第三章 圆的基本性质单元习题精选（含解析）

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浙教版九年级上第三章圆的基本性质习题精选
一．选择题（共15小题）
1．（2020?三水区一模）如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，若∠AOB＝40°，∠BOC＝25°，则旋转角度是（　　）
A．25° B．15° C．65° D．40°
2．（2020?雁塔区校级模拟）如图，AB为⊙O直径，BC＝8，AC＝6，CD平分∠ACB，则AD＝（　　）
A．5 B．6 C．5 D．2
3．（2020?雁塔区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝8，BH＝2，⊙O的半径OC＝5，则弦AB的长为（　　）
A． B． C．6 D．
4．（2020?枣阳市模拟）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为（　　）
A．13 B．24 C．26 D．28
5．（2020?周村区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为（　　）
A． B． C．6 D．
6．（2020?泉州模拟）如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连结AB、AD，若AD＝，则半径R的长为（　　）
A．1 B． C． D．
7．（2019秋?鄞州区期末）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（　　）
A．10 B．13 C．15 D．16
8．（2019秋?岳麓区校级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，若∠CBE＝55°，则∠DAC的度数为（　　）
A．70° B．67.5° C．62.5° D．65°
9．（2019秋?诸暨市期末）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠AEC的度数为（　　）
A．106° B．116° C．126° D．136°
10．（2020?渝中区校级模拟）如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为⊙O的直径，则∠A+∠B+∠C的度数为（　　）
A．45° B．60° C．90° D．120°
11．（2020?封开县一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（　　）
A．60° B．55° C．50° D．45°
12．（2020?阜新）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBi?iDiEi，则正六边形OAiBi?iDiEi（i＝2020）的顶点?i的坐标是（　　）
A．（1，﹣） B．（1，） C．（1，﹣2） D．（2，1）
13．（2020?厦门模拟）如图，六边形ABCDEF是正六边形，点P是边AF的中点，PC，PD分别与BE交于点M，N，则S△PBM：S四边形MCDN的值为（　　）
A． B． C． D．
14．（2020?毕节市）如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为π，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π B．π C．π D．π+
15．（2018?武昌区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD＝DC，分别延长BA、CD，交点为E，作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F．若AE＝AO，BC＝6，则CF的长为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
16．（2020春?南岗区校级月考）如图所示，在△ABC纸片中，∠BAC＝50°，将△ABC纸片绕点A按逆时针方向旋转50°，得到△ADE，此时AD边经过点C，连接BD，若∠DBC的度数为40°，则∠ACB的度数为　 　．
17．（2020?三水区校级二模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以B为圆心，AB长为半径画，分别以AB、CD的中点E、F为圆心，AE、CF的长为半径画弧交于点G，则图中阴影部分面积为　 　．
18．（2020春?沙坪坝区校级月考）如图，AB为半圆的直径，且AB＝8，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为　 　．
19．（2020?武昌区校级自主招生）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M在CD边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为　 　．
20．（2020?路北区二模）在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．
（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，则∠CC1A1的度数为　 　度；
（2）如图2，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，则线段EP1长度最小值是　 　．
21．（2020?思明区校级模拟）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AP＝5，BP＝4，CP＝3，则DP为　 　．
22．（2020?镇江）点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O至少旋转　 　°后能与原来的图案互相重合．
23．（2020?成都）如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FA1B1C1D1E1F1…叫做“正六边形的渐开线”，，，，，，，…的圆心依次按A，B，C，D，E，F循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB＝1时，曲线FA1B1C1D1E1F1的长度是　 　．
三．解答题（共9小题）
24．（2019秋?奉化区期末）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．
25．如图，⊙O的直径为10，弦ST＝5，弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，过S作SP⊥AB，P是垂足，求证：不管ST滑到什么位置，∠SPM的度数是一个确定的值．
26．（2020春?九龙坡区校级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E，连接CD；
（1）若∠CAD＝23°，求∠BAC的度数；
（2）若∠ACD＝45°，AC＝13，求CD的长．
27．（2020春?沙坪坝区校级月考）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝6，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积．
28．（2020?温州模拟）如图，AB是O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若AD＝6，⊙O的半径为5，求BC的长．
29．（2019秋?安徽期末）如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB＝AC．
（1）求证：DE平分∠CDF；
（2）求证：∠ACD＝∠AEB．
30．（2017秋?钟楼区校级期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长．
31．（2016秋?河西区期中）如图，四边形ABCD内接于圆O，点E在对角线AC上．
（1）若BC＝DC，∠CBD＝39°，求∠BCD的度数；
（2）若在AC上有一点E，且EC＝BC＝DC，求证：∠1＝∠2．
浙教版九年级上第三章圆的基本性质习题精选
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．（2020?三水区一模）如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，若∠AOB＝40°，∠BOC＝25°，则旋转角度是（　　）
A．25° B．15° C．65° D．40°
【答案】C
【解答】解：∵∠AOB＝40°，∠BOC＝25°，
∴∠AOC＝65°，
∵将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，
∴旋转角为∠AOC＝65°，
故选：C．
2．（2020?雁塔区校级模拟）如图，AB为⊙O直径，BC＝8，AC＝6，CD平分∠ACB，则AD＝（　　）
A．5 B．6 C．5 D．2
【答案】C
【解答】解：连接OD，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝8，AC＝6，
∴AB＝10，
∴OA＝OD＝5，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴，
即D为的中点，
∴∠AOD＝90°，
∴AD＝，
故选：C．
3．（2020?雁塔区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝8，BH＝2，⊙O的半径OC＝5，则弦AB的长为（　　）
A． B． C．6 D．
【答案】A
【解答】解：如图，延长CO交⊙O于D，连接AD，
∵CD为⊙O的直径，
∴CD＝2OC＝10，∠DAC＝90°，
∴AD＝＝＝6，
∵∠DAC＝∠BHA＝90°，∠D＝∠B，
∴△ADC∽△HBA，
∴，
∴，
∴AB＝，
故选：A．
4．（2020?枣阳市模拟）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为（　　）
A．13 B．24 C．26 D．28
【答案】C
【解答】解：设圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，如图所示：
∴AC＝AB＝×10＝5，
设⊙O的半径为r寸，
在Rt△ACO中，OC＝r﹣1，OA＝r，
则有r2＝52+（r﹣1）2，
解得r＝13，
∴⊙O的直径为26寸，
故选：C．
5．（2020?周村区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为（　　）
A． B． C．6 D．
【答案】A
【解答】解：设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，
∵DE∥BC，
∴MN⊥BC，DG⊥DE，
∴DG＝MN，
∵OM⊥DE，ON⊥BC，
∴DM＝EM＝DE，BN＝CN，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，弦DE∥CB．
∴CH＝DH＝CD＝3，
∴OH＝＝＝4，
∴BH＝9，
∴BC＝＝3，
∴BN＝BC＝，
∴ON＝＝，
∵sin∠BCH＝＝，即＝，
∴DG＝，
∴MN＝DG＝，
∴OM＝MN﹣ON＝，
∴DM＝＝，
∴DE＝2DM＝．
故选：A．
6．（2020?泉州模拟）如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连结AB、AD，若AD＝，则半径R的长为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵弦AC＝BD，
∴，
∴，
∴∠ABD＝∠BAC，
∴AE＝BE；
连接OA，OD，
∵AC⊥BD，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，
∵OA＝OD，
∴AD＝R，
∵AD＝，
∴R＝1，
故选：A．
7．（2019秋?鄞州区期末）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（　　）
A．10 B．13 C．15 D．16
【答案】C
【解答】解：如图，连接OF．
∵DE⊥AB，
∴DE＝EF，＝，
∵点D是弧AC的中点，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝DF＝12，
∴EF＝DF＝6，设OA＝OF＝x，
在Rt△OEF中，则有x2＝62+（x﹣3）2，
解得x＝，
∴AB＝2x＝15，
故选：C．
8．（2019秋?岳麓区校级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，若∠CBE＝55°，则∠DAC的度数为（　　）
A．70° B．67.5° C．62.5° D．65°
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠CBE＝55°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝180°﹣55°＝125°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣125°＝55°，
∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠DAC）＝（180°﹣55°）＝62.5°，
故选：C．
9．（2019秋?诸暨市期末）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠AEC的度数为（　　）
A．106° B．116° C．126° D．136°
【答案】B
【解答】解：∵圆内接四边形ABCD，
∴∠D＝180°﹣∠ABC＝116°，
∵点D关于AC的对称点E在边BC上，
∴∠D＝∠AEC＝116°，
故选：B．
10．（2020?渝中区校级模拟）如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为⊙O的直径，则∠A+∠B+∠C的度数为（　　）
A．45° B．60° C．90° D．120°
【答案】C
【解答】解：∵AC为⊙O的直径，
∴++的度数是180°，
∴∠A+∠B+∠C＝90°，
故选：C．
11．（2020?封开县一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（　　）
A．60° B．55° C．50° D．45°
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°．
∵＝，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°．
故选：C．
12．（2020?阜新）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBi?iDiEi，则正六边形OAiBi?iDiEi（i＝2020）的顶点?i的坐标是（　　）
A．（1，﹣） B．（1，） C．（1，﹣2） D．（2，1）
【答案】A
【解答】解：由题意旋转6次应该循环，
∵2020÷6＝336…4，
∴?i的坐标与C4的坐标相同，
∵C（﹣1，），点C与C4关于原点对称，
∴C4（1，﹣），
∴顶点?i的坐标是（1，﹣），
故选：A．
13．（2020?厦门模拟）如图，六边形ABCDEF是正六边形，点P是边AF的中点，PC，PD分别与BE交于点M，N，则S△PBM：S四边形MCDN的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：设正六边形的边长为a．则S△PCD＝2×a2＝a2，S四边形BCDE＝3×a2＝a2，
由题意MN是△PCD的中位线，
∴S△PMN＝S△PCD＝a2，
∴S四边形MNDC＝a2﹣a2＝a2，
∴S△BMC＝S△DNE＝（a2﹣a2）＝a2，
∵PM＝CM，
∴S△PBM＝S△BMC＝a2，
∴S△PBM：S四边形MCDN＝a2：a2＝1：2，
故选：A．
14．（2020?毕节市）如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为π，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π B．π C．π D．π+
【答案】A
【解答】解：连接CD、OC、OD．
∵C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，AC＝CD，
又∵OA＝OC＝OD，
∴△OAC、△OCD是等边三角形，
∴∠AOC＝∠OCD，
∴CD∥AB，
∴S△ACD＝S△OCD，
∵弧CD的长为，
∴＝，
解得：r＝1，
∴S阴影＝S扇形OCD＝＝．
故选：A．
15．（2018?武昌区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD＝DC，分别延长BA、CD，交点为E，作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F．若AE＝AO，BC＝6，则CF的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：如图，连接AC，BD，OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝∠BDA＝90°．
∵BF⊥EC，
∴∠BFC＝90°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCF＝∠BAD，
∴Rt△BCF∽Rt△BAD，
∴＝，即＝，
∵OD是⊙O的半径，AD＝CD，
∴OD垂直平分AC，
∴OD∥BC，
∴＝，
∴△EOD∽△EBC，
∴＝＝，＝，
而AE＝AO，即OE＝2OB，BE＝3OB，BC＝6
∴＝＝＝，＝2，
∴OD＝4，CE＝DE，
又∵∠EDA＝∠EBC，∠E公共，
∴△AED∽△CEB，
∴DE?EC＝AE?BE，
∴DE?DE＝4×12，
∴DE＝4，
∴CD＝2，则AD＝2，
∴＝，
∴CF＝．
故选：A．
二．填空题（共8小题）
16．（2020春?南岗区校级月考）如图所示，在△ABC纸片中，∠BAC＝50°，将△ABC纸片绕点A按逆时针方向旋转50°，得到△ADE，此时AD边经过点C，连接BD，若∠DBC的度数为40°，则∠ACB的度数为　105°　．
【答案】105°．
【解答】解：∵△ABC纸片绕点A按逆时针方向旋转50°，得到△ADE，
∴AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝（180﹣∠BAD）＝（180°﹣50°）＝65°，
∵∠DBC＝40°，
∴∠ACB＝∠CDB+∠DBC＝65°+40°＝105°．
故答案为：105°．
17．（2020?三水区校级二模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以B为圆心，AB长为半径画，分别以AB、CD的中点E、F为圆心，AE、CF的长为半径画弧交于点G，则图中阴影部分面积为　4π﹣8　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得，S阴影部分＝S扇形BAC﹣2S小正方形，
∵S扇形BAC＝＝4π，
S小正方形＝2×2＝4，
∴S阴影部分＝4π﹣2×4＝4π﹣8．
故答案为4π﹣8．
18．（2020春?沙坪坝区校级月考）如图，AB为半圆的直径，且AB＝8，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为　　．
【答案】．
【解答】解：由图可得，
图中阴影部分的面积为：+﹣＝，
故答案为：．
19．（2020?武昌区校级自主招生）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M在CD边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为　5　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，连接BM．
∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，
∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE．
∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，
∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD．
∴∠FAB＝∠MAE，
∴∠FAB+∠BAE＝∠BAE+∠MAE．
∴∠FAE＝∠MAB．
∴△FAE≌△MAB（SAS）．
∴EF＝BM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝4．
∵DM＝1，
∴CM＝3．
∴在Rt△BCM中，BM＝＝5，
∴EF＝5，
故答案为：5．
20．（2020?路北区二模）在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．
（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，则∠CC1A1的度数为　90　度；
（2）如图2，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，则线段EP1长度最小值是　﹣2　．
【答案】（1）90°；
（2）．
【解答】解：（1）∵将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1，
∴∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，
∴∠CC1B＝∠C1CB＝45°，
∴∠CC1A1＝∠CC1B+∠A1C1B＝45°+45°＝90°；
故答案为：90°；
（2）过点B作BD⊥AC，D为垂足，
，
∵△ABC为锐角三角形，
∴点D在线段AC上，
在Rt△BCD中，BD＝BC×sin45°＝5×，
当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为BP1﹣BE＝．
故答案为：．
21．（2020?思明区校级模拟）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AP＝5，BP＝4，CP＝3，则DP为　　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由相交弦定理得，PA?PB＝PC?PD，
∴5×4＝3×DP，
解得，DP＝，
故答案为：．
22．（2020?镇江）点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O至少旋转　72　°后能与原来的图案互相重合．
【答案】72．
【解答】解：连接OA，OE，则这个图形至少旋转∠AOE才能与原图象重合，
∠AOE＝＝72°．
故答案为：72．
23．（2020?成都）如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FA1B1C1D1E1F1…叫做“正六边形的渐开线”，，，，，，，…的圆心依次按A，B，C，D，E，F循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB＝1时，曲线FA1B1C1D1E1F1的长度是　7π　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：的长＝＝，
的长＝＝，
的长＝＝，
的长＝＝，
的长＝＝，
的长＝＝，
∴曲线FA1B1C1D1E1F1的长度＝++…+＝＝7π，
故答案为7π．
三．解答题（共9小题）
24．（2019秋?奉化区期末）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，
则OA＝OA′＝OP，
由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，
∵AB＝60米，
∴AM＝30米，且OM＝OP﹣PM＝（x﹣18）米，
在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2＝OM2+AM2，
即x2＝（x﹣18）2+302，解得x＝34，
∴ON＝OP﹣PN＝34﹣4＝30（米），
在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N＝＝＝16（米），
∴A′B′＝32米＞30米，
∴不需要采取紧急措施．
25．如图，⊙O的直径为10，弦ST＝5，弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，过S作SP⊥AB，P是垂足，求证：不管ST滑到什么位置，∠SPM的度数是一个确定的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：连接OS、OT、OM，如图：
∵M是ST的中点，
∴OM⊥ST．
又∵SP⊥AB，
∴S、P、O、M在以OS为直径的圆上，即S、P、O、M四点共圆，
∴∠SPM＝∠SOM，
∵OS＝OT，OM⊥ST，
∴∠SOM＝∠SOT，
∴∠SPM＝∠SOM＝∠SOT．
∴不管ST滑到什么位置，∠SPM的度数是一个确定的值．
26．（2020春?九龙坡区校级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E，连接CD；
（1）若∠CAD＝23°，求∠BAC的度数；
（2）若∠ACD＝45°，AC＝13，求CD的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AC⊥BD，
∴∠BEC＝90°，
∵∠CAD＝∠CBE＝23°，
∴∠ACB＝90°﹣23°＝67°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝67°，
∴∠BAC＝180°﹣67°﹣67°＝46°．
（2）∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝∠CED＝90°，
∵∠ACD＝∠ABD＝45°，
∴△ABE，△CED都是等腰直角三角形，
∵AC＝AB＝13，
∴AE＝AB＝，
∴EC＝AC﹣AE＝13﹣，
∴CD＝EC＝13﹣13．
27．（2020春?沙坪坝区校级月考）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝6，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，
又∵OC为半径，
∴AE＝ED，
（2）解：连接CD，OD，
∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD＝30°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠AOC＝∠OCB+∠OBC＝60°，
∵∠COD＝2∠CBD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵AB＝6，
∴BD＝3，AD＝3，
∵OA＝OB，AE＝ED，
∴，
∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣＝3π﹣．
28．（2020?温州模拟）如图，AB是O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若AD＝6，⊙O的半径为5，求BC的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接AC，如图1所示：
∵C是弧BD的中点，
∴∠DBC＝∠BAC，
在ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，
∴∠BCE+∠ECA＝∠BAC+∠ECA＝90°，
∴∠BCE＝∠BAC，
又C是弧BD的中点，
∴∠DBC＝∠CDB，
∴∠BCE＝∠DBC，
∴CF＝BF．
（2）解：连接OC交BD于G，如图2所示：
∵AB是O的直径，AB＝2OC＝10，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝＝8，
∵C是弧BD的中点，
∴OC⊥BD，DG＝BG＝BD＝4，
∵OA＝OB，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG＝AD＝3，
∴CG＝OC﹣OG＝5﹣3＝2，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：BC＝＝＝2．
29．（2019秋?安徽期末）如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB＝AC．
（1）求证：DE平分∠CDF；
（2）求证：∠ACD＝∠AEB．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠CDE＝∠ABC，
由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB，又∠ADB＝∠FDE，
∴∠ACB＝∠FDE，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠FDE＝∠CDE，即DE平分∠CDF；
（2）∵∠ACB＝∠ABC，
∴∠CAE+∠E＝∠ABD+∠DBC，
又∠CAE＝∠DBC，
∴∠E＝∠ABD，
∴∠ACD＝∠AEB．
30．（2017秋?钟楼区校级期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BDF，
∴∠ADF＝∠ADB，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠ADF＝∠ABC，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G．
∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，
∴AG＝AE，∠AGB＝∠AEC＝90°，
在Rt△AED和Rt△AGD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AGD，
∴GD＝ED＝2，
在Rt△AEC和Rt△AGB中，
，
∴Rt△AEC≌Rt△AGB（HL），
∴BG＝CE，
∵BD＝11，
∴BG＝BD﹣GD＝11﹣2＝9，
∴CE＝BG＝9，
∴CD＝CE﹣DE＝9﹣2＝7．
31．（2016秋?河西区期中）如图，四边形ABCD内接于圆O，点E在对角线AC上．
（1）若BC＝DC，∠CBD＝39°，求∠BCD的度数；
（2）若在AC上有一点E，且EC＝BC＝DC，求证：∠1＝∠2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵BC＝CD，
∴＝，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠CBD＝39°，
∴∠BAD＝78°，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠BCD＝102°；
（2）∵BC＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，又∠BAC＝∠BDC，
∴∠CBD＝∠BAE，
∴∠CEB＝∠BAE+∠2，
∵CB＝CE，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴∠BAE+∠2＝∠CBD+∠1，
∴∠1＝∠2．
日期：2020/10/21 17:00:56；用户：1032650243；邮箱：1032650243@qq.com；学号：20715072
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