浙教版九年级上册 数学上册第四章相似三角形易错题——最短路径（Word版 含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
浙教版九上数学相似三角形易错题——最短路径
一、单选题
1.如图，圆柱的高为8cm，底面半径为
cm，一只蚂蚁从点A沿圆柱外壁爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（?????????
）
A.?6cm???????????????????????????????????B.?8cm???????????????????????????????????C.?10cm???????????????????????????????????D.?12cm
2.如图，正方体的棱长为6cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点.一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是（?
）
A.?9?????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?12
3.如图，长方形的长为15，宽为10，高为20，点
离点
的距离为5，蚂蚁如果要沿着长方形的表面从点
爬到点
，需要爬行的最短距离是（???
）
A.?35????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?25????????????????????????????????????D.?
4.如图，一个长方体的长宽高分别是6米、3米、2米，一只蚂蚁沿长方体的表面从点A到点
所经过的最短路线长为(??????
）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?以上都不对
5.如图，开口玻璃罐长、宽、高分别为16、6和6，在罐內点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外长方形ABCD的中心H处，蚂蚁到达饼干的最短距离是多少（
???）
A.????????????????????????????????????B.?17???????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
6.如图，已知圆柱底面的周长为4
dm,圆柱的高为2
dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长的最小值为（???
）
A.??dm???????????????????????????B.??dm???????????????????????????C.??dm???????????????????????????D.??dm
7.如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为（
??）.
A.?13cm??????????????????????????????B.?cm??????????????????????????????C.?2
cm??????????????????????????????D.?20cm
8.如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=9cm，BC=6cm，BF=5cm，点M在棱AB上，且AM=3cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（??
）
A.?10cm????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?9cm
9.如图，O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上，一只蜗牛从点P出发，绕圆锥侧面沿最短路线爬行一圈回到点P，若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，则所得的侧面展开图是（???
）
A.??????????B.??????????C.??????????D.?
二、填空题
10.如图，圆柱的底面半径为24，高为7π，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程是________.
11.某校校门口有一个底面为等边三角形的三棱柱（如图）．学校计划在三棱柱的侧面上，从顶点A绕三棱柱侧面一周到顶点A＇安装灯带，已知此三棱柱的高为5m，底面边长为2m，则灯带的长度至少为________m．
12.如图，一个底面周长为24cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点A到点B所经过的最短路线长为________．
13.如图，长方体的底面边长分别为1厘米和4厘米，高为6厘米，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要________厘米．(结果用含n的代数式表示)
14.没有上盖的圆柱盒高为10cm,周长为32cm，点A距离下底面3cm.一只位于圆柱盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处.则蚂蚁需要爬行的最短路程的长为________cm.
15.如右图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则此最短路径的长为________.
16.如图所示，圆柱的高AB=15cm，底面周长为40cm，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是________.
17.如图，长方体的底面边长均为3
cm，高为5
cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要________cm.
18.如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=18cm，BC=12cm，BF=10cm，点M在棱AB上，且AM=6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为________.
19.如图，长方体的长为15厘米，宽为10厘米，高为20厘米，点B到点C的距离是5厘米。一只小虫在长方体表面从A爬到B的最短路程是________
三、作图题
20.如图，只蚂蚁要从正方体纸箱的一个顶点A沿表面爬行到顶点P。
（1）画出正方体的一种展开图。(可适当调整大小。)
（2）在展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线。
（3）在原纸箱图上画出蚂蚁爬行的最短路线。
四、综合题
21.如图，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定，我们把这个比值记作T（A），即
，如T（60°）＝1.
（1）理解巩固：T（90°）＝________，T（120°）＝________；
（2）学以致用：如图2，圆锥的母线长为9，底面直径PQ＝8，一只蚂蚁从P点这沿着圆锥的侧面爬行到点Q.
①求圆锥侧面展开图的扇形圆心角的数；
②求蚂蚁爬行的最短路径长（精确到0.1）.（参考数据：T（160°）≈1.97，T（80°）≈1.29，T（40°）≈0.68）
22.请阅读下列材料：
问题：如图（1），一圆柱的高为5dm，底面半径为5dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.小明设计了两条路线：
路线1：侧面展开图中的AC.如下图（2）所示：
设路线1的长度为
，则
，
路线2：高线AB
+
底面直径BC.如上图（1）所示：
设路线2的长度为
，则
，
∵
，
∴
∴
，
所以要选择路线2较短.
（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm，高AB为5dm”继续按前面的路线进行计算.请你帮小明完成下面的计算：
路线1：
________；
路线2：
________
∵
________
，
∴
________
?（填>或<）所以应选择路线________（填1或2）较短.
（2）请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r,高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.
23.如图1，2为同一长方体房间的示意图，图3为该长方体的表面展开图．
（1）蜘蛛在顶点A′处．
①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；
②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线A′GC和往墙面BB′C′C爬行的最近路线A′HC，试通过计算判断哪条路线最近．
（2）在图3中，半径为10
dm的⊙M与D′C′相切，圆心M到边CC′的距离为15
dm.蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线．若PQ与⊙M相切，试求PQ长度的范围．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
C
【解析】【解答】底面圆周长为
cm，底面半圆弧长为6cm，
展开图如图所示，连接AB，
∵BC=8cm，AC=6cm，
∴
故答案为：C.
【分析】这种求最短的一般都是空间想象，把圆柱体展开成平面的矩形.这个矩形长为底面周长,宽为圆柱体的高.两点之间直线最短.所以展开后画图连接AB，然后根据勾股定理，即可得解.
2.【答案】
B
【解析】【解答】解：如图，AB=
.
故答案为：B.
【分析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可.
3.【答案】
C
【解析】【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB=
，
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10；
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB=
，
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴AC=CD+AD=20+10=30；
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
∴AB=
，
∵25＜
＜
，
∴蚂蚁爬行的最短距离是25，
故答案为：C.
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答.
4.【答案】
C
【解析】【解答】解：如图所示，
此时：
；
此时，
此时，
∵
∴
为最短路径．
故答案为：C．
【分析】蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径．
5.【答案】
A
【解析】【解答】解：①若蚂蚁从平面ABCD和平面CDFE经过，
蚂蚁到达饼干的最短距离如图1：
H′E＝
，
②若蚂蚁从平面ABCD和平面BCEH经过，
则蚂蚁到达饼干的最短距离如图2：
H′E＝
∵17＞
∴蚂蚁到达饼干的最短距离是
，
故答案为：A．
【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．
6.【答案】
D
【解析】【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度.
∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，
∴AB=2dm，BC=BC′=2dm，
∴AC2=22+22=4+4=8，
∴AC=2
dm，
∴这圈金属丝的周长最小为2AC=4
dm.
故答案为：D.
【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可.
7.【答案】
D
【解析】【解答】解：如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B=
=
=20（cm）.
故答案为：D.
【分析】立体图形上的最短问题，如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，从而根据勾股定理即可算出答案.
8.【答案】
A
【解析】【解答】如图1.
∵AB=9cm，BC=GF=6cm，BF=5cm，∴BM=9﹣3=6，BN=5+3=8，∴MN=
=10；
如图2.∵AB=9cm，BC=GF=6cm，BF=5cm，∴PM=6+3=9，NP=5，∴MN=
=
.
∵10＜
，∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为10.
故答案为：A.
【分析】利用平面展开图有两种情况需要比较，画出图形利用勾股定理求出MN的长，然后作比较即可.
9.【答案】
D
【解析】【解答】解：∵一只蜗牛从点P出发，绕圆锥侧面沿最短路线，
∴蜗牛爬行的最短路线时一条线段，故A，B不符合题意；
∵一只蜗牛从点P出发，绕圆锥侧面沿最短路线爬行一圈回到点P，
∴C不符合题意；D符合题意；
故答案为：D.
【分析】抓住关键的已知条件：一只蜗牛从点P出发，绕圆锥侧面沿最短路线爬行一圈回到点P，再利用两点之间线段最短，可得答案。
二、填空题
10.【答案】
25π
【解析】【解答】解：如图所示：
沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，
则AB的长是蚂蚁在圆柱侧面从A点爬到B点的最短路程，
AC＝
×2π×24＝24π，∠C＝90°，BC＝7π，
由勾股定理得：AB＝
＝25π.
故答案为：25π.
【分析】沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱侧面从A点爬到B点的最短路程，求出AC和BC的长，根据勾股定理求出斜边AB即可.
11.【答案】
【解析】【解答】解：
解：将三棱柱展开如图，连接A’A，则A’A的长度就是彩带的最短长度，
三棱柱的高为5m，底面边长为2m，
灯带的长度至少为：
.
故答案为
.
【分析】先画出三棱柱的侧面展开图，再根据勾股定理求解.
12.【答案】
13cm
【解析】【解答】解：将圆柱体的侧面展开，连接AB．如图所示：
由于圆柱体的底面周长为24cm，
则AD＝24×
＝12cm．
又因为AC＝5cm，
所以AB＝
＝13cm．
即蚂蚁沿表面从点A到点B所经过的最短路线长为13cm．
故答案为13cm.
【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再利用两点之间线段最短解答.
13.【答案】
【解析】【解答】解：将长方体展开如图
∵
长方体的底面边长分别为1厘米和4厘米，高为6厘米
∴AD=1×2+4×2=10，CD=6，
∵从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，
∴相当于直角三角形的两直角边分别为10n和6
∴所用细线最短需要cm.
故答案为：.
【分析】利用两点之间线段最短，将长方体展开，由已知可得到AD，CD的长，再根据从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，可得到相当于直角三角形的两直角边分别为10n和6，然后利用勾股定理即可求解。
14.【答案】
20
【解析】【解答】解：如图，将圆柱侧面展开，得到长方形MNQP，作点B关于PQ的对称点B′，点B与点B′关于PQ对称，
可得AC=16cm，B′C=12cm，
则最短路程为AB′=
cm.
故答案为：20
【分析】将圆柱侧面展开，得到长方形MNQP，作点B关于PQ的对称点B′，构造直角三角形ACB′，根据勾股定理求出AB′=20cm，即是所求.
15.【答案】
【解析】【解答】如图，将正方体的三个侧面展开，连结AB，则AB最短，
.
【分析】将正方体展开，连接AB，根据两点之间线段最短，可知AB最短，然后利用勾股定理求出AB的长。
16.【答案】
25cm
【解析】【解答】把圆柱侧面展开，展开图如下图所示，
点A、C的最短距离为线段AC的长．
在RT△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=15cm，AD为底面半圆弧长，AD=40×
cm，
所以AC=
，
此时考虑一种情况就是蚂蚁在圆柱体上方走直径这一情况：即路程为AB+BC=15+
>25
∴最短路径为25cm．
故答案为：25cm．
【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
17.【答案】
13
【解析】【解答】解：将长方体4个侧面展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，AB=
.
故答案为：13.
【分析】立体图形上求最短距离问题，需要展开成平面图形来研究，根据平面图形上两点之间线段最短，利用勾股定理即可算出答案.
18.【答案】
20cm
【解析】【解答】如图1，
∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm，
∴BM=18﹣6=12，BN=10+6=16，
∴MN=
=20；
如图2，
∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm，
∴PM=18﹣6+6=18，NP=10，
∴MN=
=2
.
∵20＜2
∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为20.
故答案为：20cm
【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可.
19.【答案】
25厘米
【解析】【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：
∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5，
∴BD=CD+BC=10+5=15cm，AD=20cm，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB=
=25cm；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2：
∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5，
∴BD=CD+BC=20+5=25cm，AD=10cm，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB=
cm；
只要把长方体的右侧表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：
∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，
∴AC=CD+AD=20+10=30cm，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
∴AB=
cm；
∵25＜5
＜5
，
∴自A至B在长方体表面的连线距离最短是25cm.
故答案为：25厘米
【分析】求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答.
三、作图题
20.【答案】
（1）正方体的展开平如图所示：
（2）如图，连接AP即为蚂蚁爬行的最短路线；
（3）如图：共有3条路线，即AEP、AMP、ANP。
【解析】【分析】（1）画出其中一种正方体的展开图即可；
（2）在正方体的展开图上，根据线段的性质可知：连接A、P两点即可得最短路线；
（3）共有三条路线AEP、AMP、ANP，画出即可。
四、综合题
21.【答案】
（1）；
（2）解：①∵圆锥的底面直径PQ＝8，
∴圆锥的底面周长为8π，即侧面展开图扇形的弧长为8π，
设扇形的圆心角为n°，
则
＝8π，
解得：n＝160，
∴圆锥侧面展开图的扇形圆心角为160°；
②∵160°÷2＝80°，
∴T（80°）≈1.29，
∴蚂蚁爬行的最短路径长为1.29×9≈11.61.
【解析】【解答】解：（1）如图1，∠A＝90°，AB＝AC，
则
∴T（90°）＝
，
如图2，∠A＝120°，AB＝AC，作AD⊥BC于D，则∠BAD＝60°，
∴BD＝
AB，
∴BC＝
AB，
∴T（120°）＝
；
故答案为：
，
；
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可；（2）①根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；
②根据T（A）的定义解答即可.
22.【答案】
（1）25+π2；49；＜；＜；1
（2）解：l12=AC2=AB2+BC2=h2+（πr）2
，
l22=（AB+BC）2=（h+2r）2
，
∴l12-l22=h2+（πr）2-（h+2r）2=r（π2r-4r-4h）=r[（π2-4）r-4h]，
当r[（π2-4）r-4h]＜0时，r＜
，此时l12＜l22
，
即l1＜l2；
当r[（π2-4）r-4h]=0时，r=
，此时l12=l22
，
即l1=l2；
当r[（π2-4）r-4h]＞0时，r＞
，此时l12＞l22
，
即l1＞l2；
综上可知：当r＜
，l1＜l2；当r=
，l1=l2；当r＞
，l1＞l2.
【解析】【解答】解：（1）路线1：l12=AC2=25+π2；
路线2：l22=（AB+BC）2=49.
∵l12＜l22
，
∴l1＜l2
，
∴选择路线1较短.
故答案为：25+π2；49；＜；＜；1；
【分析】（1）根据勾股定理易得路线1：l12=AC2=高2+底面周长一半2；路线2：l22=（高+底面直径）2
，
然后比较即可；（2）先分别求出l12和l22的值，进而得出l12-l22的值，然后分三种情况计算即可.
23.【答案】
（1）解：①如图1，连结A′B，则线段A′B就是所求作的最近路线．
②两种爬行路线如图2所示．
由题意可得，Rt△A′C′C2中，路线A′HC2的长度为
＝
＝
(dm)，
Rt△A′B′C1中，路线A′GC1的长度为
＝
＝
(dm)．
∵
＞
，∴路线A′GC1更近．
（2）解：连结MQ，∵PQ为⊙M的切线，点Q为切点，∴MQ⊥PQ，
∴在Rt△PQM中，有PQ2＝PM2－QM2＝PM2－100.
如图3，当MP⊥AB时，MP最短，PQ取得最小值，
此时MP＝30＋20＝50(dm)，∴PQ＝
＝
＝20
(dm)；
如图4当点P与点A重合时，MP最长，PQ取得最大值，过点M作MN⊥AB，垂足为N，
由题意可得PN＝25
dm，MN＝50
dm，∴Rt△PMN中，PM2＝PN2＋MN2＝252＋502
，
∴Rt△PQM中，PQ＝
＝
＝55(dm)．综上所述，PQ长度的范围是20
?dm≤PQ≤55
dm.
【解析】【分析】（1）①利用两点之间线段最短，可以画出蜘蛛为捉住苍蝇的最短路线；②将长方体展开，利用两点之间线段最短，根据勾股定理求出路线A′HC2的长度及路线A′GC1的长度，再比较大小，可得出最短的路径。
（2）连结MQ，利用切线的性质，可证得MQ⊥PQ，利用勾股定理可求出PQ2＝PM2－100，再分情况讨论：如图3，当MP⊥AB时，MP最短，PQ取得最小值，可得到MP的长，利用勾股定理求出PQ的长；如图4当点P与点A重合时，MP最长，PQ取得最大值，过点M作MN⊥AB，垂足为N，由题意可求出PM2的值，Rt△PQM中，利用勾股定理求出PQ的长，综上所述，可得出PQ取值范围。