3.3圆心角（2）

(共20张PPT)
圆的对称性
圆的轴对称性
（圆是轴对称图形）
垂径定理及其推论
圆的中心对称性
（旋转不变性）
圆心角定理
条件
结论
在同圆或等圆中
如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
圆心角所对的弦的弦心距相等
圆心角定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
请说出定理的逆命题
1.逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
2.逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，弦的弦心距相等。
3.逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弦心距对应弦相等,弦所对的圆心角相等，所对的弧相等。
O
A
B
C
D
E
F
（1）如果AB=CD，那么( ),( ),( );
(2)如果OE＝OF，那么
( ),( ),( );
(3)如果AB＝CD，那么
( ),( ),( );
(4)如果∠AOB＝∠COD,那么
( ),( ),( ).
已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF的长为AB、CD的弦心距
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
在同圆或等圆中
如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等
弧所对的弦相等
弧所对的弦的弦心距相等
在同圆或等圆中
如果弦相等
那么
弦所对的圆心角相等
弦所对的弧（指劣弧）相等
弦的弦心距相等
在同圆或等圆中
如果弦心距相等
那么
弦心距所对应的圆心角相等
弦心距所对应的弧相等
弦心距所对应的弦相等
1、判断：
（1）等弦所对的弧相等。 （ ）
（2）等弧所对的弦相等。 （ ）
（3）圆心角相等，所对的弦相等。( ）
（4）弦相等，所对的圆心角相等。（ ）
×
×
×
√
练一练
（5）在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等（ ）
√
2、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF的长为AB、CD的弦心距，根据定理及推论填空：
（1）如果AB=CD，那么_______,_______,_______。
（2）如果OE=OF，那_______,________,________。
（3）如果AB=CD，那么_______,________,_______。
（4）如果∠AOB=∠COD，
那么____ __,___ __,___ __。
⌒
∠AOB=∠COD OE=OF AB=CD
⌒
⌒
∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD
⌒
⌒
∠AOB=∠COD AB=CD OE=OF
OE=OF AB=CD AB=CD
⌒
⌒
练一练
⌒
O
A
B
C
D
E
F
已知AB和CD是⊙O的两条弦，OE的长和OF的长分别是AB和CD的弦心距，如果AB＞CD,那么OE和OF有什么关系？为什么？
例1、如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC．
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
⑴ ∠AOB 、∠COB、 ∠AOC分别为多少度？
Ｄ
Ｐ
⑵延长AO，分别交BC于点P，BC于点D,连结BD,CD.判断三角形ＯＢＤ是哪一种特殊三角形？
⑶判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由。
⑷若⊙O的半径为r,求等边ABC三角形的边长？
⑸若等边三角形ABC的边长r,求⊙O的半径为多少？
当r = 时求圆的半径
1、已知：如图, AB、DE是⊙O的两条直径，C是⊙O上一点，且AD=CE。求证：BE=CE
⌒
⌒
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
E
做一做
2、如图⊙A与⊙B是两个等圆,直线CF∥AB,分别交⊙A于点C、D，交⊙B于点E、F。求证：∠CAD=∠EBF
A
B
C
D
E
F
G
H
3、 如图，已知点O是∠EPF 的平分线上一点，P点在圆外，以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于A、B和C、D。 求证：AB=CD
分析： 联想到“角平分线的性质”，作弦心距OM、ON，
证明: 作 , 垂足分别为M 、 N 。
OM=ON
AB=CD
.
M
N
要证AB=CD ，只需证OM=ON
P
A
B
E
C
D
F
O
做一做
.
P
B
E
D
F
O
A
C
.
如图，P点在圆上，PB=PD吗？
P点在圆内，AB=CD吗？
变式练习：
P
B
E
M
N
D
F
O
M
N
(3)四边形ACBD有可能为正方形吗？若有可能,当AB、CD有何位置关系时，四边形ACBD为正方形？为什么？
例2、如图, AB、CD是⊙O的两条直径。
(1)顺次连结点A、C、B、D，所得的四边形是什么特殊四边形？为什么？
(2)若直径为10cm，∠AOD=1200，求四边形ACBD的周长和面积。
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
（4）如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？
（5）如果这根原木长15m，问锯出地木材地体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？
解：如图，所得的四边形是矩形，理由如下：
A
O
D
C
B
∵AC，BD是⊙O的直径
∴AO=OC=OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
当AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
∵AC=BD=30cm
∴AO=BO=15cm
∴S正方形ABCD=15×15÷2×4=450（cm2）=4.5×10-2（m2）
∴V=4.5×10-2×15=0.675（m3）
1、已知：如图，在⊙Ｏ中，弦ＡＢ＝ＣＤ．
求证：ＡＤ＝ＢＣ　
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
·
练一练
2、如图M、N为AB、CD的中点,且AB=CD.
求证：∠AMN＝∠CNM

A
B
C
D
M
N
O
这节课我们主要学习了哪些内容
如图，A、B分别为CD和EF的中点，AB分别交CD、EF于点M、N，且AM=BN。求证：CD=EF
⌒
⌒
证明：连结OA、OB，设分别与CD、EF交于点F、G
∵A为CD中点，B为EF中点 ∴OA⊥CD，OB⊥EF
故∠AFC=∠BGE=90°①
又由OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA ②
且AM=BN ③
∴△AFM≌△BGN（SAS） ∴AF=BG
∴OF=OG
∴DC=EF
F
G
拓展提高