1.1锐角三角函数（1）
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浙江省农村中小学现代远程教育工程资源建设项目
浙教版《数学》九年级下册第一章解直角三角形
1.1锐角三角函数（1）
衢州华茂外国语学校 李金林
制作日期 2011年9月13日
教学目标：
1.经历锐角的正弦、余弦和正切的探索过程，了解三角函数的概念.
2.掌握正弦、余弦和正切的符号，会用符号表示一个锐角的三角函数.
3.掌握在直角三角形中，锐角三角函数与边之比的关系.
4.了解锐角的三角函数值都是正实数，会根据锐角三角函数的定义求锐角三角函数值.
教学重点：锐角的正弦、余弦、正切和锐角三角函数的概念.
教学难点：锐角三角函数的概念.
教学过程：
一、创设情境，引入新课
小红在上山过程中，下列哪些量是变量，哪些量是常量(坡角，上升高度，所走路程)？
她在斜坡上任意位置时，上升的高度和所走路程的比值变化吗？小强呢
（通过学生自主探索，教师引导，从而发现小红在上山过程中，坡角是常量，上升高度和所走路程是变量.她在斜坡上任意位置时，上升的高度和所走路程的比值不会变化.）
当锐角为时，上升高度与所走路程的比值是；
当锐角为时，上升高度与所走路程的比值是；
当锐角为时，这个比值还是一个确定的值吗？
（为了得到这个结果，我设计了一个动手实践的操作环节.）
已知一个的∠MAN,在边AM上任意取一点B，作BC⊥AN于点C.用刻度尺先量出BC,AB的长度(精确到１毫米),再计算的值(结果保留2个有效数字),并将所得的结果与你同伴所得的结果作比较.你发现了什么？
将学生得出的数据写入表格.
（通过学生的操作结果，比较得出结果，这里可能涉及学生的操作不规范而出现数据不符合，这时教师应该说明，实验是有误差的，但是数据偏差太大，就可能是操作错误了.）
最后得出与学生一起总结出结论：
对于每一个确定的锐角α，在角的边上任意取一点B作BC⊥AC于点C，比值是一个确定的值．
问1：这个值会随着锐角α的变化而变化吗？
预想结果1：学生说不会.
就问他是怎么理解的,为什么不会等.
预想结果2：学生说会.
就请他上来画一画，叙述一下为什么会.
得出结论：比值随着锐角的变化而变化.
问2：这个值与点B在角的边上的位置有关吗？
与学生一起得出结论：比值与点B在角的边上的位置无关.
追问：那么，比值，呢？
二、形成定义
定义：一般地，对于每一个确定的锐角α，在角的
一边上任取一点Ｂ，作ＢＣ⊥ＡＣ于点Ｃ，则比
值,,都是一个确定的值，与点B在角的边上的位置无关，因此，比值,,都是锐角α的三角函数.
比值叫做∠α的正弦(sine)，记做sinα.
比值叫做∠α的余弦(cosine) ，记做cosα.
比值叫做∠α的正切(tangent) ，记做tanα.
注意：1、在三角函数的表示中，用希腊字母或单独一个大写英文字母表示的角前面的“∠”一般省略不写．
2、sinα、 cosα、 tanα是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义.
如果∠A是Rt△ABC的一个锐角（如图），则有
那么呢？
追问：你能求出sinA 与cosA的取值范围吗？
通过与学生交流，共同得出：.
三、新知运用
用一用
1.如图△ABC中，∠C=90°,BC=5,AC=12.
判断：（1）sinA=（ √ ）
（2）tanB=（ × ）
分析：本题涉及勾股定理和特殊三角函数两个知识点，先用勾股定理算出AB的长度，再
利用特殊三角函数求出结果.
解：∵∠C=90°,BC=5,AC=12
∴
∴,
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.
⑴ 若BC=8,AB=17,求sinA, cosA,tanA的值;
⑵ 若BC︰AB=1︰2 ,求sinA, cosA,tanA的值;
⑶ 若sinA=, 求sinB的值.
分析：第1小题给的条件是一条直角边和斜边的长度，需要先用勾股定理求出另一条直角边，再利用特殊三角函数求出结果；第2小题给的条件是一条直角边和斜边的比例关系，这里需要先设未知数，然后再重复第1小题的步骤；第3小题给的条件是∠A的正弦，其实就给出了一条直角边和斜边的比例关系，重复第2小题的步骤，这三道题由简单到复杂，由容易到难，很好地满足了学生的学生需求，步步上升，使学生在做的过程中充满激情，不会觉得是简单的重复，设计的非常好.下面给出参考答案：
解：（1）∵∠C=90°，BC=8,AB=17
∴
∴,,
(2)设，则
∵
∴
∴，，
（3）∵
∴设，则
又∵
∴
∴
解后语：已知直角三角形中的两边或两边之比，就能求出锐角三角函数值．
例1.如图:在Rt△ABC中,∠B=, AC=200, sinA=0.6.求BC的长.
分析：本题属于特殊三角函数值的简单应用，只需
利用sinA=的变形就可以得出，将数据代入进去即可以得出结果.
解：∵∠B=
∴sinA==0.6
∴BC=0.6AC=120
解后反思：本题属于简单题，属于知识的简单运用.
练一练：
1.在Rt△ABC中，∠C为Rt∠ ，AC:BC=1:2，求sinA+cosA的值.
分析：可以假设AC为，则BC为，根据勾股定理求出斜边AB的长度，则可以依据特殊三角函数求出sinA与cosA的值，从而求出sinA+cosA的值.
解：设,则.
∵∠C为Rt∠
∴AB=
∴sinA=,cosA=
∴sinA+cosA=
2.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.
求: sinB,cosB,tanB.
提示:过点A作AD垂直于BC于D.
分析：本题难度较大，涉及的知识点较多，有等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，特殊三角函数，还需要作辅助线的能力.
解：过点A作BC的垂线，交BC于点D
∵AB=AC=5,BC=6
∴BD=,AD⊥BC
∴AD=
∴，,
四、课堂小结
1.正弦，余弦和正切的概念；
2.三角函数的概念；
3.如果∠A是直角三角形的一个锐角，那么它的三角函数与边的关系.
4.锐角三角函数的值都是哪一类数，正弦和余弦有什么范围限制？
五、布置作业
1.复习本节内容
2.①必做题：作业本
②分层选做题：课本P6A组
课本P7B组
六、教学反思
本节课主要讲的是三角函数的概念，主要介绍的是正弦、余弦和正切的概念，在上课的过程中，要重点强调三角函数与边的关系，本节课与勾股定理联系密切，在解题时要重点介绍.
A
30°
B
C
45°
D
西坡
东坡
小红
小强
A
M
N
50O
A
B
C
200
A
C
B
┌
浙教版《数学》九年级下册第一章解直角三角形
1.1锐角三角函数（1）
衢州华茂外国语学校 李金林
制作日期 2011年9月13日
教学目标：
1.经历锐角的正弦、余弦和正切的探索过程，了解三角函数的概念.
2.掌握正弦、余弦和正切的符号，会用符号表示一个锐角的三角函数.
3.掌握在直角三角形中，锐角三角函数与边之比的关系.
4.了解锐角的三角函数值都是正实数，会根据锐角三角函数的定义求锐角三角函数值.
教学重点：锐角的正弦、余弦、正切和锐角三角函数的概念.
教学难点：锐角三角函数的概念.
教学过程：
一、创设情境，引入新课
小红在上山过程中，下列哪些量是变量，哪些量是常量(坡角，上升高度，所走路程)？
她在斜坡上任意位置时，上升的高度和所走路程的比值变化吗？小强呢
（通过学生自主探索，教师引导，从而发现小红在上山过程中，坡角是常量，上升高度和所走路程是变量.她在斜坡上任意位置时，上升的高度和所走路程的比值不会变化.）
当锐角为时，上升高度与所走路程的比值是；
当锐角为时，上升高度与所走路程的比值是；
当锐角为时，这个比值还是一个确定的值吗？
（为了得到这个结果，我设计了一个动手实践的操作环节.）
已知一个的∠MAN,在边AM上任意取一点B，作BC⊥AN于点C.用刻度尺先量出BC,AB的长度(精确到１毫米),再计算的值(结果保留2个有效数字),并将所得的结果与你同伴所得的结果作比较.你发现了什么？
将学生得出的数据写入表格.
（通过学生的操作结果，比较得出结果，这里可能涉及学生的操作不规范而出现数据不符合，这时教师应该说明，实验是有误差的，但是数据偏差太大，就可能是操作错误了.）
最后得出与学生一起总结出结论：
对于每一个确定的锐角α，在角的边上任意取一点B作BC⊥AC于点C，比值是一个确定的值．
问1：这个值会随着锐角α的变化而变化吗？
预想结果1：学生说不会.
就问他是怎么理解的,为什么不会等.
预想结果2：学生说会.
就请他上来画一画，叙述一下为什么会.
得出结论：比值随着锐角的变化而变化.
问2：这个值与点B在角的边上的位置有关吗？
与学生一起得出结论：比值与点B在角的边上的位置无关.
追问：那么，比值，呢？
二、形成定义
定义：一般地，对于每一个确定的锐角α，在角的
一边上任取一点Ｂ，作ＢＣ⊥ＡＣ于点Ｃ，则比
值,,都是一个确定的值，与点B在角的边上的位置无关，因此，比值,,都是锐角α的三角函数.
比值叫做∠α的正弦(sine)，记做sinα.
比值叫做∠α的余弦(cosine) ，记做cosα.
比值叫做∠α的正切(tangent) ，记做tanα.
注意：1、在三角函数的表示中，用希腊字母或单独一个大写英文字母表示的角前面的“∠”一般省略不写．
2、sinα、 cosα、 tanα是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义.
如果∠A是Rt△ABC的一个锐角（如图），则有
那么呢？
追问：你能求出sinA 与cosA的取值范围吗？
通过与学生交流，共同得出：.
三、新知运用
用一用
1.如图△ABC中，∠C=90°,BC=5,AC=12.
判断：（1）sinA=（ √ ）
（2）tanB=（ × ）
分析：本题涉及勾股定理和特殊三角函数两个知识点，先用勾股定理算出AB的长度，再
利用特殊三角函数求出结果.
解：∵∠C=90°,BC=5,AC=12
∴
∴,
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.
⑴ 若BC=8,AB=17,求sinA, cosA,tanA的值;
⑵ 若BC︰AB=1︰2 ,求sinA, cosA,tanA的值;
⑶ 若sinA=, 求sinB的值.
分析：第1小题给的条件是一条直角边和斜边的长度，需要先用勾股定理求出另一条直角边，再利用特殊三角函数求出结果；第2小题给的条件是一条直角边和斜边的比例关系，这里需要先设未知数，然后再重复第1小题的步骤；第3小题给的条件是∠A的正弦，其实就给出了一条直角边和斜边的比例关系，重复第2小题的步骤，这三道题由简单到复杂，由容易到难，很好地满足了学生的学生需求，步步上升，使学生在做的过程中充满激情，不会觉得是简单的重复，设计的非常好.下面给出参考答案：
解：（1）∵∠C=90°，BC=8,AB=17
∴
∴,,
(2)设，则
∵
∴
∴，，
（3）∵
∴设，则
又∵
∴
∴
解后语：已知直角三角形中的两边或两边之比，就能求出锐角三角函数值．
例1.如图:在Rt△ABC中,∠B=, AC=200, sinA=0.6.求BC的长.
分析：本题属于特殊三角函数值的简单应用，只需
利用sinA=的变形就可以得出，将数据代入进去即可以得出结果.
解：∵∠B=
∴sinA==0.6
∴BC=0.6AC=120
解后反思：本题属于简单题，属于知识的简单运用.
练一练：
1.在Rt△ABC中，∠C为Rt∠ ，AC:BC=1:2，求sinA+cosA的值.
分析：可以假设AC为，则BC为，根据勾股定理求出斜边AB的长度，则可以依据特殊三角函数求出sinA与cosA的值，从而求出sinA+cosA的值.
解：设,则.
∵∠C为Rt∠
∴AB=
∴sinA=,cosA=
∴sinA+cosA=
2.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.
求: sinB,cosB,tanB.
提示:过点A作AD垂直于BC于D.
分析：本题难度较大，涉及的知识点较多，有等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，特殊三角函数，还需要作辅助线的能力.
解：过点A作BC的垂线，交BC于点D
∵AB=AC=5,BC=6
∴BD=,AD⊥BC
∴AD=
∴，,
四、课堂小结
1.正弦，余弦和正切的概念；
2.三角函数的概念；
3.如果∠A是直角三角形的一个锐角，那么它的三角函数与边的关系.
4.锐角三角函数的值都是哪一类数，正弦和余弦有什么范围限制？
五、布置作业
1.复习本节内容
2.①必做题：作业本
②分层选做题：课本P6A组
课本P7B组
六、教学反思
本节课主要讲的是三角函数的概念，主要介绍的是正弦、余弦和正切的概念，在上课的过程中，要重点强调三角函数与边的关系，本节课与勾股定理联系密切，在解题时要重点介绍.
A
30°
B
C
45°
D
西坡
东坡
小红
小强
A
M
N
50O
A
B
C
200
A
C
B
┌