选择题
1.（2019秋?温岭市期中）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C在弦AB上，且AC＝AB，则OC的长为（ ）
A．2
B．2
C．4
D．
2.（2019?吴兴区校级一模）在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP为（ ）cm．
A．2
B．
C．3
D．2
3.（2018秋?西湖区期中）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB交AB于点D，要使四边形OACB为菱形，则需添加的下列条件中，正确的是（ ）
A．∠CAD＝∠CBD
B．∠OAD＝∠OBD
C．AD＝BD
D．OA＝BC
4.（2018秋?镇海区期末）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（ ）
A．6
B．
C．8
D．
（2018秋?长兴县期中）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连结OB，点P是半径OB上任意一点，连结AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
6.（2019秋?秀洲区期中）嘉兴南湖不仅是党的诞生地，它优美的风光还吸引全国各地的旅客前来观赏．如图是南湖的一座三孔桥，某天测得最大桥拱的水面宽AB为6m，桥顶C到水面AB的距离为2m，则这座桥桥拱半径为（ ）
A．3m
B．m
C．m
D．5m
7．（2019?东阳市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y＝kx+12与⊙O交于B、C两点，则弦BC长的最小值（ ）
A．24
B．10
C．8
D．25
8.（2018?衢州）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（ ）
A．3cm
B．cm
C．2.5cm
D．cm
9.（2019秋?慈溪市期中）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1m，水面宽AB＝1.2m，某天下雨后，水管水面上升了1.4m，则此时排水管水面宽为（ ）
A．1.2m
B．1.4m
C．1.6m
D．1.8m
填空题
1.（2019春?西湖区校级月考）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝6，则AD＝ ．
2.（2018?温岭市模拟）如图，在圆O中有折线ABCO，BC＝6，CO＝4，∠B＝∠C＝60°，则弦AB的长为 ．
3．（2018?嘉兴一模）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，动点M在弦AB上运动（可运动至A和B），设OM＝x，则x的取值范围是 ．
（2019秋?余杭区期中）如图，A、B是⊙O上两点，弦AB＝a，P是⊙O上不与点A、B重合的一个动点，连结AP、PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF＝ ．（用含a的代数式表示）．
5．（2019?鹿城区校级二模）如图，AB是半圆O的直径，AB＝12，AC为弦，OD⊥AC于D，OE∥AC交半圆O于点E，EF⊥AB于F，若BF＝3，则AC的长为 ．
解答题
1．（2019秋?苍南县期中）把一个球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知CD＝EF＝24cm，求这个球的直径．
2．（2019秋?鹿城区校级月考）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．
3．（2018秋?嵊州市期中）一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米．
（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
4．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为O，E．
（1）当BC＝1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由．
（3）当OD＝时，求OE的长．
（2019?宁波二模）如图，⊙O的两条弦AB∥CD（AB不是直径），点E为AB中点，连结EC，ED
（1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由；
（2）求证：EC＝ED．选择题
1.（2019秋?温岭市期中）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C在弦AB上，且AC＝AB，则OC的长为（ D ）
A．2
B．2
C．4
D．
【解析】解：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
∵AB＝8，AC＝AB，∴AC＝2，BC＝6，∴AD＝×8＝4．
在Rt△AOD中，∵OA＝5，AD＝4，∴OD＝＝3，
在Rt△OCD中，∵OD＝3，CD＝AD﹣AC＝4﹣2＝2，∴OC＝＝＝，故选：D．
2.（2019?吴兴区校级一模）在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP为（ A ）cm．
A．2
B．
C．3
D．2
【解析】解：如图所示，CD⊥AB于点P．根据题意，得：AB＝8cm，CD＝4cm，
∵CD⊥AB，∴CP＝CD＝2cm，
根据勾股定理，得OP＝＝＝2（cm）故选：A．
3.（2018秋?西湖区期中）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB交AB于点D，要使四边形OACB为菱形，则需添加的下列条件中，正确的是（ D ）
A．∠CAD＝∠CBD
B．∠OAD＝∠OBD
C．AD＝BD
D．OA＝BC
【解析】解：OA＝BC．理由如下：∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，∴AD＝DB，∠ADO＝∠ADC＝90°，AC＝BC，∵OA＝BC＝AC，AD＝AD，∴△ADO≌△ADC（SAS），∴OD＝DC，
∵AD＝DB，AB⊥OC，OD＝DC,∴四边形OACB为菱形．故选：D．
4.（2018秋?镇海区期末）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（ ）
A．6
B．
C．8
D．
【解析】解：作OE⊥AB交AB与点E，作OF⊥CD交CD于点F，如右图所示，
则AE＝BE，CF＝DF，∠OFP＝∠OEP＝90°，又∵圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，∴∠FPE＝90°，OB＝10，BE＝8，∴四边形OEPF是矩形，OE＝6，同理可得，OF＝6，
∴EP＝6，∴OP＝，故选：B．
（2018秋?长兴县期中）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连结OB，点P是半径OB上任意一点，连结AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（ D ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【解析】解：连接OA，∵OC⊥AB于点C，OB＝5，OC＝3，∴BC＝＝4，∴AB＝2×4＝8，
∵AO≤AP≤AB，∴5≤AP≤8，∴AP的长度不可能是：9（答案不唯一）．故选：D．
6.（2019秋?秀洲区期中）嘉兴南湖不仅是党的诞生地，它优美的风光还吸引全国各地的旅客前来观赏．如图是南湖的一座三孔桥，某天测得最大桥拱的水面宽AB为6m，桥顶C到水面AB的距离为2m，则这座桥桥拱半径为（ B ）
A．3m
B．m
C．m
D．5m
【解析】解：连接BO，由题意可得：AD＝BD＝3m，设B半径OC＝xm，则DO＝（x﹣2）m，
由勾股定理可得：x2＝（x﹣2）2+32，解得：x＝．故选：B．
7．（2019?东阳市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y＝kx+12与⊙O交于B、C两点，则弦BC长的最小值（ B ）
A．24
B．10
C．8
D．25
【解析】解：对于直线y＝kx+12，当x＝0时，y＝12，故直线y＝kx+12恒经过点（0，12），记为点D．
由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，如图BC⊥OD，连接OB，∴OB＝13，OD＝12，
由勾股定理得：BD＝5，∴BC＝2BD＝10，故选：B．
（2018?衢州）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（ D ）
A．3cm
B．cm
C．2.5cm
D．cm
【解析】解：连接AB，OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，AE＝2cm，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，即AB＝，
∵OA＝OC，OB＝OC，OF⊥BC，∴BF＝FC，∴OF＝．故选：D．
9.（2019秋?慈溪市期中）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1m，水面宽AB＝1.2m，某天下雨后，水管水面上升了1.4m，则此时排水管水面宽为（ C ）
A．1.2m
B．1.4m
C．1.6m
D．1.8m
【解析】解：如图：作OE⊥AB于E，反向延长交CD于F，
∵CD∥AB，∴EF⊥CD，∵AB＝1.2m，OE⊥AB，OA＝1m，∴OE＝0.8m，
∵水管水面上升了1.4m，∴OF＝1.4﹣0.8＝0.6m，∴CF＝＝＝0.8m，
∴CD＝2CF＝1.6m，∴此时排水管水面宽为1.6m，故选：C．
填空题
1.（2019春?西湖区校级月考）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝6，则AD＝ 4 ．
【解析】解：∵CE＝2，DE＝6，∴CD＝DE+CE＝8，∴OD＝OB＝OC＝4，∴OE＝OC﹣CE＝4﹣2＝2，
在Rt△OEB中，由勾股定理得：BE＝＝＝2，∵CD⊥AB，CD过O，∴AE＝BE＝2，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AD＝＝＝4，故答案为：4．
2.（2018?温岭市模拟）如图，在圆O中有折线ABCO，BC＝6，CO＝4，∠B＝∠C＝60°，则弦AB的长为 10 ．
【解析】解：如图，作OD⊥AB垂足为D，OE∥AB交BC于E，过E点作EF⊥AB，垂足为F，
∵OE∥AB，∴△COE为等边三角形，∴OE＝CE＝OC＝4，
∵OD⊥AB，EF⊥AB，∴DF＝OE＝4，BE＝BC﹣CE＝2，
在Rt△BEF中，∵∠B＝60°，∴BF＝BE＝1，∴BD＝BF+DF＝1+4＝5，由垂径定理，得AB＝2BD＝10．
3．（2018?嘉兴一模）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，动点M在弦AB上运动（可运动至A和B），设OM＝x，则x的取值范围是 3≤x≤5 ．
【解析】解：当M与A（B）重合时，OM＝x＝5；当OM垂直于AB时，可得出M为AB的中点，连接OA，
在Rt△AOM中，OA＝5，AM＝AB＝4，根据勾股定理得：OM＝x＝＝3，则x的范围为3≤x≤5．
（2019秋?余杭区期中）如图，A、B是⊙O上两点，弦AB＝a，P是⊙O上不与点A、B重合的一个动点，连结AP、PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF＝ a ．（用含a的代数式表示）．
【解析】解：连接AB，∵OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，∴AE＝PE，PF＝BF，
∴EF是△APB的中位线，∴EF∥AB，EF＝AB＝，故答案为：a．
5．（2019?鹿城区校级二模）如图，AB是半圆O的直径，AB＝12，AC为弦，OD⊥AC于D，OE∥AC交半圆O于点E，EF⊥AB于F，若BF＝3，则AC的长为 6 ．
【解析】解：AB是半圆O的直径，AB＝12，∴OB＝OA＝6，∵BF＝3，∴OF＝OB﹣BF＝3，∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，∵OD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADO＝∠OFE＝90°，∵OE∥AC，∴∠DAO＝∠EOF，
在△ADO和△OFE中，，∴△ADO≌△OFE（AAS），∴AD＝OF＝3，∴AC＝2AD＝6
解答题
1．（2019秋?苍南县期中）把一个球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知CD＝EF＝24cm，求这个球的直径．
【解析】解：过O作OG⊥AD与G交⊙O于H，则DF＝EF＝12，设半径为r，则OG＝24﹣r，
根据勾股定理得，（24﹣r）2+122＝r2，解得：r＝15，
答：这个球的直径为10cm．
2．（2019秋?鹿城区校级月考）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．
【解析】（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，∴∠DEB＝∠BFG＝90°，
∵∠DBE＝∠GBF，∴∠D＝∠G，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠G，∴AC＝CG．
（2）解：设⊙O的半径为r．则AG＝OA+OG＝r+10，∵CA＝CG，CD⊥AB，∴AE＝EG＝，EC＝ED＝4，
∴OE＝AE﹣OA＝，在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，∴r2＝（）2+42，
解得r＝或（舍弃），∴⊙O的半径为．
3．（2018秋?嵊州市期中）一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米．
（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
【解析】解：（1）设抛物线解析式为：y＝ax2+c，∵桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米，
∴A（﹣10，0），B（10，0），D（0，4），∴，解得：∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+4，
∵要使高为3米的船通过，∴y＝3，则3＝﹣x2+4，解得：x＝±5，∴EF＝10米；
（2）设圆半径r米，圆心为W，
∵BW2＝BC2+CW2，∴r2＝（r﹣4）2+102，解得：r＝14.5；
在Rt△WGF中，由题可知，WF＝14.5，WG＝14.5﹣1＝13.5，根据勾股定理知：GF2＝WF2﹣WG2，
即GF2＝14.52﹣13.52＝28，所以GF＝2，此时宽度EF＝4米．
4．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为O，E．
（1）当BC＝1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由．
（3）当OD＝时，求OE的长．
【解析】解：（1）∵OD⊥BC，∴BD＝DC＝0.5，
由勾股定理得：OD2＝OB2﹣BD2，而OB＝2，∴OD＝．
（2）存在，DE的长度不变．∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，∴AB2＝22+22，∴AB＝2；
∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴BD＝DC，AE＝CE，∴DE为△ABC的中位线，∴DE＝AB＝．
（3）∵OD⊥BC，OE⊥AC，且OA＝OB＝OC，∴∠AOE＝∠COE（设为α），∠BOD＝∠COD（设为β），
∵2（α+β）＝90°，∴α+β＝45°，即∠DOE＝45°；
设OE＝λ，在Rt△ODF中，∵OD＝，∠DOF＝45°，∴OF＝DF＝，
在Rt△DEF中，则有：2＝（）2+（λ﹣）2
解得：OE＝λ＝或（舍去）．∴OE＝．
（2019?宁波二模）如图，⊙O的两条弦AB∥CD（AB不是直径），点E为AB中点，连结EC，ED
（1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由；
（2）求证：EC＝ED．
【解析】（1）解：直线EO与AB垂直，理由是：连接OE，并延长交CD于F，
∵EO过O，E为AB的中点，∴EO⊥AB；
（2）证明：∵EO⊥AB，AB∥CD，∴EF⊥CD，∵EF过O，∴CF＝DF，∴EC＝ED．
