圆周角的概念
顶点在圆上，它的两边都和圆相交的角叫做圆周角．
2. 圆周角定理及其推论1
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
推论1：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
注意：(1)圆周角的顶点必在圆上，且两边是完整的弦；
(2)弦(不是直径)所对的圆周角的顶点可能在优弧上，也可能在劣弧上，要分类讨论．
例1：如图，△ADC的外接圆⊙O的直径AB交CD于点E，已知∠C＝65°，∠ADE＝47°，求∠CEB的度数．
一、选择题
1．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是( )
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°
2．如图，已知AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠CAB的度数为
( )
A．20°
B．40°
C．50°
D．70°
如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝50°，则∠OAB的度数为( )
A．25°
B．50°
C．60°
D．30°
4．已知⊙O的一条弦长恰好等于半径，则这条弦所对的圆周角的度数为( )
A．60°
B．30°
C．60°或120°
D．30°或150°
5．【山东聊城中考】如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连结BD，CE并延长交于点A，连结OD，OE.如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为
( )
A．35°
B．38°
C．40°
D．42°
6．已知OA，OB是⊙O的半径，点C，D在⊙O上，且OA∥BC，若∠ADC＝26°，则∠B的度数为(
)
( )
A．30°
B．42°
C．46°
D．52°
7．如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，将沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD.如果∠BAC＝20°，那么∠CDB的度数为(
)
A.
80°
B.
70°
C.
60°
D.
50°
8．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，P为矩形内一动点，且满足∠PBC＝∠PCD，则线段PD的最小值为（
）
A．5
B．1
C．2
D．3
9.（2019?邵阳县模拟）已知⊙O的直径AB＝8cm，点C在⊙O上，且∠BOC＝60°，则AC的长为（ ）
A．4cm
B．4cm
C．5cm
D．2.5cm
10．（2019秋?南岗区校级月考）已知如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，
∠BAC＝45°，给出以下结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧是劣弧的2倍．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
二、填空题
1.
如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40°，∠C＝20°，则∠B＝____．
如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝4，∠OBC＝30°，C是弦AB上任意一点(不与点A，B重合)，连结CO并延长CO交⊙O于点D，连结AD，DB.当∠ADC＝18°时，则∠DOB的度数为
．
如图，△ABC是⊙O的内接锐角三角形，连结AO.设∠OAB＝α，∠C＝β，则α＋β＝____．
如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为C，连结AO并延长，交⊙O于点E，连结BE，CE.若AB＝8，CD＝2，则△BCE的面积为____．
如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为____．
（2019?海淀区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，＝．若∠CAB＝42°，则∠CAD＝
如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为______.
【核心素养题】如图，AB为⊙O的直径，P为其半圆上任意一点(不与点A，B重合)，点Q为另一半圆上一定点，若∠POA为x°，∠PQB为y°，则y与x之间函数关系式为
（2018秋?克东县期末）在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆周角的大小为 ．
10.（2019?岑溪市一模）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是上的中点，AC＝8，OA＝5，连接AD、BD，则△ABD的面积是 ．
三、解答题
已知：如图，在△ABC中，BC＝AC＝6，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E.
(1)求证：点D是AB的中点；
(2)求点O到直线DE的距离．
如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.
(1)若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
(2)若AB＝26，DE＝8，求AC的长．
已知AB为⊙O的直径，AC和AD为弦，AB＝2，AC＝，AD＝1，求∠CAD的度数．
如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD.
(1)若P是上一点(不与点C，D重合)，求证：∠CPD＝∠COB.
(2)当点P′在劣弧CD上(不与点C，D重合)时，∠CP′D与∠COD有什么数量关系？请证明你的结论．
如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H.
(1)求证：BD＝CD；
(2)连结OD，DE，若四边形AODE为菱形，BC＝8，求DH的长．圆周角的概念
顶点在圆上，它的两边都和圆相交的角叫做圆周角．
2. 圆周角定理及其推论1
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
推论1：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
注意：(1)圆周角的顶点必在圆上，且两边是完整的弦；
(2)弦(不是直径)所对的圆周角的顶点可能在优弧上，也可能在劣弧上，要分类讨论．
例1：如图，△ADC的外接圆⊙O的直径AB交CD于点E，已知∠C＝65°，∠ADE＝47°，求∠CEB的度数．
分析：由圆周角定理求出∠AOD、∠BAD，再根据三角形内角和定理求出∠AED，即可得解．
解答：∵∠C＝65°，∴∠AOD＝2∠C＝130°，∴∠BOD＝180°－∠AOD＝50°，∴∠BAD＝∠BOD＝25°.
又∵∠ADE＝47°，∴∠AED＝180°－∠BAD－∠ADE＝108°，∴∠CEB＝∠AED＝108°.
一、选择题
1．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是( D )
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°
2．如图，已知AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠CAB的度数为
( C )
A．20°
B．40°
C．50°
D．70°
如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝50°，则∠OAB的度数为( A )
A．25°
B．50°
C．60°
D．30°
【解析】
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，又∵OB∥AC，∴∠OBA＝∠CAB＝∠COB＝25°，∴∠OAB＝25°.
4．已知⊙O的一条弦长恰好等于半径，则这条弦所对的圆周角的度数为( D )
A．60°
B．30°
C．60°或120°
D．30°或150°
5．【山东聊城中考】如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连结BD，CE并延长交于点A，连结OD，OE.如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为
( C )
A．35°
B．38°
C．40°
D．42°
6．已知OA，OB是⊙O的半径，点C，D在⊙O上，且OA∥BC，若∠ADC＝26°，则∠B的度数为(
D
)
( )
A．30°
B．42°
C．46°
D．52°
7．如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，将沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD.如果∠BAC＝20°，那么∠CDB的度数为(
B
)
A.
80°
B.
70°
C.
60°
D.
50°
【解】 连结BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠BAC＝20°，∴∠B＝70°.
根据翻折的性质得，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC＋∠B＝180°.
又∵∠ADC＋∠CDB＝180°，∴∠CDB＝∠B＝70°.
8．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，P为矩形内一动点，且满足∠PBC＝∠PCD，则线段PD的最小值为（
B）
( )
A．5
B．1
C．2
D．3
9.（2019?邵阳县模拟）已知⊙O的直径AB＝8cm，点C在⊙O上，且∠BOC＝60°，则AC的长为（ ）
A．4cm
B．4cm
C．5cm
D．2.5cm
【答案】解：∵OB＝OC，∠BOC＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
∴AC＝ABsin60°＝8×＝4．故选：B．
10．（2019秋?南岗区校级月考）已知如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，
∠BAC＝45°，给出以下结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧是劣弧的2倍．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
【答案】解：①∵∠A＝45°，AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE＝45°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，
∴∠EBC＝67.5°﹣45°＝22.5°，此选项正确；
②连接AD，∵AB＝AC，AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝CD，此选项正确；
③∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，由①知∠EBC＝22.5°，∠C＝67.5°，∴BE＝tan67.5°?CE，∴BE≠2CE，
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠BAE＝45°，∴∠ABE＝45°，∴AE＝BE，∴AE≠2CE，此选项错误；
④∵∠ABE＝45°，∠BAD＝22.5°，∴劣弧AE＝2劣弧BD，∵劣弧BD＝劣弧DE，∴劣弧AE＝2劣弧DE，此选项正确．正确的有①②④，故选：B．
二、填空题
1.
如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40°，∠C＝20°，则∠B＝__60°__．
如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝4，∠OBC＝30°，C是弦AB上任意一点(不与点A，B重合)，连结CO并延长CO交⊙O于点D，连结AD，DB.当∠ADC＝18°时，则∠DOB的度数为
．
【解】 连结OA.∵OA＝OB＝OD，∴∠OAB＝∠OBC＝30°，∠OAD＝∠ADC＝18°，
∴∠DAB＝∠DAO＋∠BAO＝48°，由圆周角定理，得∠DOB＝2∠DAB＝96°.
如图，△ABC是⊙O的内接锐角三角形，连结AO.设∠OAB＝α，∠C＝β，则α＋β＝__90°__．
【解】连结OB.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.又∵∠OAB＝α，∠C＝β，∠AOB＝2∠C，
∴2α＋2β＝180°，∴α＋β＝90°.
如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为C，连结AO并延长，交⊙O于点E，连结BE，CE.若AB＝8，CD＝2，则△BCE的面积为__12__．
【解】 ∵⊙O的半径OD垂直于弦AB，∴AC＝BC＝AB＝4.
设⊙O的半径为r，则OA＝r，OC＝r－2.在Rt△AOC中，∵AC2＋OC2＝OA2，∴42＋(r－2)2＝r2，解得r＝5，
∴AE＝10.∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴BE＝＝＝6，∴S△BCE＝BC·BE＝×4×6＝12.
如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为__2__．
【解】 ∵∠ABC＝90°，∴∠ABP＋∠PBC＝90°.∵∠PAB＝∠PBC，∴∠PAB＋∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上．如解图，连结OC交⊙O于点P，此时PC最小．
在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝AB＝3，∴OC＝＝5，∴PC＝OC－OP＝5－3＝2.
（2019?海淀区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，＝．若∠CAB＝42°，则∠CAD＝ 24°
【答案】解：连接OC，OD，如图所示．∵∠CAB＝42°，∴∠COB＝84°．∵＝，
∴∠COD＝（180°﹣∠COB）＝48°，∴∠CAD＝∠COD＝24°．故答案为：24°．
如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为______.
【核心素养题】如图，AB为⊙O的直径，P为其半圆上任意一点(不与点A，B重合)，点Q为另一半圆上一定点，若∠POA为x°，∠PQB为y°，则y与x之间函数关系式为
y＝90－x(0＜x＜180)
（2018秋?克东县期末）在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆周角的大小为 45°或135° ．
【答案】解：连接OA、OB，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB，又OC＝AB，∴AC＝OC，∴∠AOC＝45°，
∴∠AOB＝90°，∴弦AB所对的圆周角的度数是45°或135°．故答案为：45°或135°．
10.（2019?岑溪市一模）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是上的中点，AC＝8，OA＝5，连接AD、BD，则△ABD的面积是 20 ．
【答案】解：连接OD，交AC于E，∵点D是上的中点，AC＝8，∴AE＝AC＝4，OD⊥AC，
∴∠AEO＝∠AED＝90°，∵OA＝5，∴OE＝3，∴DE＝5﹣3＝2，∴AD＝＝2，
∵AD为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝＝＝4，
∴则△ABD的面积是＝＝＝20；故答案为：20．
三、解答题
已知：如图，在△ABC中，BC＝AC＝6，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E.
(1)求证：点D是AB的中点；
(2)求点O到直线DE的距离．
解：(1)证明：连结CD．∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∴CD⊥AB．又∵AC＝BC，∴AD＝BD，
即点D是AB的中点．
(2)解：连结OD．∵AD＝BD，OB＝OC，∴DO是△ABC的中位线，∴DO∥AC，OD＝AC＝×6＝3.
又∵DE⊥AC，∴DE⊥DO，∴点O到直线DE的距离为3.
如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.
(1)若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
(2)若AB＝26，DE＝8，求AC的长．
解：(1)∵AB是半圆O的直径，∴∠C＝90°.又∵∠B＝70°，∴∠BAC＝90°－∠B＝20°.
∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B＝70°.又∵OD＝OA，∴∠OAD＝(180°－∠AOD)＝55°，
∴∠CAD＝∠OAD－∠BAC＝35°.
(2)∵AB＝26，∴OD＝13.又∵DE＝8，∴OE＝5.∵OD∥BC，OA＝OB，∴BC＝2OE＝10，
∴AC＝＝24.
已知AB为⊙O的直径，AC和AD为弦，AB＝2，AC＝，AD＝1，求∠CAD的度数．
(解①)
(解②)
【解】 当AC与AD在AB的同侧时，如解图①所示，连结BC，BD.∵AB为⊙O的直径，∴∠C＝∠D＝90°.
在Rt△ABC中，∵AB＝2，AC＝，∴BC＝＝＝AC，∴∠CAB＝45°.
在Rt△ADB中，∵AD＝1，AB＝2，∴∠ABD＝30°，∴∠DAB＝60°，∴∠CAD＝∠DAB－∠CAB＝15°.
当AC与AD在AB的异侧时，如解图②所示．同理于(1)，可知∠DAB＝60°，∠CAB＝45°，
∴∠CAD＝∠DAB＋∠CAB＝105°.综上所述，∠CAD的度数为15°或105°.
4.
如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD.
(1)若P是上一点(不与点C，D重合)，求证：∠CPD＝∠COB.
(2)当点P′在劣弧CD上(不与点C，D重合)时，∠CP′D与∠COD有什么数量关系？请证明你的结论．
【解】 (1)如解图①，连结OD.∵AB⊥CD，AB为⊙O的直径，∴＝，∴∠BOC＝∠BOD＝∠COD.
又∵∠CPD＝∠COD，∴∠CPD＝∠COB.
(2)2∠CP′D＋∠COD＝360°.证明如下：如解图②，连结OD.
∵∠CP′D＋∠CPD(＋)＝180°，∴∠CP′D＝180°－∠CPD.
由(1)知∠CPD＝∠COD，∴∠CP′D＝180°－∠COD，即2∠CP′D＋∠COD＝360°.
如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H.
(1)求证：BD＝CD；
(2)连结OD，DE，若四边形AODE为菱形，BC＝8，求DH的长．
(解①)
(解②)
解：(1)证明：如图1，连结AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC．又∵AB＝AC，∴BD＝CD．
(2)解：如图2，连结OE.∵四边形AODE是菱形，∴OA＝OE＝AE＝DE，∴△AOE是等边三角形，∴∠A＝60°.
又∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形．∵OA＝OB＝BD＝CD，∴AE＝EC，∴CD＝CE.∵∠C＝60°，
∴△EDC是等边三角形．∵DH⊥EC，CD＝4，∴CH＝CD＝2.在Rt△CDH中，DH＝＝2.
