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【每周培优集训】第三周：第三章
圆的基本性质答案
一．选择题：
1.答案：A
解析：
∵正六边形的中心角为360°÷6＝60°，
∴外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，
∴正六边形的半径长为4，则正六边形的边长等于4.
故选择：A
2.答案：D
解析：扇形面积为，解得.
故选择D
3.答案：C
解析：如答图，连结OA，OB.∵OA＝OB＝AB＝2，
∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，
∴的长为，
故选择C.
4.答案：A
解析：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=1080，解得：n=8，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷8=45°.
故答案为：A.
5.答案：B
解析：延长正五边形的相邻两边，交于圆心，
∵正五边形的外角等于360°÷5＝72°，
∴延长正五边形的相邻两边围成的角的度数为：180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴360°÷36°＝10，
∴排成圆环需要10个正五边形，
故排成圆环还需7个五边形．
故选择：B
6.答案：C
解析：
如答图，连结AC，OB相交于点D，
∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥OB，AO＝AB，
AC＝2AD，BO＝2DO.
∵AO＝BO，∴AO＝BO＝AB，
∴△ABO是等边三角形，则∠AOB＝60°，
同理∠BOC＝60°，∴∠AOC＝120°.
∵AO＝2，在Rt△ADO中，AD＝.可知BO＝2，AC＝2，
∴S扇形AOC＝，S菱形OABC＝.
则阴影部分的面积＝S扇形AOC－S菱形OABC＝，
故选择C
7.答案：B
∵解：连接AC、CE，
∵点A、B、C、E都是⊙O上的点，
∴∠AEC＝180°﹣∠B＝58°，
∵
∴∠ACE＝∠AEC＝58°，
∴∠CAE＝180°﹣58°﹣58°＝64°，
∵点A、C、D、E都是⊙O上的点，
∴∠D＝180°﹣64°＝116°，
故选择：B
8.答案：C
解析：延长DE交AG于T．
由题意FG＝2EF，∠EFC＝∠EFT＝60°，
∵∠DEF＝120°，
∴∠EFT＝60°，
∴∠EFT＝∠FET＝∠ETF＝60°，
∴EF＝FT＝ET，
∴TG＝TF＝ET，
∴∠FEG＝90°，
∵AB＝AF＝EF＝，
∴EG＝EF?＝3，
故选择：C
9.答案：B
解析：连接OD，
∵∠BCD＝120°，
∴∠A＝60°，
∵OD＝OA，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∵AB＝4，
∴AO＝2，
∴的长＝，
故选择：B
10.答案：B
解析：如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=BD=a，∠CAB=∠ACB=60°；
∵AB=BD，
∴
，
∴∠AED=∠AOB；
∵BC=AB=BD，
∴∠D=∠BCD；
∵四边形EABD内接于⊙O，
∴∠EAB+∠D=180°，即∠EAC+60°+∠D=180°；
又∵∠ECA+60°+∠BCD=180°，
∴∠ECA=∠EAC，即△EAC是等腰三角形；
在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC=∠AOB，
∵AC=AB，
∴△EAC≌△OAB；
∴AE=OA=1．
故选择：B．
二．填空题：
11.答案：
解析：设扇形的弧长为，
∵扇形的半径为6，面积为10π，
∴×6＝10π，解得
12.答案：
解析：分别用A、B、C、D、E
表示正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形，列表如下：
第一次
第二次
A
B
C
D
E
A
?
B
A
C
A
DA
EA
B
A
B
?
CB
DB
EB
C
AC
BC
?
DC
EC
D
AD
BD
CD
?
ED
E
AE
BE
CE
DE
?
由列表可以看出，所有可能结果共有20个，能镶嵌成一个平面图案（记为事件G）的有AB、BA、AD、DA、EB、BE6个，
所以能够进行平面镶嵌的概率P（G）=.
13.答案：12
解析：连接AO，BO，CO.
∵AB、AC分别为⊙O的内接正六边形、内接正方形的一边，
∴∠AOB＝＝60°，∠AOC＝＝90°，
∴∠BOC＝30°，
∴n＝＝12，
故答案为：12
14.答案：
解析：连接BD，作OE⊥AD，连接OD，
∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD=120°，
∴∠BAD=60°．
∵AD=AB=2，
∴△ABD是等边三角形．
∴DE=
AD=1，∠ODE=
∠ADB=30°，
∴OD=
．
故答案为
．
15.答案：1348
解析：弧长=
又因为是来回所以总路程为：1348π×2=2696π，
所以动圆C自身转动的周数为：2696πr÷2πr=1348，
故答案为：1348．
16.答案：8
解析：如解图，设两个正六边形的中心为O，连结OP，OB，
过点O作OG⊥PM于点G，OH⊥AB于点H.
易得△PMN是等边三角形，且面积等于小正六边形面积的，
故△PMN的面积为cm2，∴PM＝cm.
∵OG⊥PM，且O是正六边形的中心，
∴PG＝cm.易知∠OPG＝30°，
∴OG＝
cm，OP＝7
cm.
设OB＝x(cm)，
∵OH⊥AB，且O是正六边形的中心，
∴BH＝x(cm)，OH＝x(cm)，
∴PH＝cm.
在Rt△PHO中，根据勾股定理，得OP2＝OH2＋PH2，
即，
解得x1＝8，x2＝－3(不合题意，舍去)．
故该圆的半径为8
cm.
三．解答题：
17.解析：(1)如答图，过点C作CE⊥AD于点E.
∵∠A＝30°，∴∠COD＝60°，
∵OC＝2，∴CE＝，∴AC＝2，
∵AD＝AC＝2，OA＝OC＝2，
∴OD＝AD－OA＝2－2；
(2)S阴影＝S扇形BOC－S△OCD＝
18.解析：(1)∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABF＝∠BCG.
又∵F，G分别是BC，CD的中点，
∴BF＝CG.
在△ABF和△BCG中，
∴△ABF≌△BCG(SAS)；
（2）∵△ABF≌△BCG，
∴∠GBC＝∠FAB，
∴∠AHG＝∠FAB＋∠ABH＝∠GBC＋∠ABH＝∠ABC.
∵正五边形的内角为108°，
∴∠AHG＝108°.
19.解析：(1)∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°.
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，
即OC⊥AD，∴AE＝ED；
（2）由(1)得OC⊥AD，
∴，
∴∠ABC＝∠CBD＝36°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，
∴＝.
20.解析：（1）∵四边形
ABCD
内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠CBE+∠ABC=180°，
∴∠ADC=∠CBE，
又∵∠ADC=86°，
∴∠CBE=86°.
（2）证明：∵AC=EC，
∴∠E=∠CAE，
∵AC
平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠E，
又∵四边形
ABCD
内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠CBE+∠ABC=180°，
∴∠ADC=∠CBE，
在△
ADC
和△
EBC
中
∴△ADC≌△EBC（AAS），
∴AD=BE.
21.解析：在MA上截取ME=MC，连接BE，如图，
∵BM⊥AC，而ME=MC，
∴BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE，
∵弧AB=弧BD，
∴∠ADB=∠BAD，
而∠ADB=∠BCE，
∴∠BEC=∠BAD，
又∵∠BCD+∠BAD=180°，∠BEA+∠BCE=180°，
∴∠BEA=∠BCD，
而∠BAE=∠BDC，
所以△ABE≌△DBC（AAS），
∴AE=CD，
∴AM=DC+CM.
22.解析：（1）∵BC＝CD，
∴，
∴∠CAD＝∠CAB＝∠BAD＝35°；
（2）连接BD，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵OC∥AB，
∴∠BAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠OAC，
由圆周角定理得，∠BCA＝∠BDA，
∴∠BAC＝∠BDA＝∠OAC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ACO＝30°．
23.解析：（1）∵四边形ABCD是圆美四边形，
∴，∠A+∠C=180°∴∠A=60°.
（2）①解：连结OB，OD，作OE⊥BD于点E，
∴∠BOD=2∠A=120°，
∵OB=OD，∴∠BOE=∠BOD=60°，
∴∠OBE=30°，
∴OE=
OB=
∴
BE
=
OE
=，
∴
BD
=2BE
=；
（2）②如图，
∵∠BAD=60°,
∴∠BCD=120°,
∵CA平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD=,
∴AB=AD，
∴△ABD是等边三角形.
∴当点AC是直径时，BC+CD的值最大.
∵AC是直径，
∴BC=CD，∠ABC=90°，
∴∠BAC=，
∴BC=
∴BC+CD=2BC=10.
（3）解：延长BC，AD交于点E
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠DCE=60°，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠B=∠ADC=90°=∠CDE，
∴∠E=30°，
在Rt△CDE和Rt△ABE中
CE=2CD，BE=AB=BC+CE
∴BC+2CD=AB.
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圆的基本性质
选择题：
1.若正六边形的外接圆的半径长为4，则它的边长等于(
)
A．4
B．2
C．2
D．4
2．若扇形的面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为(
)
A．3
B．9
C．
D．
3．在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则长等于(
)
A.
B.
C.
D.
4.如果一个正多边形内角和等于1080°，那么这个正多边形的每一个外角等于（?
?
）
A.?45°???????????????B.?60°????????????????????C.?120
D.?135°
5.如图，若干相同正五边形排成环状．图中已经排好前3个五边形，还需（ ）个五边形完成这一圆环．
A．6
B．7
C．8
D．9
6.如图，已知⊙O的半径是2，点A，B，C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分的面积为(
)
A.
B.
C.
D.
7.如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，，∠B＝122°，则∠D＝（
）
A．58°
B．116°
C．122°
D．128°
8.如图，以正六边形ABCDEF的对角线CF为边，再作一个正六边形CFGHMN，若AB＝，则EG的
长为（
）
A．2
B．2
C．3
D．2
9.如图，已知四边形ABCD的四个顶点在以AB为直径的半圆上，AB＝4．若∠BCD＝120°，则的
长为（
）
A．
B．
C．
D．
10.已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（?
??）
A.???????????????????B.?1????????????????C.???????????????????D.
二．填空题:
11．已知扇形的半径为6，面积为10π，则该扇形的弧长等于______________
12.
从边长相等的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形中任选两种不同的正多边形，能够进行平面镶嵌的概率是_________
13.如图，AB，AC分别为⊙O的内接正六边形，内接正方形的一边，BC是圆内接n边形的一边，则n等于________
14.如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若，AB=AD=2cm，则⊙O的半径长为________
cm.
15.通过对课本中《硬币滚动中的数学》的学习，我们知道滚动圆滚动的周数取决于滚动圆的圆心运动的路程（如图①）．在图②中，有2020个半径为r的圆紧密排列成一条直线，半径为r的动圆C从图示位置绕这2020个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位，则动圆C自身转动的周数为________
16．小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图①所示，于是他绘制了如图②所示的图形．图②中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形．若PQ所在的直线经过点M，PB＝5
cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为___________cm.
三．解答题：
17.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，点D在AB上，且AC＝AD，OC＝2，∠A＝30°.
(1)求线段OD的长；(2)求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)．
18．如图，在正五边形ABCDE中，F，G分别是BC，CD的中点，AF与BG相交于点H.
(1)求证：△ABF≌△BCG；(2)求∠AHG的度数．
19.如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC.
(1)求证：AE＝ED；(2)若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．
20.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．
（1）若∠ADC=86°，求∠CBE的度数；（2）若AC=EC，求证：AD=BE
21.如图，已知A、B、C、D四点顺次在⊙O上，且弧AB=弧BD，BM⊥AC于M，
求证：AM=DC+CM.
22.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．
（1）若∠BAC＝40°，则∠ADC＝
；（2）求证：∠BAC＝2∠DAC；
（3）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．
23.定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
（1）如图1，若四边形ABCD是圆美四边形，求美角∠A的度数．
（2）在(1)的条件下，若⊙O的半径为5．
①求BD的长．________
②如图2，在四边形ABCD中，若CA平分∠BCD，则BC+CD的最大值是________．
（3）在(1)的条件下，如图3，若AC是⊙O的直径，请用等式表示线段AB，BC，CD之间的数量关系，并说明理由．
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