形的性质
已知△ABC∽△DEF，S△ABC∶S△DEF＝1∶4.若BC＝1，则EF的长为
( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
例4：图形的位似
如图，△AOB缩小后得到△COD，△AOB与△COD的相似比是3.若C(1,2)，则点A的坐标为( C )
A．(2,4)
B．(2,6)
C．(3,6)
D．(3,4)
一、选择题
1．下列结论中，错误的是( D )
A．若＝，则＝
B．若＝，则＝
C．若＝＝(b－d≠0)，则＝
D．若＝，则a＝3，b＝4
2．（2020?雨花区校级一模）如图，直线a∥b∥c，则下列结论不正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】A、∵a∥b∥c，∴，本选项结论正确，不符合题意；
B、∵a∥b∥c，∴，本选项结论正确，不符合题意；
C、∵a∥b∥c，∴，本选项结论正确，不符合题意；
D、连接AF，交BE于H，∵b∥c，∴△ABH∽△ACF，∴，本选项结论不正确，符合题意；故选：D．
3．已知＝＝且3a－2b＋c＝9，则2a＋4b－3c的值为( C )
A．7
B．42
C．14
D.
【解析】
设＝＝＝k，则a＝5k，b＝7k，c＝8k.
∵3a－2b＋c＝9，∴3×5k－2×7k＋8k＝9，解得k＝1.
∴a＝5，b＝7，c＝8，∴2a＋4b－3c＝14.
4．[嵊州期末]如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE＝6，＝，则EC的长是( B )
A．4.5
B．8
C．10.5
D．14
【解析】
∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得EC＝8，故选B.
5．[上虞校级期中]如果两个相似多边形面积的比为1∶5，则它们的相似比为( D )
A．1∶25
B．1∶5
C．1∶2.5
D．1∶
6．[德清期末]如图，在△ABC中，AD是中线，G是重心，过点G作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F.若AC＝18，则AF的长为( C )
A．6
B．9
C．12
D．15
【解析】
∵G是△ABC的重心，∴AG＝2DG，AD＝3DG，∵EF∥BC，∴＝＝＝，
∵AC＝18，∴AF＝12.故选C.
7．在平面直角坐标系中，点P(m，n)是线段AB上的一点，以原点O为位似中心，把△AOB放大到原来的2倍，则点P对应点的坐标为( B )
A．(2m,2n)
B．(2m,2n)或(－2m，－2n)
C．
D．或
8．[慈溪期中]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于( D )
A．54
B．72
C．75
D．78
【解析】
如答图，过点A作AF⊥BC，垂足为F，∵∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，
∴BC＝＝25，∴AF＝＝12，
∵∠DEC＝90°＝∠BAC，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA，∴＝，即＝，∴CE＝12，
∴BE＝BC－CE＝13，∴S△ABE＝BE·AF＝78.
[宁波鄞州区校级期中]如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝4，CD＝1，BC＝4.在腰BC上取一点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与以C，D，P为顶点的三角形相似，这样的点P有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】
设BP＝x，CP＝4－x，①当△ABP∽△DCP时，＝，即＝，解得x＝3.2；
②当△ABP∽△PCD时，＝，即＝，解得x＝2.即这样的点P有2个．
10．[鄞州区期末]如图，点G是△ABC的重心，EF∥BC，交AD于点F，则AF∶FG∶GD等于( A )
A．3∶1∶2
B．2∶1∶2
C．4∶2∶3
D．4∶1∶3
【解析】
∵点G是△ABC的重心，∴AG∶GD＝2∶1，EG∶BG＝1∶2，
∵EF∥BC，∴△EFG∽△BDG，∴FG∶GD＝EG∶BG＝1∶2，
设FG＝a，则GD＝2a，AG＝4a，∴AF＝3a，∴AF∶FG∶GD＝3∶1∶2.
11．[杭州拱墅区期末]如图，已知点E在△ABC的BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB＝12，EF＝9，DF＝6，连结AD，AE，若△ABC的面积为S，则( C )
A．S△CEF＝S
B．S△CDF＝S
C．S四边形ADCE＝S
D．S四边形ADEB＝S
【解析】
A．∵DE//AB，∴△CEF∽△CBA，∴＝＝＝，∴S△CEF＝S，故A错误；
B．∵＝＝＝，∴S△CDF＝S△CEF＝×S＝S，故B错误；
C．∵＝＝＝－1＝－1＝，∴S四边形ADCE＝S△ADE＋S△CDE＝S△CDE＋S△CDE＝×＝S，故C正确；D．S四边形ADEB＝S四边形ABEF＋S△ADF＝S＋S＝S，故D错误．
12．（2020?沐川县模拟）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，如下结论：①BEGE；②△AGE≌△ECF；⑧∠FCD＝45°；④△GBE∽△ECH，其中，正确的结论有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DCB＝90°，AB＝BC，∵AG＝CE，∴BG＝BE，
由勾股定理得：BEGE，∴①正确；
∵BG＝BE，∠B＝90°，∴∠BGE＝∠BEG＝45°，∴∠AGE＝135°，∴∠GAE+∠AEG＝45°，
∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∵∠BEG＝45°，∴∠AEG+∠FEC＝45°，∴∠GAE＝∠FEC，
在△GAE和△CEF中
∴△AGE≌△ECF，∴②正确；
∴∠AGE＝∠ECF＝135°，∴∠FCD＝135°﹣90°＝45°，∴③正确；∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG+∠FEC＝45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有3个．故选：C．
二、填空题
1．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝__________时，以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．
2．如图，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则AP的长为
．
【解析】∵∠B＝90°，AD∥BC，∴∠A＝180°－∠B＝90°∴∠PAD＝∠PBC＝90°.
设AP的长为x，则BP长为8－x.
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP∶BP＝AD∶BC，即x∶(8－x)＝3∶4，解得x＝；
②若△APD∽△BCP，则AP∶BC＝AD∶BP，即x∶4＝3∶(8－x)，解得x＝2或x＝6.
所以若△PAD与△PBC是相似三角形，则AP的长为或2或6.
3．△ABO的顶点坐标分别为A(－3，3)，B(3，3)，O(0，0)，以原点为位似中心，试将△ABO缩小为△A′B′O，使△A′B′O与△ABO的位似比为1∶2，则A′点的坐标为__(－，)或(，－)__，B′点的坐标为__(，)或(－，－)__．
4．[上虞校级期中]如图，P是△ABC的重心，过点P
作PE∥AB交BC
于点E，PF∥AC
交BC
于点F，若△PEF的周长是6，则△ABC
的周长为__18__．
【解析】
如答图，延长AP交BC于Q，∵P是△ABC的重心，∴＝，
∵PE∥AB，∴△QPE∽△QAB，∴＝＝＝，∴AB＝3PE，QB＝3EQ，
同理可得，AC＝3PF，QC＝3QF.∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝3PE＋3PF＋3EF＝3(PE＋PF＋EF)＝3×6＝18.
5．如图，在∠AOB的边OA上每隔相等的长度取点A1，A2，A3，…过这些点作互相平行的直线交OB于B1，B2，B3，…得到如图所示的阴影梯形，它们的面积依次记为S1，S2，S3，…若△OA1B1的面积为1，则S2
018＝__8__071__．
【解析】
∵A1B1∥A2B2，∴△OA1B1∽△OA2B2，
又∵＝＝，∴S1＝22－12＝3，同理，S2＝42－32＝7，S3＝62－52＝11…，
Sn＝(2n)2－(2n－1)2＝4n－1，∴S2
018＝4×2
018－1＝8
071.
6．[温州校级期中]如图，点C在反比例函数y＝(k>0，x>0)的图象上，CB⊥x轴于点B，延长BC至A，使得AC＝3BC，连结AO交反比例函数的图象于点D，连结BD，OC交于点E，请你用含k的代数式表示图中阴影部分的面积__k__．
【解析】
如答图所示，过D作DF⊥OB于F，交OC于G，
∵点C，D在反比例函数y＝(x>0)的图象上，CB⊥x轴于点B，∴S△OBC＝S△OFD＝k，
∵AC＝3BC，∴S△AOB＝4S△OBC＝2k，∵AB∥DF，∴＝＝
＝，
∵DG∥BC，∴△DGE∽△BCE，∴＝＝＝＝＝，
∴S△OBD＝S△AOB＝k，∴S△ODE＝S△OBD＝k，∴S四边形ADEC＝S△OAC－S△ODE＝k－k＝k，
∵S△OBE＝S△OBD－S△ODE＝k－k＝k，∴S阴影＝S四边形ADEC＋S△OBE＝k＋k＝k.
三、解答题
1．如图所示，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，AB＝4，CD＝6，BC＝14，P为BC上一点，试问BP为何值时，△ABP与△PCD相似？
【解析】∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABP与△PCD相似只有两种情况，即A与D对应或A与P点对应．
①当△ABP∽△PCD时，＝，即＝，解得BP＝2或BP＝12；
②当△ABP∽△DCP时，＝，＝，解得BP＝5.6.
综上可得，当BP的值为2,5.6或12时，△ABP与△PCD相似．
2．如图，正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连结EB，ED，延长BE交AD于点F.
(1)求证：∠BEC＝∠DEC；
(2)当CE＝CD时，求证：DF2＝FE·FB.
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCE＝∠DCE，
在△BEC和△DEC中，∴△BEC≌△DEC(SAS)，∴∠BEC＝∠DEC；
(2)如答图，连结BD，∵CE＝CD，∴∠DEC＝∠EDC.
∵∠BEC＝∠DEC，∠BEC＝∠AEF，∴∠EDC＝∠AEF.
∵∠AEF＋∠FED＝∠EDC＋∠ECD，∴∠FED＝∠ECD.
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ECD＝∠BCD＝45°，∠ADB＝∠ADC＝45°，
∴∠ECD＝∠ADB.∴∠FED＝∠ADB.
又∵∠BFD是公共角，∴△FDE∽△FBD，∴＝，∴DF2＝FE·FB.
3．[杭州上城区期末]四边形ABCD中，点E在边AB上，连结DE，CE.
(1)若∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，找出图中的相似三角形，并说明理由；
(2)若四边形ABCD为矩形，AB＝5，BC＝2，且图中的三个三角形都相似，求AE的长；
(3)若∠A＝∠B＝90°，AD答图①
答图②
答图③
答图④
【解析】(1)如答图①，∵∠A＝∠DEC＝50°，∴∠1＋∠2＝130°，∠2＋∠3＝130°，得∠1＝∠3，
又∵∠A＝∠B，∴△DAE∽△EBC；
(2)如答图②，设AE＝x，则BE＝5－x，
∵∠CDE<90°，∠ECD<90°，∴∠DEC＝90°，∴△DAE∽△EBC，＝，即＝，解得x＝1或4，
即AE的长为1或4；
(3)AE＝BE或BE＝2AE，理由如下，
①如答图③，当∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，∠DCE≠∠CEB，可得∠DCE＝∠BCE，
∴△DEC∽△DAE∽△EBC.∴＝，＝，∴＝，即BE＝AE；
②如答图④，∵当∠DEC≠90°时，△ADE∽△BCE，∠1＝∠3，＝＝<1，
∴DE∠ECD，∴∠CDE＝90°，
又∵∠DCE≠∠3，∴∠1＝∠2＝∠3＝60°，∴＝＝＝，BE＝2AE.
4．[温州校级期中]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O分别交边AB，BC，AC于点G，F，E，GE交CD于M，MD∶CO＝1∶2，ME＝2.
(1)求证：△MEO∽△MCE；
(2)求⊙O的直径CD的长．
【解析】(1)证明：如答图，连结DF，
∵CD是圆直径，∴∠CFD＝90°，即DF⊥BC，
∵∠ACB＝90°，∴DF∥AC，∴∠BDF＝∠A，
∵在⊙O中，∠BDF＝∠GEF，∴∠GEF＝∠A，
∵D是AB的中点，∴CD＝AD，∴∠DCE＝∠A＝∠MEO，即∠MCE＝∠MEO，
∵∠CME＝∠EMO，∴△MEO∽△MCE；
(2)由(1)知＝，∴ME2＝OM·MC，
又∵ME＝2，∴OM·MC＝12，∵MD∶CO＝1∶2，∴OM∶MD＝1∶1，∴OM∶MC＝1∶3，
设OM＝x，MC＝3x，∴x×3x＝12，∴x＝2，CD＝4x＝8.
5．[杭州萧山区期末]如图，AB是⊙O的直径，且AB＝10，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连结AC，BC，DG.
(1)求证：∠ACG＝∠F；
(2)若＝，＝，求DG的长．
【解析】(1)证明：如答图，连结AD.AB是直径，AB⊥CD，∴AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠FGC＝∠ADC＝∠ACD，
∵∠DCG＝∠GCA＋∠ACD＝∠FGC＋∠F，∴∠ACG＝∠F；
(2)如答图，连结OG，作GH⊥DF于H.
∵AB＝10，＝，∴BC＝2，AC＝4，
∵AB⊥CD，∴DE＝CE＝＝4，∴BE＝＝2，OE＝3，
∵＝，∴OG⊥AB，∴∠GOE＝∠OEH＝∠GHE＝90°，
∴四边形OEHG是矩形，
GH＝OE＝3，OG＝EH＝5，∴DH＝9，
在Rt△DGH中，DG＝＝＝3.
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精品试卷·第
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