1.2.2 二次函数的图像同步培优练习（含解析）

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专题1.3二次函数的图象（2）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋?苍溪县期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax﹣bc的图象大致是（　　）
A．B． C．D．
2．（2019秋?太仓市期中）函数y＝ax+b和y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，且a≠0）在同一直角坐标系内的图象可能是（　　）
A．B． C．D．
3．（2018秋?渝中区校级期中）抛物线y＝﹣x2+mx+4﹣m2的图象如图所示，则m的值为（　　）
A．±2 B．4 C．2 D．﹣2
4．（2020?成都模拟）二次函数y＝﹣x2+ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是（　　）
A．a＝4
B．当x＞2.5时，y随x的增大而减小
C．当x＝﹣1时，b＞5
D．当b＝8时，函数最大值为10
5．（2020?宝安区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为P（﹣1，0），则下列结论错误的是（　　）
A．b＞0
B．a＝c
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2
6．（2020?成都模拟）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+8，下列结论：①图象的开口向下；②图象的对称轴是直线x＝1；③y的最大值是9；④图象与y轴的交点坐标为（0，﹣8）；⑤当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①④⑤
7．（2020?岐山县二模）若抛物线y＝x2+mx+n的顶点在x轴上，且过点A（a，b），B（a+6，b），则b的值为（　　）
A．9 B．6 C．3 D．0
8．（2020?宁波模拟）已知点P（m，n）在抛物线y＝a（x﹣5）2+9（a≠0）上，当3＜m＜4时，总有n＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
9．（2020?广陵区二模）在二次函数y＝﹣x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5
y ﹣14 ﹣7 ﹣2 2 m n ﹣7 ﹣14
则m、n的大小关系为（　　）
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法确定
10．（2020?孝感）将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（　　）
A．y＝﹣x2﹣2 B．y＝﹣x2+2 C．y＝x2﹣2 D．y＝x2+2
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020?立山区二模）若二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+m的顶点在x轴上，则m＝　 　．
12．（2020?玄武区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
若点P（m2﹣2，y1）、Q（m2+4，y2）在抛物线上，则y1　 　y2．（选填“＞”、“＜”或“＝”）
13．（2020?海珠区一模）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0）、B（1，0）两点，则该抛物线的顶点坐标是　 　．
14．（2018秋?顺庆区校级月考）某同学用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格由于粗心他算错了其中一个y的值，则这个错误的数值是　 　．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …
15．（2020春?海淀区校级期末）二次函数y＝x2﹣4x+5﹣m2的图象过点（0，4），则m的值为　 　．
16．（2020?新疆三模）若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是　 　．（用“＜”号表示）
17．（2020?龙岩模拟）关于x的方程x2﹣4x﹣t＝0在﹣1≤x≤4范围内有两个不等实数根，则实数t的取值范围是　 　．
18．（2020?牡丹江）将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣11的值是　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020?温州）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．
（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．
20．（2019秋?西城区校级期中）已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．
（1）与x轴的交点坐标是　 　，顶点坐标是　 　；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
x …




…
y …




…
（3）结合图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是　 　．
21．（2019秋?西城区校级期中）已知二次函数y＝﹣2x2+8x﹣6（a≠0）
（1）将其化成y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的形式　 　；
（2）顶点坐标　 　对称轴方程　 　；
（3）用五点法画出二次函数的图象；
（4）当0＜x≤3时，写出y的取值范围　 　．
22．（2019秋?郾城区期中）已知二次函数y，解答下列问题：
（1）用配方法求其图象的顶点坐标；
（2）填空：①点A（m，），B（n，）在其图象上，则线段AB的长为　 　；
②要使直线y＝b与该抛物线有两个交点，则b的取值范围是　 　．
23．（2019秋?南浔区期中）已知某二次函数y＝x2+2x+c的图象经过点（2，5）．
（1）求该二次函数的解析式及其顶点坐标；
（2）若该抛物线向上平移2个单位后得到新抛物线，判断点（﹣1，2）是否在新抛物线上．
24．（2020?湖北）把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2．
（1）直接写出抛物线C2的函数关系式；
（2）动点P（a，﹣6）能否在抛物线C2上？请说明理由；
（3）若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．
25．（2020?安徽）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；
（2）求a，b的值；
（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
专题1.3二次函数的图象（2）解析版
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋?苍溪县期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax﹣bc的图象大致是（　　）
A．B． C．D．
【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、c的符号，从而可以确定一次函数y＝ax﹣bc的图象经过的象限，本题得以解决．
【解析】由二次函数y＝ax2+bx+c的图象可得，
a＞0，b＞0，c＜0，
∴﹣bc＞0，
∴一次函数y＝ax﹣bc的图象经过第一、二、三象限，
故选：A．
2．（2019秋?太仓市期中）函数y＝ax+b和y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，且a≠0）在同一直角坐标系内的图象可能是（　　）
A．B． C．D．
【分析】根据a、b的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．
【解析】当a＞0时，二次函数的图象开口向上，
一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，
故A、D不正确；
由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x0，且a＞0，则b＜0，
但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B．
故选：C．
3．（2018秋?渝中区校级期中）抛物线y＝﹣x2+mx+4﹣m2的图象如图所示，则m的值为（　　）
A．±2 B．4 C．2 D．﹣2
【分析】根据图形可知，函数图象经过原点，然后把（0，0）代入函数解析式进行计算求得m的值，再根据0，求得m的符号即可得解．
【解析】由图可知二次函数图象经过点（0，0），
所以，4﹣m2＝0，
解得m＝±2，
∵0，即0，
解得m＜0，
∴m＝﹣2，
故选：D．
4．（2020?成都模拟）二次函数y＝﹣x2+ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是（　　）
A．a＝4
B．当x＞2.5时，y随x的增大而减小
C．当x＝﹣1时，b＞5
D．当b＝8时，函数最大值为10
【分析】根据二次函数的图象和性质依次对各选项进行判断即可．
【解析】∵二次函数y＝﹣x2+ax+b
∴对称轴为直线x2
∴a＝4，故结论A正确；
∵对称轴为直线x＝2且图象开口向下，
∴当x＞2.5时，y随x的增大而减小，故结论B正确；
当x＝﹣1时，由图象知此时y＞0
即﹣1﹣4+b＞0
∴b＞5，故结论C正确；
当b＝8时，y＝﹣x2+4x+8＝﹣（x﹣2）2+12
∴函数有最大值12，故结论D不正确；
故选：D．
5．（2020?宝安区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为P（﹣1，0），则下列结论错误的是（　　）
A．b＞0
B．a＝c
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴x＝﹣1、函数图象的对称性、增减性逐一判断可得．
【解析】A．由开口方向知a＞0，结合对称轴在y轴左侧知b＞0，此选项正确；
B．将（﹣1，0）代入解析式得a﹣b+c＝0，由x1知b＝2a，则a﹣2a+c＝0，整理得a＝c，此选项正确；
C．当x＞0时，函数图象自左向右逐渐上升，所以此时y随x的增大而增大，此选项正确；
D．若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则1，即x1+x2＝﹣2，此选项错误；
故选：D．
6．（2020?成都模拟）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+8，下列结论：①图象的开口向下；②图象的对称轴是直线x＝1；③y的最大值是9；④图象与y轴的交点坐标为（0，﹣8）；⑤当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①④⑤
【分析】先将抛物线解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），开口方向，它的对称轴是直线x＝h，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大．
【解析】∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+8＝﹣（x+1）2+9，
∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，故说法②错误，
当x＝﹣1时，y的最大值为9，故说法③正确，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线的开口向下，故说法①正确，
当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小，故说法⑤正确，
针对于二次函数y＝﹣x2﹣2x+8，
令x＝0，则y＝8，
∴图象与y轴的交点坐标为（0，8），故说法④错误，
即正确的有①③⑤，
故选：B．
7．（2020?岐山县二模）若抛物线y＝x2+mx+n的顶点在x轴上，且过点A（a，b），B（a+6，b），则b的值为（　　）
A．9 B．6 C．3 D．0
【分析】根据抛物线y＝x2+mx+n的顶点在x轴上，可知△＝0，从而可以得到m与n的关系，再根据抛物线y＝x2+mx+n过点A（a，b），B（a﹣4，b），可以得到a和m的关系，从而可以求得b的值．
【解析】∵抛物线y＝x2+mx+n顶点在x轴上，
∴△＝m2﹣4×1×n＝m2﹣4n＝0，
∴nm2，
∵抛物线y＝x2+mx+n过点A（a，b），B（a+6，b），
∴b＝a2+ma+n，b＝（a+6）2+m（a+6）+n，
∴a2+ma+n＝（a+6）2+m（a+6）+n，
化简，得
a，
∴b＝a2+ma+n＝（）2+mm2＝9，
故选：A．
8．（2020?宁波模拟）已知点P（m，n）在抛物线y＝a（x﹣5）2+9（a≠0）上，当3＜m＜4时，总有n＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】依解析式可知顶点坐标，根据当7＜m＜8时，总有n＜1，可知a＜0，由增减性可列不等式组，解出即可．
【解析】∵抛物线y＝a（x﹣5）2+9（a≠0），
∴抛物线的顶点为（5，9），
∵当7＜m＜8时，总有n＜1，
∴a不可能大于0，
则a＜0，
∴x＜5时，y随x的增大而增大，x＞5时，y随x的增大而减小，
∵当3＜m＜4时，总有n＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1，且x＝3与x＝7对称，
∴m＝3时，n≤1，m＝7时，n≥1，
∴，
∴4a+9＝1，
∴a＝﹣2，
故选：D．
9．（2020?广陵区二模）在二次函数y＝﹣x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5
y ﹣14 ﹣7 ﹣2 2 m n ﹣7 ﹣14
则m、n的大小关系为（　　）
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法确定
【分析】从表中任意选取两组已知数代入二次函数的解析式求得解析式，再分别代入x＝2和x＝3，求得m与n的值便可．
【解析】把x＝1，y＝2和x＝﹣1，y＝﹣2都代入y＝﹣x2+bx+c中，得

解得，，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+1，
把x＝2，y＝m和x＝3，y＝n代入y＝﹣x2+2x+1得，
m＝﹣4+4+1＝1，
n＝﹣9+6+1＝﹣2，
∴m＞n，
故选：A．
10．（2020?孝感）将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（　　）
A．y＝﹣x2﹣2 B．y＝﹣x2+2 C．y＝x2﹣2 D．y＝x2+2
【分析】根据抛物线C1的解析式得到顶点坐标，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线C2的得到坐标，而根据关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线C3所对应的函数表达式．
【解析】∵抛物线C1：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线C1的顶点为（1，2），
∵向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，
∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2），
∵抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，
∴抛物线C3的开口方向相反，顶点为（0，﹣2），
∴抛物线C3的解析式为y＝﹣x2﹣2，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020?立山区二模）若二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+m的顶点在x轴上，则m＝　﹣2或　．
【分析】根据二次函数的顶点坐标列出方程求解即可．
【解析】∵二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+m的顶点在x轴上，
∴0，
解得m＝﹣2或．
故答案为：﹣2或．
12．（2020?玄武区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
若点P（m2﹣2，y1）、Q（m2+4，y2）在抛物线上，则y1　＞　y2．（选填“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】由表中对应值可得到抛物线的对称轴为直线x，且抛物线开口向上，然后根据两点到对称轴的距离进行判断即可．
【解析】∵x＝0时，y＝6；x＝1时，y＝6，
∴抛物线的对称轴为直线x，且抛物线开口向下，
∵点P（m2﹣2，y1）、Q（m2+4，y2）在抛物线上，且|m2﹣2|＜|m2+4|，
∴y1＞y2，
故答案为＞．
13．（2020?海珠区一模）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0）、B（1，0）两点，则该抛物线的顶点坐标是　（，）　．
【分析】利用待定系数法确定b、c的值，然后求得顶点坐标即可．
【解析】∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0）、B（1，0）两点，
∴，
解得：，
∴y＝x2+x﹣2＝（x）2，
∴顶点坐标为（，），
故答案为：（，）．
14．（2018秋?顺庆区校级月考）某同学用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格由于粗心他算错了其中一个y的值，则这个错误的数值是　﹣5　．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …
【分析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案．
【解析】由函数图象关于对称轴对称，得
（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）在函数图象上，
把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得
，
解得，
函数解析式为y＝﹣3x2+1
x＝2时y＝﹣11，
故这个错误的数值是﹣5，
故答案为﹣5．
15．（2020春?海淀区校级期末）二次函数y＝x2﹣4x+5﹣m2的图象过点（0，4），则m的值为　±1　．
【分析】把点（0，4）代入解析式求得即可．
【解析】∵根二次函数y＝x2﹣4x+5﹣m2的图象过点（0，4），
∴5﹣m2＝4，
解得m＝±1．
故答案为±1．
16．（2020?新疆三模）若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是　y2＜y3＜y1　．（用“＜”号表示）
【分析】由点A（m，n）、C（3﹣m，n）的对称性，可求函数的对称轴为x，再由B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3），与对称轴的距离，即可判断y1＞y3＞y2；
【解析】∵经过A（m，n）、C（3﹣m，n），
∴二次函数的对称轴x，
∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，
∵|a|＞0，
∴y2＜y3＜y1；
故答案y2＜y3＜y1．
17．（2020?龙岩模拟）关于x的方程x2﹣4x﹣t＝0在﹣1≤x≤4范围内有两个不等实数根，则实数t的取值范围是　﹣4＜t≤5　．
【分析】设y＝x2﹣4x，将一元二次方程x2﹣4x﹣t＝0的实数根可以看做y＝x2﹣4x与函数y＝t的有交点，再由﹣1≤x≤4的范围确定y的取值范围即可求解．
【解析】设y＝x2﹣4x，
∵y＝x2﹣4x的对称轴为直线x＝2，
∴一元二次方程x2﹣4x﹣t＝0的实数根可以看作y＝x2﹣4x与函数y＝t的有交点，
∵方程在﹣1≤x≤4的范围内有实数根，
当x＝﹣1时，y＝5；
当x＝4时，y＝0；
函数y＝x2﹣4x在x＝2时有最小值﹣4；
∴﹣4＜t≤0；
故答案为：﹣4＜t≤0．
18．（2020?牡丹江）将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣11的值是　﹣5　．
【分析】根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点（﹣2，5）代入，得到4a﹣2b＝3，最后将8a﹣4b﹣11变形求值即可．
【解析】将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，
表达式为：y＝ax2+bx+2，
∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，
则8a﹣4b﹣11＝2（4a﹣2b）﹣11＝2×3﹣11＝﹣5，
故答案为：﹣5．
三、解答题（本大题共7小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020?温州）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．
（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．
【分析】（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1解方程组即可得到结论；
（2）把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得到y1＝6，于是得到y1＝y2，即可得到结论．
【解析】（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，，
解得：；
（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，
把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得，y1＝6，
∴y2＝12﹣y1＝6，
∵y1＝y2，且对称轴为x＝2，
∴m＝4﹣5＝﹣1．
20．（2019秋?西城区校级期中）已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．
（1）与x轴的交点坐标是　（﹣1，0），（3，0）　，顶点坐标是　（1，﹣4）　；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
x …




…
y …




…
（3）结合图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是　当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5；当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3　．
【分析】（1）根据抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可以求得抛物线与x轴和y轴的交点；
（2）根据第一问中的三个坐标和二次函数图象具有对称性，在表格中填入合适的数据，然后再描点作图即可；
（3）根据第二问中的函数图象结合对称轴可以直接写出答案．
【解析】（1）令y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3．
解得x1＝﹣1，x2＝3．
抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点的坐标为（﹣1，0），（3，0）．
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）x2﹣4，
所以它的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）列表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
图象如图所示：
；
（3）当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5；
当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3．
21．（2019秋?西城区校级期中）已知二次函数y＝﹣2x2+8x﹣6（a≠0）
（1）将其化成y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的形式　y＝﹣2（x﹣2）2+2　；
（2）顶点坐标　（2，2）　对称轴方程　直线x＝2　；
（3）用五点法画出二次函数的图象；
（4）当0＜x≤3时，写出y的取值范围　﹣6＜y≤2　．
【分析】（1）直接利用配方法写成顶点式的形式即可；
（2）根据顶点式即可求得；
（3）利用顶点坐标以及对称轴以及图象与坐标轴交点画出图象即可；
（4）利用函数图象得出y的取值范围．
【解析】（1）y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2，
故答案为y＝﹣2（x﹣2）2+2；
（2）顶点为（2，2），对称轴为直线x＝2，
故答案为（2，2），直线x＝2；
（3）列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … ﹣6 0 2 0 ﹣6 …
描点、连线，画出函数图象如图：
（4）由图象可知，当0＜x≤3时，﹣6＜y≤2，
故答案为﹣6＜y≤2．
22．（2019秋?郾城区期中）已知二次函数y，解答下列问题：
（1）用配方法求其图象的顶点坐标；
（2）填空：①点A（m，），B（n，）在其图象上，则线段AB的长为　6　；
②要使直线y＝b与该抛物线有两个交点，则b的取值范围是　b＞﹣2　．
【分析】（1）根据配方法可以求得该函数图象的顶点坐标；
（2）①根据题意，可以求得m、n的值，从而可以求得线段AB的长；
②根据题意和二次函数的性质，可以求得b的取值范围．
【解析】（1）∵二次函数y，
∴该函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣2）；
（2）①∵点A（m，），B（n，）在其图象上，
∴，
解得，x1＝﹣4，x2＝2，
∴m＝﹣4，n＝2或m＝2，n＝﹣4，
∵|﹣4﹣2|＝|2﹣（﹣4）|＝6，
∴线段AB的长为6，
故答案为：6；
②∵该函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣2），直线y＝b与该抛物线有两个交点，
∴b的取值范围为b＞﹣2，
故答案为：b＞﹣2．
23．（2019秋?南浔区期中）已知某二次函数y＝x2+2x+c的图象经过点（2，5）．
（1）求该二次函数的解析式及其顶点坐标；
（2）若该抛物线向上平移2个单位后得到新抛物线，判断点（﹣1，2）是否在新抛物线上．
【分析】（1）把点（2，5）代入解析式即可求c从而求得二次函数的解析式；
（2）根据平移的规律得到新的解析式，然后代入（﹣1，2）即可判断．
【解析】（1）∵点（2，5）在y＝x2+2x+c的图象上，
∴5＝4+4+c，
∴c＝﹣3．
∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4）；
（2）若该抛物线向上平移2个单位后得到新抛物线为y＝（x+1）2﹣2，
把x＝﹣1代入得，y＝﹣2，
点（﹣1，2）不在新抛物线上．
24．（2020?湖北）把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2．
（1）直接写出抛物线C2的函数关系式；
（2）动点P（a，﹣6）能否在抛物线C2上？请说明理由；
（3）若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解；
（2）根据二次函数的最小值即可判断；
（3）根据二次函数的性质可以求得y1与y2的大小．
【解析】（1）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2：y＝（x+1﹣4）2+2﹣5，即y＝（x﹣3）2﹣3，
∴抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3．
（2）动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上，理由如下：
∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，
∴函数的最小值为﹣3，
∵﹣6＜﹣3，
∴动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上；
（3）∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，
∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝3，
∴当x＜3时，y随x的增大而减小，
∵点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0＜3，
∴y1＞y2．
25．（2020?安徽）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；
（2）求a，b的值；
（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B（2，3）在直线y＝x+m上；
（2）因为直线经过A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；
（3）设平移后的抛物线为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为（，q），根据题意得出q1，由抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q1（p﹣1）2，从而得出q的最大值．
【解析】（1）点B是在直线y＝x+m上，理由如下：
∵直线y＝x+m经过点A（1，2），
∴2＝1+m，解得m＝1，
∴直线为y＝x+1，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；
（2）∵直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），且B、C两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A、C两点，
把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2+bx+1得，
解得a＝﹣1，b＝2；
（3）由（2）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1，
设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为（，q），
∵顶点仍在直线y＝x+1上，
∴q1，
∴q1，
∵抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，
∴q1（p﹣1）2，
∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．
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