1.
圆的中心对称性
圆不仅是轴对称图形，也是中心对称图形，对称中心就是圆心．
圆心角的概念
顶点在圆心的角叫做圆心角．
3. 圆心角定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
4. n°的弧
我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧．这样，n°的圆心角所对的弧就是n°的弧．
注意：圆心角的度数等于它所对的弧的度数，与圆的半径无关，也就是说在大小不同的两个圆中，相同度数的圆心角所对的弧的度数也相等；反过来，弧的度数相等，它所对的圆心角的度数也相等.
例1：如图，圆心角∠AOB＝∠A′OB′＝60°，则( )
A．＝
B．AB＝A′B′
C．的度数为60°
D．的度数大于60°
答案：C
分析：在圆中，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等．∵∠AOB＝∠A′OB′＝60°，∴的度数为60°.
一、选择题
1．下列关于“圆”的说法不正确的是( C )
A．圆是中心对称图形，圆心就是对称中心
B．垂直于弦的直径一定平分这条弦
C．相等的弧所对的弦一定相等，反过来，相等的弦所对的弧也一定相等
D．圆是轴对称图形，任意一条通过圆心的直线都是它的一条对称轴
2.
下列说法中，正确的是
( C )
A．圆心角越大，圆心角所对的弦越长
B．圆心角越大，圆心角所对的弧越长
C．n°的圆心角所对的弧的度数就是n°
D．n°的圆心角所对的弦长就是n
3.
图1中的角，是圆心角的个数是( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．在半径为1的圆中，90°的圆心角所对的弦长为
( D )
A．1
B．2
C．
D．
5．[2018秋·泰兴校级月考]如图，∠AOB＝∠COD，下列结论不一定成立的是( D )
A．AB＝CD
B.＝
C．△AOB≌△COD
D．△AOB，△COD都是等边三角形
【解析】
∵∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD，＝，
∵OA＝OB＝OC＝OD，∴△AOB≌△COD，△AOB，COD不一定是等边三角形，故选D.
6．[2018·相山区四模]如果两个圆心角相等，那么( D )
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
7.
已知弦AB把圆周分成1∶5的两部分，则弦AB所对应的圆心角的度数为(
C
)
A.
30°
B.
30°或150°
C.
60°
D.
60°或300°
8．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是(
C)
( )
A．120°
B．135°
C．150°
D．165°
9．如图，在半径为R的⊙O中，和的度数分别为36°和108°，弦CD与弦AB长度的差为(用含有R的代数式表示)(
A
)
A.
R
B.
R
C.
2R
D.
3R
【解】 如解图，连结OA，OB，则△OAB为等腰三角形，顶角为36°，底角为72°.
连结OC，OD，则△OCD为等腰三角形，顶角为108°，底角为36°.
在CD上取一点E，使得CE＝OC，连结OE，则△OCE为等腰三角形，顶角为36°，底角为72°.
在△COE与△OAB中，∵∴△COE≌△OAB(SAS),
∴OE＝AB.
∵∠EOD＝∠OEC－∠ODC＝72°－36°＝36°，
∴∠EOD＝∠ODE,
∴DE＝OE,
∴CD－AB＝CD－OE＝CD－DE＝CE＝R.
故选A.
二、填空题
1．如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点，若∠AOD＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°，则的度数为__40____°.
2．[2018秋·东台月考]如图，在⊙O中，AB＝DC，∠AOB＝50°，则∠COD＝__50°__．
【解析】
∵AB＝CD，∴∠COD＝∠AOB，∵∠AOB＝50°，∴∠COD＝50°.
3．如图，⊙O的半径OA⊥OC，点D在上，且＝2，OA＝4，连结OD，AD.(1)∠COD＝__30°__．(2)弦AD的长为
4
。．
【解】 (1)∵OA⊥OC，∴∠AOC＝90°.∵＝2，∴∠AOD＝2∠COD，∴∠COD＝∠AOC＝30°.
(2)由(1)知，∠AOD＝2∠COD＝2×30°＝60°，又∵OA＝OD，∴△AOD为等边三角形，∴AD＝OA＝4.
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则弧BD的度数为__50°__．
【解析】
如答图，连结CD，∵∠A＝25°，∴∠B＝65°，∵CB＝CD，∴∠B＝∠CDB＝65°，
∴∠BCD＝50°，即弧BD的度数为50°.
三、解答题
1．[2018秋·宜兴校级月考]如图，在⊙O中，AC＝BD，∠AOB＝30°，求∠COD的度数．
解：∵在⊙O中，AC＝BD，∴∠AOC＝∠BOD，∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，
∴∠COD＝∠AOB＝30°.
2．[2018·开远二模]如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC.求证：∠1＝∠2.
证明：如答图，连结OB，OC，∵AB＝AC，OC＝OB，OA＝OA，∴△AOB≌△AOC(SSS)，∴∠1＝∠2.
3．如图，P为⊙O的直径EF的延长线上一点，PA交⊙O于点B，A，PC交⊙O于点D，C，连结OA，OB，OC，OD.若∠1＝∠2，求证：∠AOB＝∠COD.
【解】 如解图，过点O作OM⊥PA于点M，ON⊥PC于点N，则∠OMP＝∠ONP＝90°.
又∵∠1＝∠2，OP＝OP，∴△OMP≌△ONP(AAS)，∴OM＝ON.又∵OB＝OD，∴Rt△OBM≌Rt△ODN(HL)，
∴∠BOM＝∠DON.∵OA＝OB，OC＝OD，∴∠AOB＝2∠BOM＝2∠DON＝∠COD.
4．如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点，连结AB.
(1)求证：AB平分∠OAC.
(2)延长OA至点P，使得OA＝AP，连结PC.若⊙O的半径R＝1，求PC的长．
【解】 (1)连结OC.∵∠AOB＝120°，C是的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝60°.
又∵OA＝OC，∴△ACO是等边三角形，∴OA＝AC.同理，OB＝BC，∴OA＝AC＝BC＝OB，
∴四边形AOBC是菱形，∴AB平分∠OAC.
(2)由(1)知OA＝AC，又∵OA＝AP，∴AP＝AC＝OA，
∴△OPC是直角三角形，∠PCO＝90°.∵OA＝1，∴AP＝1，∴OP＝2.又∵OC＝1，∴PC＝＝.
如图，已知AB为⊙O直径，∠DOC＝90°，∠DOC绕点O旋转，D，C两点不与A，B重合．
(1)求证：＋＝；
(2)AD＋BC＝CD成立吗？为什么？
解：(1)证明：∵AB为⊙O直径，∠DOC＝90°，∴∠AOD＋∠BOC＝∠DOC＝90°，∴＋＝.
(2)解：AD＋BC＝CD不成立．理由如下：如图，在上截取＝，则＝，故DE＝AD，BC＝EC．
在△DEC中，∵DE＋EC＞DC，∴AD＋BC＞CD．故AD＋BC＝CD不成立．
6．如图，∠AOB＝90°，C，D是的三等分点，连结AB分别交OC，OD于点E，F.求证：AE＝BF＝CD．
证明：连结AC，BD．∵∠AOB＝90°，C，D是的三等分点，∴AC＝CD＝BD，∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°.
又∵AO＝CO，∴∠OAC＝∠OCA＝＝75°.同理可得，∠ODB＝∠OBD＝＝75°.
又∵AO＝BO，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∴∠OEF＝∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝30°＋45°＝75°.
同理可得，∠BFD＝75°，∴∠OCA＝∠AEC，∠ODB＝∠BFD，∴AC＝AE，BD＝BF.又∵AC＝CD＝BD，
∴AE＝BF＝CD．
7.
如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN＝1，求△PMN的周长的最小值．
解：作点N关于AB的对称点N′，连结OM，ON，ON′，MN′，则MN′与AB的交点即为PM＋PN的最小时的点，
PM＋PN的最小值＝MN′.∵∠MAB＝20°，AO＝MO，∴∠OMA＝∠MAB＝20°，∴∠MOB＝∠MAB＋∠OMA＝40°.
∵N是弧MB的中点，∴∠BON＝∠MOB＝×40°＝20°.由对称性可知，∠N′OB＝∠BON＝20°，
∴∠MON′＝∠MOB＋∠N′OB＝40°＋20°＝60°，∴△MON′是等边三角形，∴MN′＝OM＝OB＝AB＝×8＝4，
∴△PMN的周长的最小值为1＋4＝5.1.
圆的中心对称性
圆不仅是轴对称图形，也是中心对称图形，对称中心就是圆心．
圆心角的概念
顶点在圆心的角叫做圆心角．
3. 圆心角定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
4. n°的弧
我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧．这样，n°的圆心角所对的弧就是n°的弧．
注意：圆心角的度数等于它所对的弧的度数，与圆的半径无关，也就是说在大小不同的两个圆中，相同度数的圆心角所对的弧的度数也相等；反过来，弧的度数相等，它所对的圆心角的度数也相等.
例1：如图，圆心角∠AOB＝∠A′OB′＝60°，则( )
A．＝
B．AB＝A′B′
C．的度数为60°
D．的度数大于60°
一、选择题
1．下列关于“圆”的说法不正确的是( )
A．圆是中心对称图形，圆心就是对称中心
B．垂直于弦的直径一定平分这条弦
C．相等的弧所对的弦一定相等，反过来，相等的弦所对的弧也一定相等
D．圆是轴对称图形，任意一条通过圆心的直线都是它的一条对称轴
2.
下列说法中，正确的是
( )
A．圆心角越大，圆心角所对的弦越长
B．圆心角越大，圆心角所对的弧越长
C．n°的圆心角所对的弧的度数就是n°
D．n°的圆心角所对的弦长就是n
3.
图1中的角，是圆心角的个数是( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．在半径为1的圆中，90°的圆心角所对的弦长为
( )
A．1
B．2
C．
D．
5．[2018秋·泰兴校级月考]如图，∠AOB＝∠COD，下列结论不一定成立的是( )
A．AB＝CD
B.＝
C．△AOB≌△COD
D．△AOB，△COD都是等边三角形
6．[2018·相山区四模]如果两个圆心角相等，那么( )
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
7.
已知弦AB把圆周分成1∶5的两部分，则弦AB所对应的圆心角的度数为(
)
A.
30°
B.
30°或150°
C.
60°
D.
60°或300°
8．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是(
)
( )
A．120°
B．135°
C．150°
D．165°
9．如图，在半径为R的⊙O中，和的度数分别为36°和108°，弦CD与弦AB长度的差为(用含有R的代数式表示)(
)
A.
R
B.
R
C.
2R
D.
3R
二、填空题
1．如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点，若∠AOD＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°，则的度数为______°.
2．[2018秋·东台月考]如图，在⊙O中，AB＝DC，∠AOB＝50°，则∠COD＝____．
3．如图，⊙O的半径OA⊥OC，点D在上，且＝2，OA＝4，连结OD，AD.(1)∠COD＝____．(2)弦AD的长为
。．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则弧BD的度数为____．
三、解答题
1．[2018秋·宜兴校级月考]如图，在⊙O中，AC＝BD，∠AOB＝30°，求∠COD的度数．
2．[2018·开远二模]如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC.求证：∠1＝∠2.
3．如图，P为⊙O的直径EF的延长线上一点，PA交⊙O于点B，A，PC交⊙O于点D，C，连结OA，OB，OC，OD.若∠1＝∠2，求证：∠AOB＝∠COD.
4．如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点，连结AB.
(1)求证：AB平分∠OAC.
(2)延长OA至点P，使得OA＝AP，连结PC.若⊙O的半径R＝1，求PC的长．
如图，已知AB为⊙O直径，∠DOC＝90°，∠DOC绕点O旋转，D，C两点不与A，B重合．
(1)求证：＋＝；
(2)AD＋BC＝CD成立吗？为什么？
6．如图，∠AOB＝90°，C，D是的三等分点，连结AB分别交OC，OD于点E，F.求证：AE＝BF＝CD．
7.
如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN＝1，求△PMN的周长的最小值．
