1.3 二次函数的性质同步培优练习（含解析）

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专题1.4 二次函数的性质
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋?西城区校级期中）下列关于二次函数的说法错误的是（　　）
A．二次函数y＝（x+2）2﹣2的顶点坐标是（﹣2，﹣2）
B．抛物线y＝﹣x2+2x+1，当x＜0时y随x的增大而增大
C．函数y＝2x2+4x﹣3的图象的最低点坐标为（﹣1，﹣5）
D．点A（3，0）不在抛物线y＝x2﹣2x﹣3的图象上
2．（2019秋?南岗区校级期中）抛物线y＝x2+2x+2的对称轴是（　　）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线y＝﹣1 D．直线y＝1
3．（2019秋?任城区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如表所示：
x … 2 3 4 5 6 …
y … 4 1 0 1 4 …
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当3＜x1＜4，5＜x2＜6时，y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2
4．（2019秋?思明区校级期中）对于二次函数y＝x2﹣2x+3的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．当x＜1时，y随x的增大而减小
D．函数最大值为4
5．（2019秋?鼓楼区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣4x+2．若﹣1≤x≤1时，则y的取值范围（　　）
A．y≥7 B．y≤﹣1 C．﹣1≤y≤7 D．﹣2≤y≤7
6．（2019秋?临沭县期中）二次函数y＝﹣x2+（6﹣m）x+8，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小；当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，则m的值为（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
7．（2020?蜀山区一模）二次函数y＝x2+px+q，当0≤x≤1时，此函数最大值与最小值的差（　　）
A．与p、q的值都有关 B．与p无关，但与q有关
C．与p、q的值都无关 D．与p有关，但与q无关
8．（2020?宁波模拟）已知0＜x＜1，10＜y＜20，且y随x的增大而增大，则y与x的关系式不可以是（　　）
A．y＝10x+10 B．y＝﹣10（x﹣1）2+20
C．y＝10x2+10 D．y＝﹣10x+20
9．（2020?下城区一模）已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，说法正确的是（　　）
A．若图象经过点（0，1），则a＜0
B．若x时，则y随x的增大而增大
C．若（﹣2020，y1），（2020，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2
D．若图象上两点（，y1），（n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则m＜2
10．（2020?长春模拟）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3m．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间近似满足函数关系y＝ax2+x+c（a≠0），则水流喷出的最大高度为（　　）
A．1米 B．米 C．2米 D．米
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020?长春模拟）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面6m，小孔顶点距水面3m．当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为　 　m．
12．（2020?老河口市模拟）某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直（如图所示），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是　 　m．
13．（2020春?北碚区校级期末）二次函数y＝x2﹣16x﹣8的最小值是　 　．
14．（2020?天河区模拟）当二次函数y＝﹣x2+4x﹣6有最大值时，x＝　 　．
15．（2020?徐州一模）若二次函数y＝x2+mx+3的图象关于直线x＝1对称，则m的值为　 　．
16．（2020?长春一模）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，点P的坐标为　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2019秋?大观区校级期中）当x＝1时，二次函数y＝ax2+bx+c取得最小值为﹣3，且函数图象与y轴交于点C（0，1）
（1）求此函数解析式；
（2）若A（m，y1），B（m+2，y2）两点都在函数图象上，且y1＜y2，直接写出m的取值范围　 　．
18．（2019秋?昌平区校级期中）如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，﹣1），（0，3）
（1）求二次函数的解析式；
（2）写出二次函数的对称轴和顶点坐标．
19．（2019秋?东城区校级期中）抛物线y1＝x2+bx+c与直线y2＝2x+m相交于A（1，4）、B（﹣1，n）两点．
（1）求y1和y2的解析式；
（2）直接写出y1﹣y2的最小值．
20．（2019秋?思明区校级期中）抛物线y1＝x2+bx+c与直线y2＝﹣2x+m相交于A（﹣2，n）、B（2，﹣3）两点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若点D为抛物线的顶点，求三角形ABD的面积．
21．（2019秋?德城区校级期中）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，AB＝8m，BC＝2m，隧道的最高点P位于AB的中点的正上方，且与AB的距离为4m．
（1）建立如图所示的坐标系，求图中抛物线的解析式；
（2）若隧道为单向通行，一辆高4米、宽3米的火车能否从隧道内通过？请说明理由．
22．（2019秋?西城区校级期中）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．一名运动员起跳后，他的飞行路线如图所示，当他的水平距离为15m时，达到飞行的最高点C处，此时的竖直高度为45m，他落地时的水平距离（即OA的长）为60m，求这名运动员起跳时的竖直高度（即OB的长）．
23．（2020?威海）已知，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1的顶点为A．点B的坐标为（3，5）．
（1）求抛物线过点B时顶点A的坐标；
（2）点A的坐标记为（x，y），求y与x的函数表达式；
（3）已知C点的坐标为（0，2），当m取何值时，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1与线段BC只有一个交点．
24．（2020?临沂）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2（a≠0）．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
（3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
专题1.4二次函数的性质解析版
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1．（2019秋?西城区校级期中）下列关于二次函数的说法错误的是（　　）
A．二次函数y＝（x+2）2﹣2的顶点坐标是（﹣2，﹣2）
B．抛物线y＝﹣x2+2x+1，当x＜0时y随x的增大而增大
C．函数y＝2x2+4x﹣3的图象的最低点坐标为（﹣1，﹣5）
D．点A（3，0）不在抛物线y＝x2﹣2x﹣3的图象上
【分析】利用二次函数的性质对A进行判断；先确定抛物线y＝﹣x2+2x+1的对称轴为直线x＝1，再利用二次函数的性质对B进行判断；先配方得到y＝2x2+4x﹣3＝2（x+1）2﹣5，则利用二次函数的性质对C进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对D进行判断．
【解析】A、二次函数y＝（x+2）2﹣2的顶点坐标是（﹣2，﹣2），所以A选项的说法正确；
B、抛物线y＝﹣x2+2x+1的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向下，则当x＜0时y随x的增大而增大，所以B选项的说法正确；
C、函数y＝2x2+4x﹣3＝2（x+1）2﹣5，则抛物线的最低点坐标为（﹣1，﹣5），所以C选项的说法正确；
D、当x＝3时，y＝x2﹣2x﹣3＝0，则点A（3，0）在抛物线y＝x2﹣2x﹣3的图象上，所以D选项的说法不正确．
故选：D．
2．（2019秋?南岗区校级期中）抛物线y＝x2+2x+2的对称轴是（　　）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线y＝﹣1 D．直线y＝1
【分析】利用二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x可求出答案．
【解析】y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x，代入数值求得对称轴是直线x＝﹣1；
故选：B．
3．（2019秋?任城区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如表所示：
x … 2 3 4 5 6 …
y … 4 1 0 1 4 …
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当3＜x1＜4，5＜x2＜6时，y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2
【分析】观察表中数据可得到抛物线的对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上，然后比较点A、点B离直线x＝4的距离的大小，再根据二次函数的性质可得到y1＜y2．
【解析】抛物线的对称轴为直线x＝4，
∵3＜x1＜4，5＜x2＜6，
∴点A（x1，y1）到直线x＝4的距离比点B（x2，y2）到直线x＝4的距离要小，
而抛物线的开口向上，
∴y1＜y2．
故选：B．
4．（2019秋?思明区校级期中）对于二次函数y＝x2﹣2x+3的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．当x＜1时，y随x的增大而减小
D．函数最大值为4
【分析】将解析式配方成顶点式，再根据二次函数的性质可得抛物线开口方向、对称轴方程和顶点坐标及最值情况，据此求解可得．
【解析】∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴由a＝1＞0知抛物线开口向上，顶点坐标是（1，2），对称轴是直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而减小，函数有最小值为2，无最大值，
∴C选项正确；
故选：C．
5．（2019秋?鼓楼区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣4x+2．若﹣1≤x≤1时，则y的取值范围（　　）
A．y≥7 B．y≤﹣1 C．﹣1≤y≤7 D．﹣2≤y≤7
【分析】﹣1≤x≤1在对称轴的左侧，然后确定﹣1和1的函数值，即可确定y的范围．
【解析】∵二次函数y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，
∴函数的对称轴是x＝2，顶点为（2，﹣2），有最小值﹣2，
当x＝﹣1时，y＝7，当x＝1时，y＝﹣1，
∴若﹣1≤x≤1时，则y的取值范围是：﹣1≤y≤7．
故选：C．
6．（2019秋?临沭县期中）二次函数y＝﹣x2+（6﹣m）x+8，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小；当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，则m的值为（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线开口向下时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，而在对称轴左侧，y随x的增大而增大，则可得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据对称轴方程即可求出m的值．
【解析】∵当x＞﹣2时，y随x的增大而减小；当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，
而a＝﹣1＜0，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∴2，
∴m＝10．
故选：A．
7．（2020?蜀山区一模）二次函数y＝x2+px+q，当0≤x≤1时，此函数最大值与最小值的差（　　）
A．与p、q的值都有关 B．与p无关，但与q有关
C．与p、q的值都无关 D．与p有关，但与q无关
【分析】先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再分别进行讨论，即可得出函数y的最大值与最小值即可得到结论．
【解析】∵二次函数y＝x2+px+q＝（x）2，
∴该抛物线的对称轴为x，且a＝1＞0，
当x0，
∴当x＝0时，二次函数有最小值为：q，
∴当x＝1时，二次函数有最大值为：1+p+q，
∴函数最大值与最小值的差为1+p；
当x1，
∴当x＝0时，二次函数有最大值为：q，
∴当x＝1时，二次函数有最小值为：1+p+q，
∴函数最大值与最小值的差为﹣1﹣p；
当0≤x1，
∴当x＝0时，二次函数有最大值为：q，
∴当x＝1时，二次函数有最小值为：1+p+q，
∴函数最大值与最小值的差为﹣1﹣p；
综上所述，此函数最大值与最小值的差与p有关，但与q无关，
故选：D．
8．（2020?宁波模拟）已知0＜x＜1，10＜y＜20，且y随x的增大而增大，则y与x的关系式不可以是（　　）
A．y＝10x+10 B．y＝﹣10（x﹣1）2+20
C．y＝10x2+10 D．y＝﹣10x+20
【分析】根据二次函数和一次函数的性质，A、B、C选项都符合当0＜x＜1，10＜y＜20，且y随x的增大而增大，即可进行判断．
【解析】A．y＝10x+10，
当 0＜x＜1，10＜y＜20时，y随x的增大而增大，
所以A选项正确；
B．y＝﹣10（x﹣1）2+20，
当 0＜x＜1，10＜y＜20时，y随x的增大而增大，
所以B选项正确；
C．y＝10x2+10，
当 0＜x＜1，10＜y＜20时，y随x的增大而增大，
所以C选项正确；
D．y＝﹣10x+20，
当 0＜x＜1，10＜y＜20时，y随x的增大而减小，
所以D选项错误．
故选：D．
9．（2020?下城区一模）已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，说法正确的是（　　）
A．若图象经过点（0，1），则a＜0
B．若x时，则y随x的增大而增大
C．若（﹣2020，y1），（2020，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2
D．若图象上两点（，y1），（n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则m＜2
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解析】∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，
若图象经过点（0，1），则1＝a（0+1）（0﹣m），得1＝﹣am，
∵a＜0，1＜m＜2，
∴﹣1＜a，故选项A错误；
∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），a＜0，
∴该函数的对称轴为直线x，
∴0，
∴当x时，y随x的增大而增大，故选项B错误；
∴若（﹣2020，y1），（2020，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2，故选项C正确；
∴若图象上两点（，y1），（n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则1＜m，故选项D错误；
故选：C．
10．（2020?长春模拟）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3m．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间近似满足函数关系y＝ax2+x+c（a≠0），则水流喷出的最大高度为（　　）
A．1米 B．米 C．2米 D．米
【分析】由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度．
【解析】由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），
把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：
，
解得：，
∴函数表达式为：yx2+x，
（x﹣1）2+2，
∵a＜0，故函数有最大值，
∴当x＝1时，y取得最大值，此时y＝2，
答：水流喷出的最大高度为2米．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020?长春模拟）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面6m，小孔顶点距水面3m．当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为　10　m．
【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大抛物线的解析式，然后令y＝3，求出相应的x的值，即可得到当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度．
【解析】如右图所示，
点C为抛物线顶点，坐标为（0，6），则点A的坐标为（﹣10，0），点B的坐标为（10，0），
设抛物线ACB的函数解析式为y＝ax2+6，
∵点A在此抛物线上，
∴0＝a×102+6，
解得，a，
即抛物线ACB的函数解析式为yx2+6，
当y＝3时，3x2+6，
解得，x，
∴当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为：5（﹣5）＝10（m），
故答案为：10．
12．（2020?老河口市模拟）某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直（如图所示），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是　3　m．
【分析】以地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，把题中已知点代入，求出解析式后，令y＝0，即可解答．
【解析】地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
设抛物线解析式：y＝a（x﹣1）2，
把点A（0，5）代入抛物线解析式得：
a，
∴抛物线解析式：
y（x﹣1）2．
当y＝0时，x1＝﹣1（舍去），x2＝3．
∴OB＝3（m）．
故答案为3．
13．（2020春?北碚区校级期末）二次函数y＝x2﹣16x﹣8的最小值是　72　．
【分析】化成顶点式，根据二次函数的性质即可求得．
【解析】y＝x2﹣16x﹣8＝（x﹣8）2﹣72，
由于函数开口向上，因此函数有最小值，且最小值为﹣72，
故答案为：﹣72．
14．（2020?天河区模拟）当二次函数y＝﹣x2+4x﹣6有最大值时，x＝　2　．
【分析】把二次函数整理成顶点式形式，然后解答即可．
【解析】∵y＝﹣x2+4x﹣6，
＝﹣（x2﹣4x+4）+4﹣6，
＝﹣（x﹣2）2﹣2，
∴当x＝2时，二次函数取得最大值．
故答案为：2．
15．（2020?徐州一模）若二次函数y＝x2+mx+3的图象关于直线x＝1对称，则m的值为　﹣2　．
【分析】代入对称轴公式直接求得m的值即可．
【解析】∵二次函数y＝x2+mx+3的图象关于直线x＝1对称，
∴对称轴为：x1，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
16．（2020?长春一模）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，点P的坐标为　（0，）　．
【分析】首先确定点A和点B的坐标，然后根据轴对称，可以求得使得△PAB的周长最小时点P的坐标．
【解析】，
解得，或，
∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），
∴AB3，
作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△PAB的周长最小，
点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5），
设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
∴直线A′B的函数解析式为yx，
当x＝0时，y，
即点P的坐标为（0，），
故答案为：（0，）．
三、解答题（本大题共7小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2019秋?大观区校级期中）当x＝1时，二次函数y＝ax2+bx+c取得最小值为﹣3，且函数图象与y轴交于点C（0，1）
（1）求此函数解析式；
（2）若A（m，y1），B（m+2，y2）两点都在函数图象上，且y1＜y2，直接写出m的取值范围　m＞0　．
【分析】（1）根据题意设函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，然后代入点C（0，1），利用待定系数法即可求得；
（2）分别把A（m，y1），B（m+2，y2）两点代入y＝4（x﹣1）2﹣3，得到y2﹣y1＝[4（m+1）2﹣3]﹣[4（m﹣1）2﹣3]＝16m＞0，解得即可．
【解析】（1）∵x＝1时，二次函数y＝ax2+bx+c取得最小值为﹣3，
∴抛物线开口向上，顶点为（1，﹣3），
设函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，代入点C（0，1）得，1＝a﹣3，
解得a＝4，
∴此函数解析式为y＝4（x﹣1）2﹣3；
（2）∵A（m，y1），B（m+2，y2）两点都在函数y＝4（x﹣1）2﹣3的图象上，
∴y1＝4（m﹣1）2﹣3；，y2＝4（m+1）2﹣3，
∵y1＜y2，
∴y2﹣y1＝[4（m+1）2﹣3]﹣[4（m﹣1）2﹣3]＝16m＞0，
∴m＞0，
∴m＞0时，y1＜y2，
故答案为m＞0．
18．（2019秋?昌平区校级期中）如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，﹣1），（0，3）
（1）求二次函数的解析式；
（2）写出二次函数的对称轴和顶点坐标．
【分析】（1）把三个点的坐标代入y＝ax2+bx+c，得出方程组，求出方程组的解即可．
（2）化成顶点式即可求得．
【解析】（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，﹣1），（0，3）
∴代入得：
解得：a＝1，b＝﹣4，c＝3，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴二次函数的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1）．
19．（2019秋?东城区校级期中）抛物线y1＝x2+bx+c与直线y2＝2x+m相交于A（1，4）、B（﹣1，n）两点．
（1）求y1和y2的解析式；
（2）直接写出y1﹣y2的最小值．
【分析】（1）把A的坐标代入直线y2＝2x+m求得m的值，然后代入B（﹣1，n）求得n的值，最后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）求得y1﹣y2＝x2﹣1，根据二次函数的性质即可求得最小值．
【解析】（1）∵直线y2＝2x+m经过点A（1，4），
∴4＝2×1+m．
∴m＝2．
∴y2＝2x+2，
∵直线y2＝2x+2经过点B（﹣1，n），
∴n＝﹣2+2＝0；
∴B（﹣1，0），
∵抛物线y1＝x2+bx+c过点A和点B，
∴，解得．
∴y1＝x2+2x+1．
（2）y1﹣y2＝（x2+2x+1）﹣（2x+2）＝x2﹣1，
∴y1﹣y2的最小值是﹣1．
20．（2019秋?思明区校级期中）抛物线y1＝x2+bx+c与直线y2＝﹣2x+m相交于A（﹣2，n）、B（2，﹣3）两点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若点D为抛物线的顶点，求三角形ABD的面积．
【分析】（1）把B的坐标代入直线y2＝﹣2x+m求得m的值，然后代入A（﹣2，n）求得n的值，最后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）求得顶点D的坐标，再求得对称轴与直线的交点C，然后根据S△ABD＝S△ACD+S△BCD求得即可．
【解析】（1）∵直线y2＝﹣2x+m经过点B（2，﹣3），
∴﹣3＝﹣2×2+m．
∴m＝1．
∵直线y2＝﹣2x+1经过点A（﹣2，n），
∴n＝4+1＝5；
∵抛物线y1＝x2+bx+c过点A和点B，
∴，
∴．
∴这条抛物线的解析式为y1＝x2﹣2x﹣3．
（2）如图，设对称轴与直线y2＝﹣2x+1的交点为C，
∵y1＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点D为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1，
把x＝1代入y2＝﹣2x+1得，y＝﹣1，
∴C点的坐标为（1，1），
∴CD＝﹣1﹣（﹣4）＝3，
∴S△ABD＝S△ACD+S△BCD3×（2+2）＝6．
21．（2019秋?德城区校级期中）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，AB＝8m，BC＝2m，隧道的最高点P位于AB的中点的正上方，且与AB的距离为4m．
（1）建立如图所示的坐标系，求图中抛物线的解析式；
（2）若隧道为单向通行，一辆高4米、宽3米的火车能否从隧道内通过？请说明理由．
【分析】（1）由顶点坐标（4，6）和点A的坐标，即可求解；
（2）令y＝4，则有，解得：，，，即可求解．
【解析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标（4，6），
设抛物线的方程为y＝a（x﹣4）2+6，
又因为点A（0，2）在抛物线上，
所以有2＝a（0﹣4）2+6．
所以．
因此有：；
（2）令y＝4，则有，
解得：，，，
∴货车可以通过．
22．（2019秋?西城区校级期中）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．一名运动员起跳后，他的飞行路线如图所示，当他的水平距离为15m时，达到飞行的最高点C处，此时的竖直高度为45m，他落地时的水平距离（即OA的长）为60m，求这名运动员起跳时的竖直高度（即OB的长）．
【分析】利用待定系数法确定抛物线的解析式后求得与y轴的交点即可确定本题的答案．
【解析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
根据题意得：抛物线的顶点坐标为（15，45），
∴y＝a（x﹣15）2+45，
∵与x轴交于点A（60，0），
∴0＝a（60﹣15）2+45，
解得：a，
∴解析式为y（x﹣15）2+45，
令x＝0得：y（0﹣15）2+45＝40，
∴点B的坐标为（0，40），
∴这名运动员起跳时的竖直高度为40米．
23．（2020?威海）已知，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1的顶点为A．点B的坐标为（3，5）．
（1）求抛物线过点B时顶点A的坐标；
（2）点A的坐标记为（x，y），求y与x的函数表达式；
（3）已知C点的坐标为（0，2），当m取何值时，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1与线段BC只有一个交点．
【分析】（1）根据待定系数法求得解析式，然后把解析式化成顶点式即可求得；
（2）化成顶点式，求得顶点坐标，即可得出y与x的函数表达式；
（3）把C（0，2）代入y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1，求得m＝1或﹣3，结合（1）根据图象即可求得．
【解析】（1）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1过点B（3，5），
∴把B（3，5）代入y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1，整理得，m2﹣4m+3＝0，
解，得m1＝1，m2＝3，
当m＝1时，y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
其顶点A的坐标为（1，1）；
当m＝3时，y＝x2﹣6x+14＝（x﹣3）2+5，
其顶点A的坐标为（3，5）；
综上，顶点A的坐标为（1，1）或（3，5）；
（2）∵y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1＝（x﹣m）2+2m﹣1，
∴顶点A的坐标为（m，2m﹣1），
∵点A的坐标记为（x，y），
∴x＝m，
∴y＝2x﹣1；
（3）由（2）可知，抛物线的顶点在直线y＝2x﹣1上运动，且形状不变，
由（1）知，当m＝1或3时，抛物线过B（3，5），
把C（0，2）代入y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1，得m2+2m﹣1＝2，
解，得m＝1或﹣3，
所以当m＝1或﹣3时，抛物线经过点C（0，2），
如图所示，当m＝﹣3或3时，抛物线与线段BC只有一个交点（即线段CB的端点），
当m＝1时，抛物线同时过点B、C，不合题意，
所以m的取值范围是﹣3≤m≤3且m≠1．
24．（2020?临沂）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2（a≠0）．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
（3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
【分析】（1）把解析式化成顶点式即可求得；
（2）根据顶点式求得坐标，根据题意得到关于a的方程解方程求得a的值，从而求得抛物线的解析式；
（3）根据对称轴得到其对称点，再根据二次函数的增减性写出m的取值．
【解析】（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2＝a（x﹣1）2+2a2﹣a﹣3．
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）∵抛物线的顶点在x轴上，
∴2a2﹣a﹣3＝0，
解得a或a＝﹣1，
∴抛物线为yx2﹣3x或y＝﹣x2+2x﹣1；
（3）∵抛物线的对称轴为x＝1，
则Q（3，y2）关于x＝1对称点的坐标为（﹣1，y2），
∴当a＞0，﹣1＜m＜3时，y1＜y2；当a＜0，m＜﹣1或m＞3时，y1＜y2．
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