第四章相似三角形（上）-浙教版九年级数学上册考点专练（Word版 含答案）

第四章相似三角形之考点专练（上）
考点一：设”k”求比例
1.若a=3m,m=2b,则a:b=(
)
A.3:2???????????????????????????B.2:3
C.1:6???????????????????????????D.6:1
2.如果，那么下列等式一定成立的是（
）
A.
B.
a:c=b:d
C.
D.
ad=bc
3.已知k=，则k的值为（　　　　）
A.
B.3
C.1或-2
D.
已知5a=4b，那么=
5.已知，且3y=2z+6，则x=____，y=____，z=____．
6.已知（x-y）:y=2:3，求
的值
7.若==，且3a-2b+c=3，求2a+4b-3c的值．
考点二：列比例式及求值
8.如图,点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC),下列结论错误的是(　　)
A.
B.
BC
2=AB?BC
C.
D.
9.给出下列各组线段，其中成比例线段是（　　　　）
A.a=2cm，b=4cm，c=6cm，d=8cm
B.a=cm，b=cm，c=cm，d=cm
C.a=cm，b=cm，c=cm，d=2cm
D.a=2cm，b=cm，c=2cm，d=cm
10.已知线段AB是线段CD、EF的比例中项，CD=2，EF=8，那么AB=____．
11.已知在一张比例尺为1：20000的地图上，量得A与B两地的距离是5cm，则A，B两地的实际距离是____m．
12.正比例函数y=kx的图象经过A（a，b），B（b，c）两点，求证：b是a，c的比例中项．
13.如果在一个矩形ABCD（AB＜BC）中，=≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形.在黄金矩形ABCD内作出正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE，如图，请问矩形ABEF是否是黄金矩形？请说明理由.
14.如图，在□ABCD中，DE⊥AB于点E，BF⊥AD于点F。
?
（1）AB，BC，BF，DE这四条线段能否成比例？如能，写出比例式，如果不能，请说明理由。
?
（2）若AB=10，DE=2.5，BF=5，求BC的长。
考点三：平行线截得比例线段
15.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC.若AD=6，DB=3，AE=4，则AC的长为（
）
A.2
B.3
C.4
D.6
16.如图，点D、E、F分别位于的三边上，满足，，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC=
______
．
17.如图，a∥b∥c．直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F．
(1)
若AB=3，BC=5，DE=4，求EF的长；
(2)
若AB：BC=2：5，DF=10，求EF的长．
18.如图，P为平行四边形ABCD的对角线BD上任意一点，过点P的直线交AD于点M，交BC于点N，交BA的延长线于点E，交DC的延长线于点F．
求证：PE?PM=PF?PN．
19.如图，已知EC∥AB，∠EDA=∠ABF．
（1）若AB=6，求CD的长；
（2）求证：OA2=OE?OF．
考点四：相似三角形及其判定
20.如图，在△ABC中，D是边AC上一点，下面4种情况中，△ABD∽△ACB一定成立的情况是（　　）
A.
AD?BC=AB?BD
B.
AB2=AD?AC
C.
∠ABD=∠CBD
D.
AB?BC=AC?BD
下列四个三角形，与已知图中的三角形相似的是（
）
ABCD
22.如图，在△ABC中，AC=BC，CD是边AB上的高线，且有2CD=3AB=6，CE=EF=DF，则下列判断中不正确的是（　　　　）
A.∠AFB=90°
B.BE=
C.△EFB∽△BFC
D.∠ACB+∠AEB=45°
23.
如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似．你添加的条件是______．
24.如图，在△ABC中，AC=4，BC=2，点D是边AB上一点，CD将△ABC分成△ACD和△BCD，若△ACD是以AC为底的等腰三角形，且△BCD与△BAC相似，则CD的长为（　）
A.
B.
2
C.
4-4
D.
25.
已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD．
（1）写出图中的相似三角形，并选择一对加以证明；
（2）若AE=5，EC=3，EF=4，BC=7，求DE、CD的长．
26.如图，在△ABC中，点D是BA边延长线上一点，过点D作DE∥BC，交CA延长线于点E，点F是DE延长线上一点，连接AF．
(1)、如果
=
，DE=6，求边BC的长；
(2)、如果∠FAE=∠B，FA=6，FE=4，求DF的长．
考点五：边的替换
27.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接CD、BE交于点O，且DE∥BC，OD=1，OC=3，AD=2，则AB的长为（　　）
A.
4
B.
6
C.
8
D.
9
28.
已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上，∠DEB=∠ABC．
求证：（1）DB2=DE?DA；
（2）∠DCE=∠DAC．
29.
已知,在△ABC中作内接菱形CDEF,设菱形的边长为a,求证:
如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q.
请写出图中所有的相似三角形(相似比为1的除外)；
(2)求BP:PQ:QR.
31.
如图，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB=∠CDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD
2=DE?DF．
(1)
求证：△BFD∽△CAD；
(2)
求证：BF?DE=AB?AD．
参考答案
1.
--------------------------------------------------------------------------
答案：D
2.
--------------------------------------------------------------------------
【答案】根据比例的意义和基本性质，逐个验证，运用排除法求解．
A、根据比例的基本性质，两外项之积等于两内项之积，由，得ad=bc，故选项错误；
B、正确；
C、如果a=1，b=c=2，d=4，则=，但是1≠2，即a≠c，故选项错误；
D、同上，如果a=1，b=c=2，d=4，则=，但是2≠4，即b≠d，故选项错误．
故选B．
3.
--------------------------------------------------------------------------
答案：C.
解：当a+b+c≠0时，
根据比例的等比性质，可得
k=
整理，得
k=
解得：k=1；
当a+b+c=0时，则有
a+b=-c，a+c=-b，b+c=-a，
===k=-2.
所以k的值为-2或1.
故选C.
【考点提示】
本题主要考查的是比例的基本性质，结合不同情况进行分析求解是解题的关键；
【解题方法提示】
首先根据比例基本性质分两种情况进行分析：情况①，当a+b+c≠0时，结合等比性质进行化简即可得出结果；
然后对于情况②，当a+b+c＝0时，分别得到a+b=-c，a+c=-b，b+c=-a，利用代入法进行求解即可得出结果.
4.
--------------------------------------------------------------------------
答案：1/3
5.
--------------------------------------------------------------------------
解：设=k，
则x=3k，y=5k．z=6k，
∵3y=2z+6，
∴15k=12k+6，
解得：k=2，
∴x=6，y=10，z=12，
故答案为：6，10，12．
设=k，推出x=3k，y=5k．z=6k，代入得出方程15k=12k+6，求出k的值即可．
6.
--------------------------------------------------------------------------
答案：
7.
--------------------------------------------------------------------------
解：设===x，
a=5x，b=7x，c=8x．
3a-2b+c=3，
15x-14x+8x=3．
解得x=，
a=5x=，b=7x=，c=8x=．
2a+4b-3c=2×+4×-3×=．
根据等式的性质，可得x表示a，b，c，根据解方程，可得答案．
8.
--------------------------------------------------------------------------
B
把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,他们的比值(
)叫做黄金比．
解：∵AC＞BC,
∴AC是较长的线段,
根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC,故A正确,不符合题意;
AC
2=AB?BC,故B错误,
,故C正确,不符合题意;
≈0.618,故D正确,不符合题意．
故选B．
9.
--------------------------------------------------------------------------
答案：D.
解：A.2×8≠4×6，故本选项错误；
B.×≠×，故本选项错误；
C.×2≠×，故本选项错误；
D.2×=×2，故本选项正确.
故选D.
【考点提示】
本题主要考查的是比例线段的知识，熟练掌握判断成比例线段的方法是解题的关键；
【解题方法提示】
若四条线段成比例，则其中两条线段的比等于另外两条线段的比，由此得到其中两条线段的积等于另外两条线段的积；
接下来计算各选项中最长与最短线段的积以及另外两条线段的积，分析它们的积是否相等，相等则四条线段是成比例线段，若不相等则四条线段不是成比例线段，由此分析解答.
10.
--------------------------------------------------------------------------
【答案】由线段AB是线段CD、EF的比例中项，根据比例中项的定义即可得AB2=CD?EF，又由CD=2，EF=8，即可求得AB的值．
∵线段AB是线段CD、EF的比例中项，
∴AB2=CD?EF，
∵CD=2，EF=8，
∴AB2=2×8=16，
∴AB=4．
故答案为：4．
11.
--------------------------------------------------------------------------
解：设A，B两地的实际距离为xcm，
根据题意得：=，解得：x=100000，
∵100000cm=1000m，
∴A，B两地的实际距离是1000m．
故答案为：1000．
首先设A，B两地的实际距离为xcm，根据题意可得方程=，解此方程即可求得答案，注意统一单位．
12.
--------------------------------------------------------------------------
【解答】解：∵正比例函数y=kx的图象经过A（a，b）、B（b，c）两点，
∴，
把k=代入c=kb得c=?b，
∴b2=ac，
即b是a，c的比例中项．
【分析】把（a，b）、（b，c）的值代入函数解析式y=kx，可得，把k=代入c=kb可得b2=ac；
13.
--------------------------------------------------------------------------
解：矩形ABFE是黄金矩形．理由如下：
∵AD=BC，DE=AB，
∴===-1=-1=-1==．
∴矩形ABFE是黄金矩形．
【考点提示】
本题考查了黄金分割和正方形的性质，解决本题的关键是掌握黄金分割的定义；
【解题方法提示】
由正方形的性质得AD=BC，DE=AB；
然后得===-1=-1，再把式子化简即可得解.
14.
--------------------------------------------------------------------------
（1）由已知得AD=BC，
∵S□ABCD=AB·DE=AD·BF，
∴AB·DE=BC·BF，
∴
（2）BC=5
15.
--------------------------------------------------------------------------
答案：D.
解：
∵DE∥BC，
∴=.
∵AD=6，DB=3，AE=4，
∴EC=2，
∴AC=AE+CE=4+2=6.
故选D.
【重点难点】
本题主要考查了平行线分线段成比例定理，在解题的过程中，要注意找准对应关系，避免错选其他答案.
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例.
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；
定理2：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；
定理3：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
【考点提示】
分析题意，解题关键要掌握平行线分线段成比例的知识；
【解题方法提示】
由DE∥BC可得=，将相关数值代入即可求出EC的值；
结合AC=AE+CE，分别将AE、EC的长度代入即可完成解答.
16.
--------------------------------------------------------------------------
3：2
解：解：，
，
：DB=3：2，，
，
，
，，
四边形DEBF是平行四边形，
，
，，
，
：CF=3：2，
故答案为3：2；
根据平行线分线段成比例和三角形相似的相关知识以及平行四边形的性质，通过转化的思想可以解答本题．
本题考查平行线分线段成比例，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用平行线分线段成比例的性质解答．
17.
--------------------------------------------------------------------------
(1)
解：∵a∥b∥c，
∴
，即
，
解得
(2)
解：∵a∥b∥c，
∴
，
∴
，
解得
【分析】（1）由已知a∥b∥c，可证得对应线段成比例，再将已知线段代入计算，可求出EF的长。
（2）根据平行线分线段成比例，可证AB：BC=DE:EF=2：5，再利用等比的性质，可求出EF的长。
18.
--------------------------------------------------------------------------
解析根据平行四边形的性质可知：AB∥CD，所以△BPE∽△DFP，同理可证△BPN∽△DPM，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等可得到PE?PM=PF?PN．
答案证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△BPE∽△DFP，
∴PE：PF=PB：PD，
∵AD∥BC，
∴△BPN∽△DPM，
∴PB：PD=PN：PM，
∴PE：PF=PN：PM，
即PE?PM=PF?PN．
点评本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是找到中间比值．
19.
--------------------------------------------------------------------------
解析（1）由EC∥AB，∠EDA=∠ABF，可证得∠DAB=∠ABF，即可证得AD∥BC，则得四边形ABCD为平行四边形，于是得到结论；
（2）由EC∥AB，可得=，由AD∥BC，可得=，等量代换得出=，即OA2=OE?OF．
此题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定，平行线的性质，解题时要注意识图，灵活应用数形结合思想．
答案证明：（1）∵EC∥AB，
∴∠EDA=∠DAB，
∵∠EDA=∠ABF，
∴∠DAB=∠ABF，
∴AD∥BC，
∵DC∥AB，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=6；
（2）∵EC∥AB，
∴△OAB∽△OED，
∴=，
∵AD∥BC，
∴△OBF∽△ODA，
∴=，
∴=，
∴OA2=OE?OF．
20.
--------------------------------------------------------------------------
要使△ABD∽△ACB，已知有一组公共角，则可以根据相似三角形的判定方法对各选项进行分析即可．
解：A、因为AD?BC=AB?BD的夹角非∠A，所以不能判定两三角形相似，故本选项错误；
B、因为符合两边及夹角法，故可判定两三角形相似，故本选项正确；
C、因为无法确定三角形的对应角相等，故无法判定两三角形相似，故本选项错误；
D、因为AB?BC=AC?BD的夹角为∠C、∠B，不确定是否相等，无法判定两三角形相似，故本选项错误，
故选B．
21.
--------------------------------------------------------------------------
B
22.
--------------------------------------------------------------------------
答案：D.
解：∵AC=BC，CD是AB边上的高，
∴CD是AB的垂直平分线，CD平分∠ACB，ED平分∠AEB，
∴BD=AD，AE=BE，AF=BF，∠ACB=2∠FCB，∠AEB=2∠FEB.
∵2CD=3AB=6，E、F是三等分点，
∴DE=2，DB=1，DF=1，AF=BF
∴BE=，AF=BF=，
∴∠AFB=90°，故A，B正确.
又∵∠CDB=90°，
∴△DBF是等腰三角形，
∴∠DBF=45°，BF=，
∴=，=，
∴=.
又∵∠EFB=∠BFC，
∴△EFB∽△BFC，则C正确.
∴∠FBE=∠BCF，∠FEB=∠FBC.
∴∠DFB=∠FBE+∠FEB=∠FCB+∠FBC=45°，
∴∠ACB+∠AEB=2(∠FBE+∠FEB)=90°，则D错误.
故选D.
【考点提示】
本题涉及相似三角形的判定与性质、三角形外角性质以及等腰三角形的性质等知识，关键是根据已知线段的关系确定图中相关角的数量关系；
【解题方法提示】
根据等腰三角形三线合一的性质可得CD是AB的垂直平分线，利用线段之间的关系，易得△DBF是等腰直角三角形；
再利用勾股定理求得BF、BD的关系，可得到=，接下来结合夹角相等证明△EFB∽△BFC，联系相似三角形的性质及合三角形外角的性质即可得出结论.
23.
--------------------------------------------------------------------------
∵∠A=∠A
∴当∠AED=∠ACB或∠ADE=∠ABC或时，△ADE∽△ABC．
24.
--------------------------------------------------------------------------
D．
解：∵△ACD是以AC为底的等腰三角形，
∴AD=CD，
∵△BCD与△BAC相似，
∴=，
设CD=x，BD=y，
∴==，
∴，
解得：x=2y，
∴y=，
∴x=，
∴CD=，
故选D．
根据已知条件得到AD=CD，根据相似三角形的性质得到=，设CD=x，BD=y，得到==，解方程组即可得到结论．
25.
--------------------------------------------------------------------------
解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵EF∥CD，
∴△AFE∽△ADC，
∵DE∥BC，EF∥CD，
∴∠ADE=∠B，∠EDC=∠DCB，∠FED=∠EDC，
∴∠FED=∠DCB，
∴△FED∽△BCD，
∴图中的相似三角形有三对；
（2）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AE=5，EC=3，BC=7，
∴，
∴DE=，
∵EF∥CD，
∴△AEF∽△ACD，
∴，
∵AE=5，EC=3，EF=4，
∴，
∴CD=．
（1）根据DE∥BC，于是得到△ADE∽△ABC，根据EF∥CD，于是得到△AFE∽△ADC，根据平行线的性质得到∠ADE=∠B，∠EDC=∠DCB，∠FED=∠EDC，等量代换得到∠FED=∠DCB，于是得到结论；
（2）由DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到DE=，同理得到CD=．
26.
--------------------------------------------------------------------------
解析
【分析】（1）根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）由已知条件得到∠EAF=∠D，推出△FAE∽△FDA，根据相似三角形的性质即可得到结论．
答案1、解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
，
∵DE=6，
∴BC=92、解：∵∠FAE=∠B，∠B=∠D，
∴∠EAF=∠D，
∵∠F=∠F，
∴△FAE∽△FDA，
∴
，
∴DF=
=9．
27.
--------------------------------------------------------------------------
B．6
解：∵DE∥BC，
∴DEBC=ODOC=13，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC=13，
∴AB=3AD=6，
故选：B．
根据平行线分线段成比例定理得到DEBC=ODOC=13，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可．
28.
--------------------------------------------------------------------------
【解答】证明：（1）在△BDE和△DAB中
∵∠DEB=∠ABC，∠BDE=∠ADB，（1分）
∴△BDE∽△ADB，（1分）
∴，（1分）
∴BD2=AD?DE．（1分）
（2）∵AD是中线，
∴CD=BD，
∴CD2=AD?DE，
∴，（1分）
又∠ADC=∠CDE，（1分）
∴△DEC∽△DCA，（1分）
∴∠DCE=∠DAC．（1分）
【分析】（1）根据已知可证△BDE∽△DAB，得到，即证BD2=AD?DE．
（2）在（1）的基础上，因为CD=BD，可证，即可证△DEC∽△DCA，得到∠DCE=∠DAC．
29.
--------------------------------------------------------------------------
∵四边形CDEF是边长为a的菱形
∴BC∥DE，AC∥EF，EF=DE=a
∴=,
∴+==1
∴
30.
--------------------------------------------------------------------------
解析(1)根据平行四边形的性质，可得到角相等．∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，可得△BCP∽△BER；
(2)根据AB∥CD、AC∥DE，可得出△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ．根据相似三角形的性质，对应边成比例即可得出所求线段的比例关系.
答案解：(1)∵四边形ACED是平行四边形，
∴∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，
∴△BCP∽△BER；
同理可得∠CDE=∠ACD，∠PQC=∠DQR，
∴△PCQ∽△RDQ；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAP=∠PCQ，
∵∠APB=∠CPQ，
∴△PCQ∽△PAB；
∵△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，
∴△PAB∽△RDQ．
(2)∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
∴BC=AD=CE，
∵AC∥DE，
∴BC：CE=BP：PR，
∴BP=PR，
∴PC是△BER的中位线，
∴BP=PR，，又∵PC∥DR，
∴△PCQ∽△RDQ．
又∵点R是DE中点，
∴DR=RE，，∴QR=2PQ．
又∵BP=PR=PQ+QR=3PQ，
∴BP：PQ：QR=3：1：2故答案为：(1)△BCP∽△BER；△PCQ∽△RDQ；△PCQ∽△PAB；△PAB∽△RDQ；(2)BP：PQ：QR=3：1：2
31.
--------------------------------------------------------------------------
(1)
证明：∵AD2=DE?DF，
∴
．
∵∠ADF=∠EDA，
∴△ADF∽△EDA，
∴∠F=∠DAE．
又∵∠ADB=∠CDE，
∴∠ADB+∠ADF=∠CDE+∠ADF，即∠BDF=∠CDA，
∴△BFD∽△CAD；
(2)
证明：∵△BFD∽△CAD，
∴
，
∴
．
∵△BFD∽△CAD，
∴∠B=∠C，∴AB=AC，
∴
，
∴BF?DE=AB?AD
【分析】（1）由∠ADB=∠CDE可得∠BDF=∠CDA，还需一对角相等才可得△BFD∽△CAD；由已知条件AD2=DE?DF和∠ADE是公共角，可得△ADF∽△EDA，所以∠F=∠DAE，根据相似三角形的判定可得△BFD∽△CAD；
（2）由（1）知，△BFD∽△CAD，所以可得相应的比例式和对应角相等，,∠B=∠C，结合（1）中的比例式即可求解。