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【每周培优集训】第二周：第三章
圆的基本性质
选择题：
1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（
）
A.?AB=AD?????????????B.?BC=CD???????????C.?????????????D.?∠BCA=∠DCA
2.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD＝125°，则∠BOD等于（??
）
A.?55°????????????????B.?110°????????????????C.?105°??????????????D.?125°
3.如图，在△ABC中，以边BC为直径做半圆，交AB于点D，交AC于点E，连接DE，若＝＝，则下外说法正确的是（
?
?）
A.?AB＝AE????????????B.?AB＝2AE????????????C.?3∠A＝2∠C???????
?D.?5∠A＝3∠C
4.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为（??
）
A.?2???????????????????B.?8???????????????????C.???????????????????D.?
5.如图，△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，若∠B=70°，∠C=50°，则∠ADB的度数是（???
）
A.?70°??????????????????B.?80°????????????????C.?82°????????????
???D.?85°
6.如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（???
）
A.?20°??????????????????B.?35°????????????????
C.?40°??????????????????D.?55°
7.如图，BC是半圆
O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE，如果，那么的度数为（?
）
A.???????????????B.?????????????????C.???????????????????D.?
8.如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①AB?CD；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是(???
)
A.?1?????????????????????B.?2?????????????????????C.?3???????????????????D.?4
9.如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB=，AD=10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（???
）
A.?5?????????????????????B.?6???????????????????C.?7??????????????????D.?8
10．如图，AB是圆的直径，AB⊥CD，∠BAD=30°，则∠AEC的度数等于（
）
A．30°
B．50°
C．60°
D．70°
填空题:
11.⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100°，则∠A的度数为________________
12.如图，在△ABC中，∠A
70°，∠B
55°，以BC为直径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，则
的度数为________
13.如图，点A、B、C都在圆O上，如果∠AOB+∠ACB=84°，那么∠ACB的大小是________
14.如图，MN是⊙O的直径，OM=2，点A在⊙O上，
，B为弧AN的中点，
P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为
________
15.如图，点A，B，C，D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝
16.如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，，点P是OC上的一
个动点，则BP+DP的最小值为_____________
三．解答题:
17．已知：如图，AE是⊙O的直径，AF⊥BC于D，证明：BE=CF．
18．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，D是弧AC中点，DE⊥AB垂足为E，AC分别与DE、DB相交于点F、G，则AF与FG是否相等？为什么？
19.已知：如图△ABC内接于圆O，AB=AC，D为弧BC上任意一点，连结AD,BD
（1）若∠ADB=65°，求∠BAC的度数；
（2）求证：∠ABD=∠AEB
20.如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．
（1）求证：AB=CD；
（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．
21．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．∠BAC=40°
（1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD=CD．
22．如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC于M．
（1）求证：BE=CM．（2）求证：AB﹣AC=2BE．
23．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的边于G，F，E点．
求证：（1）F是BC的中点；（2）∠A=∠GEF．
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精品试卷·第
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【每周培优集训】第二周：第三章
圆的基本性质答案
选择题：
1.
答案：B
解析：A.∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；
B.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本选项正确；
C.∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定,∴
与
不一定相等，故本选项错误；
D.∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误。
故答案为：B.
2.
答案：B
解析：∵∠BCD＝125°，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝55°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BOD＝2∠A＝110°，
故答案为：B.
3.答案：
C
解析：∵
，
∴，
∵∠BOD+∠EOC+∠DOE＝180°，
∴∠BOD＝∠EOC＝45°，∠DOE＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝67.5°，
同理，∠OEC＝∠OCE＝67.5°，
∴∠A＝45°，
∵BC为直径，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
∴，故A、B不符合题意；
3∠A＝135°，2∠C＝135°，
∴3∠A＝2∠C，C符合题意；
5∠A＝225°，3∠C＝202.5°，
∴5∠A≠3∠C，D不符合题意；
故答案为：C.
4.答案：
D
解析：连结BE，设⊙O的半径为R，如图，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣2，
∵OC2+AC2＝OA2
，
∴（R﹣2）2+42＝R2
，
解得R＝5，
∴OC＝5﹣2＝3，
∴BE＝2OC＝6，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
在Rt△BCE中，CE＝.
故答案为：D.
5.
答案：A
解析：延长AD交圆O于点E，连接CE
∴∠E=∠B=70°，∠ACE=90°
∴∠CAE=90°-70°=20°
∵∠B=70°，∠ACB=50°
∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-70°-50°=60°
∴∠BAD=∠BAC-∠CAE=60°-20°=40°
∴∠ADB=180°-70°-40°=70°
故答案为：A.
6.
答案：B
解析：连接FB，
则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°，
∴∠FEB＝∠FOB=70°，
∵FO＝BO，
∴∠OFB＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°，
∵EF＝EB，
∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°，
∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°，
故答案为：B
7.
答案：C
解析：连接CD，如图所示：
∵BC是半圆O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=90°-∠A=20°，
∴∠DOE=2∠ACD=40°，
故答案为：C．
8.答案：
D
解析：如图连接OB、OD；
∵AB=CD，∴弧AB=弧CD，故①正确
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，∴BM=DN，
∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正确，
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，
∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正确，
故选：D.
9.答案：
D
解析：如图，连接BD，作以AD为直径的⊙E，连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=，AD=10，
∴BD=，
∵AD是⊙E的直径，AD=10，
∴DE=5，
∴在Rt△BDE中，BE=?
∵在点C在弧BD上移动的过程中，始终保持了DH⊥AC于点H，
∴点H始终在⊙E上，且HE=5，
∴当点B、H、E三点在同一直线上时，BH最短，此时BH最短=BE-HE=13-5=8.
10.答案：C
解析：∵∠BAD=30°，
∴，
∵AB是圆的直径，AB⊥CD，
∴，
∴=180°﹣60°=120°，
∴∠AEC==×120°=60°．
故选C．
填空题:
11.答案：或
解析：如图：当圆心在三角形内时，∠BOC=100°，故∠A=∠BOC=50°，
当圆心在三角形外时，∵，
∴，∴，
∴，
故答案为：或
12.答案：
解析：如图，连接OE，OF.
∵∠A
70°，∠B
55°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=55°，
∵OC=OF,
∴∠OFC=∠C=55°，
∴∠COF=180°-∠CFO-∠C=70°，
同理，∠BOE=70°，
∴∠EOF=180°-∠COF-∠BOE=40°，
故
的度数为40°.
故答案为：.
13.
答案：28°
解析：∵∠AOB=2∠ACB，∠AOB+∠ACB=84°
∴3∠ACB=84°
∴∠ACB=28°．
故答案为：28°
14.
解析：如图，
作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，连接AP、OB、OA、OA′，
则此时AP+BP的值最小=A′B，
∵∠AMN=30°，A′、A关于MN对称，点B是的中点，
∴∠BON=30°，∠A′ON=∠AON=60°，
∴∠A′OB=30°+60°=90°，
又∵OA′=OB=OM=2，
∴A′B=，即AP+BP的值最小=
.
故答案为：.
15.答案：
解析：∵，∠CAD＝30°，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
∴∠DBC＝∠DAC＝30°，
∵∠ACD＝50°，
∴∠ABD＝50°，
∴∠ADB＝∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．
故答案为：70°．
16.答案：
解析：如图，连接AD，PA，PD，OD．
∵OC⊥AB，OA＝OB，
∴PA＝PB，∠COB＝90°，
∵
∴∠DOB＝×90°＝60°，
∵OD＝OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝AB?sin∠ABD＝2，
∵PB+PD＝PA+PD≥AD，
∴PD+PB≥2，
∴PD+PB的最小值为2，
三．解答题:
17.解析：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠E+∠BAE=90°，
∵AF⊥BC于D，
∴∠FAC+∠ACB=90°，
∵∠E=∠ACB，
∴∠BAE=∠FAC，
∴弧BE=弧CF，
∴BE=CF．
18.解析：AF=FG，
理由是：连接AD，
∵AB是直径，DE⊥AB，
∴∠ADB=∠DEB=90°，
∴∠ADE=∠ABD，
∵D为弧AC中点，
∴∠DAC=∠ABD，
∴∠ADE=∠DAC，
∴AF=DF，∠FAE=∠DAC，
∴DF=FG，
∴AF=FG．
19.解析：（1）
∵AB=AC
∴∠C=∠ABC，，
∴∠C=∠ABC=∠ADB=65°
∴∠BAC=（180°-65°×2）=50°
（2）∵∠AEB=∠DAC+∠C
∠ABD=∠ABC+∠DBC
∵
∴∠DAC=∠DBC
∵∠ABC=∠C
∴∠ABD=∠AEB
20.
解析：（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图1，
∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，∴OM=ON，∴AB=CD
（2）如图2所示，
由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，∴DN=CN=AM=BM，
在Rt△EON与Rt△EOM中，∵，
∴Rt△EON≌Rt△EOM（HL），
∴NE=ME，
∴CD﹣DN﹣NE=AB﹣BM﹣ME，
即AE=CE，∴DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，
∵∠BED=60°，OE平分∠BED，
∴∠NEO=∠BED=30°，
∴ON=
OE=1，
在Rt△EON中，由勾股定理得：NE=，
∴DE﹣AE=2NE=
21.解析：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠BAC=40°，
∴∠C=（180°﹣40°）=70°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠EBC=90°﹣∠C=20°；
（2）连结AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
而AB=AC，∴BD=DC．
22.解析“（1）连接BD，DC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴弧BD=弧CD，
∴BD=CD，
∵∠BAD=∠CAD，DE⊥AB，DM⊥AC，
∵∠M=∠DEB=90°，DE=DM，
在Rt△DEB和Rt△DMC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DMC（HL），
∴BE=CM．
（2）∵DE⊥AB，DM⊥AC，
∵∠M=∠DEA=90°，
在Rt△DEA和Rt△DMA中
∴Rt△DEA≌Rt△DMA（HL），
∴AE=AM，
∴AB﹣AC，
=AE+BE﹣AC，
=AM+BE﹣AC，
=AC+CM+BE﹣AC，
=BE+CM=2BE．
23.解析：（1）连接DF，DE，
∵DC是⊙O直径，
∴∠DEC=∠DFC=90°．
∵∠ECF=90°，
∴四边形DECF是矩形．
∴EF=CD，DF=EC．
∵D是AB的中点，∠ACB=90°，
∴EF=CD=BD=AB．
∴△DBF≌△EFC．
∴BF=FC，即F是BC的中点．
（2）∵△DBF≌△EFC，
∴∠BDF=∠FEC，∠B=∠EFC．
∵∠ACB=90°（也可证AB∥EF，得∠A=∠FEC），
∴∠A=∠FEC．
∵∠FEG=∠BDF（同弧所对的圆周角相等
）
∴∠A=∠GEF．
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