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浙教版数学八年级上册2.8直角三角形全等的判定导学案
课题
2.8直角三角形全等的判定
单元
第二单元
学科
数学
年级
八
学习目标
1.探索两个直角三角形全等的条件.
2.掌握两个直角三角形全等的判定定理（HL）．
3.了解角平分线的性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
重点
直角三角形全等的判定方法。
难点
运用全等直角三角形的判定方法解决问题。
教学过程
课前预学
三角形全等的判定定义：______________________________________________基本事实：____________________________________________方法探究请添加另外两个条件，使这两个直角三角形全等。_________________________________________________________________________________________________________________________________思考：添加条件：斜边和一条直角边对应相等???
新知讲解
方法探究命题：斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。用什么方法验证呢？任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.
再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90
°,B′C′=BC,A′B′=AB,把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？画图思路：（1）__________________________________________（2）__________________________________________（3）__________________________________________（4）__________________________________________思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
下面我们给出证明.已知:如图，在△ACB和△A′C′B′中，∠C=∠C′=Rt∠,AB=A′B′,AC=A′C′
求证:Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.总结：“斜边、直角边”判定方法文字语言：__________________________________________________________________几何语言：____________________________________________________________________________________________________________思考：“有两条边相等的两个直角三角形全等”是真命题吗？例
已知：如图，P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分别是垂足，且PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上.角平分线性质定理的逆定理：________________________________________________几何语言：____________________________________________________________________________________________________________定理应用在△ABC的内部，你能找出一个点，使它到△ABC三边的距离都相等吗？
课堂练习
1．下列可使两个直角三角形全等的条件是( )A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等D．两条边对应相等2.到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的( )A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点C．三条高的交点
D．以上均不对3.如图，点P是∠CAB内一点，点P到AC，AB的距离分别为PE，PF，且PE＝PF.若∠1＝20°，则∠CAB等于( )A．20°
B．30°
C．40°
D．60°4.如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是( )A．线段CD的中点B．CD与过点O作CD的垂线的交点C．CD与∠AOB的平分线的交点D．以上均不对5.已知，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．6.(2020·湘潭)如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA
，垂足为点D，且PD=3点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为_______7.(2020·怀化)在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为(
）A.3B.4C.2D.6答案：1.D
2.B
3.C
4.C
5.证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED＝∠CFD＝90°.∵D为AC的中点，∴AD＝DC.在Rt△ADE和Rt△CDF中，∴Rt△ADE≌Rt△CDF.∴∠A＝∠C.∴BA＝BC.∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC.∴△ABC是等边三角形．6.3
7.A
课堂小结
本节课你学到了什么?知识：1、尺规作图
———
已知斜边和一直角边作直角三角形；2、“斜边、直角边定理（HL）”；3、角平分线性质的逆定理。方法：实验——猜想——验证——推理
板书
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精品试卷·第
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浙教版
初中数学
2.8
直角三角形全等的判定
新知导入
三角形全等的判定
定义：
基本事实：
AAS
证得
复习回顾
能够重合的两个三角形是全等三角形
SSS
SAS
ASA
新知导入
请添加另外两个条件，使这两个直角三角形全等。
1、两条直角边对应相等——SAS
2、斜边和一个锐角对应相等——AAS
3、一条直角边和一个锐角对应相等——ASA或AAS
添加条件：斜边和一条直角边对应相等???
小贴士：一般三角形的判定方法适用于直角三角形全等的判定。
方法探究
新知讲解
命题：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
用画图的方法探究
方法探究
用什么方法验证呢？
新知讲解
任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.
再画一个Rt△A
′B
′C
′，使∠C′=90
°,B′C′=BC,A
′B
′=AB,把画好的Rt△A′B′
C′
剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？
A
B
C
新知讲解
（1）先画∠MC′N=90°
A
B
C
M
C′
N
画图思路
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC
M
C′
A
B
C
N
B′
M
C′
画图思路
新知讲解
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
画图思路
新知讲解
新知讲解
（4）连结A′B′
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
画图思路
新知讲解
下面我们给出证明.
已知:如图，在△ACB
和△A'C'B'中，∠C=∠C'=Rt∠,
AB=A'B',AC=A'C'.
求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
A
B
C
A'
B'
C'
新知讲解
证明
如图，延长BC至D.
使
CD=B'C'，连结AD.
∵AC=A'C'(已知)，∠ACD=Rt∠=∠C'
∴△ADC≌△A'B'C'(SAS)
∴AD=A'B'（全等三角形的对应边相等)
∵A'B'=AB(已知)，
∴AD=AB.
A
B
C
D
新知讲解
又∵
AC⊥BD，
∴BC=DC(等腰三角形三线合一)
而AC=AC(公共边)，
∴△ADC≌△ABC(SSS)
,
∴△ABC≌△A'B'C'.
A
B
C
D
新知讲解
文字语言：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）
“斜边、直角边”判定方法
A
B
C
A'
B'
C'
新知讲解
几何语言：
在Rt△ABC和Rt△
A′B′C′
中，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).
AB=A′B′,
BC=B′C′,
思考：“有两条边相等的两个直角三角形全等”是真命题吗？
“斜边、直角边”判定方法
A
B
C
A'
B'
C'
新知讲解
例
已知：如图，P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分别是垂足，且PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上.
新知讲解
证明
如图，作射线OP.
∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
又∵OP=OP(公共边)，PD=PE(已知)，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL).
∴∠1=∠2，
即点P在∠AOB的平分线上(角平分线的定义).
1
2
新知讲解
几何语言：
∵DP⊥OA，PE⊥OB，且DP=EP
∴OP平分∠AOB
角平分线性质定理：
角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
新知讲解
定理应用
在△ABC的内部，你能找出一个点，使它到△ABC三边的距离都相等吗？
课堂练习
1．下列可使两个直角三角形全等的条件是( )
A．一个锐角对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等
D．两条边对应相等
D
课堂练习
2.到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的( )
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点
D．以上均不对
B
课堂练习
3.如图，点P是∠CAB内一点，点P到AC，AB的距离分别为PE，PF，且PE＝PF.若∠1＝20°，则∠CAB等于( )
A．20°
B．30°
C．40°
D．60°
C
课堂练习
4.如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是( )
A．线段CD的中点
B．CD与过点O作CD的垂线的交点
C．CD与∠AOB的平分线的交点
D．以上均不对
C
拓展提高
5.已知，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF.
求证：△ABC是等边三角形．
拓展提高
证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED＝∠CFD＝90°.
∵D为AC的中点，∴AD＝DC.
中考链接
6.(2020·湘潭)如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA
，垂足为点D，且PD=3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为_______
3
中考链接
7.(2020·怀化)在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为(
）
A.3
B.4
C.2
D.6
A
课堂总结
知识：
1、尺规作图
———
已知斜边和一直角边作直角三角形；
2、“斜边、直角边定理（HL）”；
3、角平分线性质的逆定理。
方法：实验——猜想——验证——推理
本节课你学到了什么？
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课题：2.8
直角三角形全等的判定
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教师板演区
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学生展示区
一、“斜边、直角边”判定方法
二、尺规作图
三、角平分线性质的逆定理
作业布置
课本
P82
练习题
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