第5章 特殊平行四边形单元测试卷（含解析）

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浙教版八年级数学下册单元测试卷
第五章
特殊平行四边形
姓名：___________班级：___________学号：___________
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
菱形的两条对角线长分别为6cm、8cm，则它的面积为．
A.
6
B.
12
C.
24
D.
48
如图，四边形ABCD和四边形AEFC都是矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为，，则和的大小关系是
A.
B.
C.
D.
下列说法中：对角线相等的四边形是矩形对角线互相平分且相等的四边形是矩形有一个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形四个角都相等的四边形是矩形对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形正确的有
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个
如图，点E是矩形ABCD内任意一点，连接AE，BE，CE，DE，则下列结论正确的是
A.
B.
C.
D.
如图，菱形ABCD的边长为8，，点E、F分别为AO、AB的中点，则EF的长度为?
?
?
?
A.
B.
3
C.
D.
4
在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、G共线，点C在BE上，，，点M，N分别是AC和EG的中点，则MN的最小值等于
A.
B.
4
C.
D.
6
在四边形ABCD中，若两条对角线，且，则这个四边形
A.
一定是正方形
B.
一定是菱形
C.
一定是平行四边形
D.
可能不是平行四边形
要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小是
A.
4cm
B.
2cm
C.
D.
如图，正方形ABCD中，边长为，、为等边三角形形，AH、DF交于点E，BH、CF交于点G，则四边形EFGH的面积是
A.
B.
C.
D.
如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：
，，垂直平分EF，，????????
其中正确结论有个．
A.
4
B.
3
C.
2
D.
1
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
如图，矩形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点O，E，F分别为AB，AO中点，则EF
的是___________．
如图，若菱形ABCD的顶点的坐标分别为，，点D在y轴上，则点C的坐标是______．
如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、AB边上的点，且，垂足为点O，的面积为，则图中阴影部分的面积为_______．
如图，在矩形ABCD中，，，点P是AB上不含端点A，任意一点，把沿PC折叠，当点的对应点落在矩形ABCD的对角线上时，______．
已知菱形ABCD的边长为18，，若P是菱形ABCD内一点，且，则CP的长为____________。
如图，正方形ABCD的边长为2，分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是______．
对于点，点，如果，那么点P与点Q就叫作等差点．例如：点，点，因，则点P与点Q就是等差点．如图在矩形GHMN中，点，点，轴，轴，点P是直线上的任意一点点P不在矩形的边上，若矩形GHMN的边上存在两个点与点P是等差点，则b的取值范围为______．
如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点可与B点或C点重合，分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是、、，则的最大值为______
，最小值为______
．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）
如图，在四边形ABCD中，，，，E，F分别为AD，CD的中点，连接BE，BF，延长BE交CD的延长线于点M．
求证：四边形ABCD为矩形；
若，，求BF的长度．结果可保留根号
如图，已知平行四边形ABCD，点E在AC的延长线上，连接BE、DE，过点D作交CA的延长线于点F，连接FB
求证：≌；
如果四边形ABCD是菱形，求证：四边形BEDF是菱形．
如图，工人师傅制作了一个正方形窗架，把窗架立在墙上之前，在上面钉了两块等长的木条GF与GE，E、F分别是AD、BC的中点．
钉这两块木条的作用是什么？
点一定是AB的中点吗？说明理由．
如图，ABCD是一张矩形纸片，，在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到．
若，求的度数
的面积能否小于若能，求出此时的度数若不能，试说明理由；
如何折叠能够使的面积最大请你用备用图探究可能出现的情况，并求最大值。
如图所示，在菱形ABCD中，，，为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有；
当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大或最小值．
在正方形ABCD中，点E是AD上一动点，分别交AB、CD于M，N，连接BE交MN于点O，过O作分别交AB、CD于P、Q．
探究：如图，当点E在边AD上时，请你动手测量三条线段AE、MP、NQ的长度，猜测AE与之间的数量关系，并证明你所猜测的结论；
探究：如图，若点E在DA的延长线上时，AE、MP、NQ之间的数量关系又是怎样？并证明你所猜测的结论．
再探究：如图，连接并延长BN交AD的延长线DG于H，若点E分别在线段DH和HG上时，判断AE，MP，NQ之间的数量关系又分别怎样？请直接写出结论．
答案和解析
【答案】C
解：菱形的两条对角线长分别为6cm、8cm，
，
故选：C．
2.【答案】B
解：，，
，
即．
故选B．
3.【答案】B
解：对角线相等的平行四边形是矩形，错误；
对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误；
有三个角是直角的四边形是矩形，正确；
四个角都相等的四边形是矩形，正确．
对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形，错误
正确的个数有3个；
故选B
4.【答案】C
解：如图：过点E作，延长FE交AD于点M
四边形ABCD是矩形
又
四边形ABFM，四边形DCFM是矩形
，，
，，，．
．
故选：C．
5.【答案】C
解：四边形ABCD是菱形，
，，
，
，
点E、F分别为AO、AB的中点，
为的中位线，
，
故选C．
6.【答案】A
解：连接BD、BF，延长AC交GE于H，连接BH，如图所示：
四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，，
，，，，，，
，，
是等边三角形，
，
，
四边形BNHM是矩形，，，
，当时，BH最小，
，
，
的最小值；
故选：A．
7.【答案】D
解：若，的四边形ABCD可能是平行四边形，也可能是任意四边形．
故选D．
8.【答案】D
解：如图所示，
四边形ABCD是正四边形，
；
，，
，，
，
选用的圆形铁片的直径最小要．
故选D．
9.【答案】A
解：如图所示：作，，则M、F、H在一条直线上．
为等边三角形，
．
．
．
为等边三角形，ABCD为正方形，
．
．
．
四边形EFGH的面积．
故选：A．
10.【答案】A
解：四边形ABCD是正方形，
，．
等边三角形，
，．
．
在和中，
，
≌，
故正确．
，
，
即故正确，
，
，即，
，
垂直平分故正确．
设，由勾股定理，得
，，
，
，
，
，
，故错误，
，
，
，故正确．
综上所述，正确的有4个，
故选：A．
11.【答案】
解：四边形ABCD是矩形，，，
由勾股定理得，，
，
，
点E、F分别是AO、AB的中点，
，
，
故答案为．
12.【答案】
解：菱形ABCD的顶点的坐标分别为，，
，
点
，
点
故答案为：
13.【答案】
解：，
，
，
正方形ABCD，
，，
，
，
在和中
，
，
，
阴影部分的面积为．
故答案为
14.【答案】或
解点A落在矩形对角线BD上，如图1所示．
矩形ABCD中，，
，，
．
根据折叠的性质得：，
，
∽，
，
即，
解得：．
点A落在矩形对角线AC上，如图2所示．
根据折叠的性质得：，，
，
∽，
，
即，
解得：．
故答案为：或．
15.【答案】
解：当P与C在BD的异侧时：连接CP交BD于M，
，，
到线段两端距离相等的点在垂直平分线上，
在直角中，，
，，
，
；
当P与C在BD的同侧时：连接CP并延长CP交BD于点M，
；
当P与M重合时，，与矛盾，舍去．
AP的长为或．
故答案为或．
16.【答案】2
解：由图知，阴影部分的面积等于正方形的面积减去和的面积．
而点P到BC的距离与点Q到AD的距离的和等于正方形的边长，
即和的面积的和等于正方形的面积的一半，
故阴影部分的面积．
故答案为：2．
17.【答案】
解：由题意，，，
根据等差点的定义可知，当直线与矩形MNGH有两个交点时，矩形GHMN的边上存在两个点与点P是等差点，
当直线经过点时，，
当直线经过点时，，
满足条件的b的范围为：．
故答案为
18.【答案】2；
解：
连接AC、DP，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：2，．
19.【答案】证明：在四边形ABCD中，，，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
四边形ABCD是矩形；
解：，
，
为AD的中点，
．
在和中
，
≌，
，
四边形ABCD是矩形，
，，
为CD的中点，
，
在中，由勾股定理得：．
20.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
证明：连接BD，如图所示：
由得：≌，
，
又，
四边形BEDF是平行四边形，
四边形ABCD是菱形，
，
即，
四边形BEDF是菱形．
21.【答案】解：因为三角形具有稳定性，钉上木条形成了两个三角形，
所以钉上木条是为了使床架稳定不变形；
点一定是AB的中点，理由如下：
四边形ABCD是正方形，
，．
、F分别是AD、BC的中点，
，．
．
在和中
，
≌．
．
点一定是AB的中点．
22.【答案】解：四边形ABCD是矩形，
．
．
，
，
．
不能．
过M点作，垂足为E，则．
，
，
又，
．
的面积．
的面积不可能小于．
分两种情况：
情况一：将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合．
，则．
由勾股定理得，
解得．
．
．
情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC．
，则．
同理可得．
，
．
的面积最大值为．
23.【答案】证明：连接AC，如下图所示，
四边形ABCD为菱形，，
，，
，
，
，
和为等边三角形，
，，
在和中，
?，
≌．
；
解：四边形AECF的面积不变，的面积发生变化．
理由：由得≌，
则，
故，是定值，
作于H点，则，
，
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，
又，则此时的面积就会最大．
．
即的面积最大值是．
24.【答案】解：．
证明：如图1，过P作于F，则，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
又，，
；
．
证明：如图2，过P作于F，则，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
又，，
；
如图所示，当点E在线段DH上时，存在．
理由：过P作于F，则，，
根据，，可得，
易证≌，
，
又，，
；
如图所示，点E在线段HG上时，存在．
理由：过P作于F，则，，
根据，，可得，
易证≌，
，
又，，
．
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精品试卷·第
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