2020-2021学年浙教版八年级上册等腰三角形专题培优（Word版 附答案）

2020-2021学年浙教版八年级上册等腰三角形专题培优
姓名
班级
学号
基础巩固
1.如图，已知等腰三角形ABC中，AB
=
AC，P，Q分别为AC，AB上的点，且AP
=
PQ
=
QB
=
BC，则∠PCQ的度数为（　　　）.
A.30°
B.36°
C.45°
D.37.5°
2.如图，在下列三角形中，若AB
=
AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（　　　）.
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①③④
3.如图，在△ABC中，AB
=
AC，AD
=
DE，∠BAD
=
20°，∠EDC
=
10°，则∠DAE等于（　　　）.
A.30°
B.40°
C.60°
D.80°
4.在△ABC中，CA
=
CB，∠ACB
=
120°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M
=
90°，∠MPN
=
30°）按如图放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB
=
α，斜边PN交AC于点D，在点P的滑动过程中，若△PCD是等腰三角形，则夹角α的大小是
_________
.
5.如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为点E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF，AF相交于点P，M.
（1）求证:AB
=
CD.
（2）若∠BAC
=
2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由
6.如图1，在△ABC中.AB
=
AC，点P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点E，F，H.易证PE
+
PF
=
CH.证明过程如下:如图1，连结AP.∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴S△ABP=
AB·PE，S△ACP=
AC·PF，S△ABC
=
AB·CH.
又∵S△ABP+
S△ACP=
S△ABC，∴AB·PE
+
AC·PF
=
AB·CH.
∵AB
=
AC，∴PE
+
PF
=
CH.
（1）如图2，当点P为BC延长线上的点时，其他条件不变，PE，PF，CH又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并加以证明.
（2）若∠A
=
30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且点P到直线AC的距离为PF，当PF
=
3时，则AB边上的高CH
=
_________
.点P到AB边的距离PE
=
_________
.
7.如图，在△ABC中，∠ABC
=
∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD
=
AE，连结DE.
（1）如图1，若∠B
=
∠C
=
35°，∠BAD
=
80°，求∠CDE的度数.
（2）如图2，若∠ABC
=
∠ACB
=
75°，∠CDE
=
18°，求∠BAD的度数.
（3）当点D在直线BC上（不与点B，C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由.
拓展提优
1.若实数m，n满足等式|m
-
2|
+
=
0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（　　　）.
A.12
B.10
C.8
D.6
2.如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB
=
AC，∠CAD
=
20°，则∠ACE的度数是（　　　）.
A.20°
B.35°
C.40°
D.70°
3.如图，在Rt△ABC中，∠C
=
90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（　　　）.
A.4
B.5
C.6
D.7
4.我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k.若k
=
，则该等腰三角形的顶角为
_________
度.
5.如图，∠BOC
=
9°，点A在OB上，且OA
=
1，按下列要求画图:以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n
=
_________
.
6.数学课上，张老师举了下面的例题:
例1:在等腰三角形ABC中，∠A
=
110°，求∠B的度数.（答案:35°）
例2:在等腰三角形ABC中，∠A
=
40°，求∠B的度数.（答案:40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题:
变式:在等腰三角形ABC中，∠A
=
80°，求∠B的度数.
（1）请你解答以上的变式题.
（2）解答（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC中，设∠A
=
x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围.
7.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点G，∠BGE
=
∠ADE.
（1）如图1，求证:AD
=
CD.
（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE
=
2DE，DE
=
EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍.
冲刺重高
1.如图，在△ABC中，∠BAC与∠BCA的平分线相交于点I，若∠B
=
35°，BC
=
AI
+
AC，则∠BAC的度数为（　　　）.
A.60°
B.70°
C.80°
D.90°
2.如图，在△ABC中，AB
=
AC，点P，Q分别在AC，AB上，且AP
=
PQ
=
QC
=
BC，则∠A的大小是
_________
.
3.如图，在△ABC中，AC
=
BC
>
AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成的△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为
_________
.
4.如图，在△ABC中，∠BAC
=
60°，∠C
=
40°，点P，Q分别在BC，CA上，AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线.求证:BQ
+
AQ
=
AB
+
BP.
5.如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连结AP并延长交BC于点E，连结BP并延长交AC于点F.
（1）求证:∠CAE
=
∠CBF.
（2）求证:AE
=
BF.
（3）以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG，如果存在点P，能使得S△ABC=
S△ABG，求∠ACB的取值范围.