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2.7 直角三角形全等的判定
〖教学目标〗
◆1、探索两个直角三角形全等的条件.
◆2、掌握两个直角三角形全等的条件（HL）．
◆3、了解角平分线的性质：角的内部，到角两边距离相等的点，在角平分线上，及其简单应用．
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：直角三角形全等的判定的方法“HL”.
◆教学难点：直角三角形判定方法的说理过程.
〖教学过程〗
教师开篇寄语：我们的生活离不开数学，我们要做生活中的有心人。
1、 创设情境、引入新课：
如图，2012年新街镇中元旦文艺汇演的舞台背景的形状是两个直角三角形。当每个直角三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量。
（1）工作人员带了卷尺和测角器想知道这两个直角三角形是否全等，你能帮他想个办法吗
（通过学生发言小结可以通过测量某些边或角的大小,利用前面所学AAS，ASA，SAS来说明这两个直角三角形全等.）
（2）若他只带了一把卷尺时,能完成任务吗
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别对应相等,于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”。你认为他的结论对吗
2、 探索新知：
①自主实验、探索验证
利用直角三角尺和圆规作Rt△ABC,使∠C=Rt∠,AC=4cm,AB=5cm.
（教师启发引导学生一起利用画图的实验方法探索说明两个直角三角形全等的判定方法。）
②小组合作、推理证明
有斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等吗？如何会全等，你会证明吗？
（教师可启发引导学生一起利用以前学过的勾股定理的方法和图形变换的方法探索说明两个直角三角形全等的判定方法，可充分让学生想象。不限定方法。）
在△ACB和△A'C'B'中，∠C=∠C'=Rt∠，AB=A'B',AC=A'C',说明Rt△ACB≌Rt△A'C'B'的理由。
解法一：
解法一：
∵∠C=∠C'＝Rt∠，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,A'C'2+B'C'2=A'B'2
∵AC=A'C',AB=A'B',∴BC2=B'C'2∵BC＞0，B'C'＞0，∴BC=B'C'
∴Rt△ACB≌ Rt△A'C'B'（SSS）.
解法二：
∵AC=A'C'，将Rt△ACB作旋转，平移变化，
使A'C'与AC重合，点B与点B'分别在AC的两侧.
∵∠ACB=∠ACB'=90°，∴B,C,B'在同一条直线上，且AC⊥BB'.
∵AB=A'B'，∴BC=B'C'（等腰三角形三线合一）。
∵AC=A'C'（公共边），∴Rt△ACB≌ Rt△A'C'B’（SSS）。
（教师点明：无论是利用勾股定理还是图形变换来证明全等，我们都是把一些不能直接推导出所求结论的条件，利用以前学过的熟悉的知识进行转化。使得最终推导出所求结论。这样的思想方法就是我们数学中的转化思想。）
三、 获得新知
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
数学表达式：
在Rt△ACB和 Rt△A'C'B'中，
AC= AC
AB=A’B’
∴Rt△ACB≌ Rt△A'C'B(HL)
教师归纳出方法后，要学生注意一点：
“HL”是仅适用于Rt△的特殊方法。应用“HL”时，必须要先有两个Rt△的条件。
3、 走进生活、应用新知
生活中的数学1：
在新街镇中的教学楼前有两根绳子，长度为12米。一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。
(学生练习实物投影，教师点评反馈)
生活中的数学2：
已知两条公路成一个角。
小明：你能站在两条公路所在的平分线上吗？
小聪：我站的点就在角平分线上，因为我到两条公路的距离相等。
小明：这是为什么呢？聪明的同学们，你们告诉我吗？
（学生练习实物投影，教师点评反馈）
已知：P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE ⊥OB，D，E分别是垂足，且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上，请说明理由。
教师设问：同学们，通过这道题目你得出了什么结论？
（教师引导学生回顾角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边距离相等。这其中的条件是什么？结论是什么？本题的条件是什么？结论是什么？两者有怎样的关系。）
小结：角平分线的又一个性质：（判定一个点是否在一个角的平分线上的方法）
角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
生活中的数学3：
三条公路两两相交，现在要在三条公路围成的封闭区域内建一个小亭，使它到三条公路的距离相等。你能找出这个亭子的位置吗？
（合作学习、小组讨论，并由小组代表回答）
生活中的数学4：（备用）
如图是一只彩虹风筝,它由若干根竹竿做为骨架支撑而成。若不考虑三条尾带，彩虹风筝的主体形状是△ABC 。若D是竹竿BC边上的中点,竹竿DE⊥AB，DF⊥AC,且竹竿DE=DF. 请说明彩虹风筝的主体形状是等腰三角形.
（学生练习实物投影，教师点评反馈）
五、小结回顾，反思提高
小结回顾的三个维度：知识、能力、情感。
（1）知识收获：
①你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？
SSS, SAS, ASA,AAS, HL
②你认为用HL证明两个三角形全等需要什么？
只适合证明两个直角三角形全等
③角平分线的判定：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
（2）能力收获：
数学思想-转化思想
（3）情感收获：
1.我们的生活离不开数学，我们要善于发现生活中的数学。
2.Team work.(合作很重要)
六、布置作业：
作业本2.7 、《导学新作业》2.7
附：板书设计
§2.7直角三角形全等的判定
1. 转化思想
2. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（HL）
3. HL的数学表述：
在Rt△ACB和 Rt△A'C'B'中
AC= AC
AB=A’B’
∴Rt△ACB≌ Rt△A'C'B(HL)
4. 角平分线的判定 戎晓军
金山学校
A’
B
C
A
C’
B’
A
C
B
A’
C’
B’
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判定两个三角形全等的方法有：
SSS 、SAS、ASA、AAS
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员带了量角器和卷尺。如果他想知道两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住,无法测量。
(1) 你能帮他想个办法吗？
A
B
C
D
0
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别对应相等。于是，他就肯定“两个直角三角形是全等的”。
你认为这个结论对吗？
（2）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗
让我们来验证这个结论。
斜边和一条直角边对应相等 两个直角三角形全等
A
B
C
D
0
如图，在△ABC和△A’B’C’中,∠C= ∠C’=Rt∠，
AB=A’B’,AC=A’C’.则△ABC和△A’B’C’ 全等的理由。
Ａ
Ｃ
Ｂ
A’
C’
B’
如图，在△ABC和△A’B’C’中,∠C= ∠C’=Rt∠，
AB=A’B’,AC=A’C’.则△ABC和△A’B’C’ 全等的理由。
解:∵ ∠C= ∠C’=Rt∠
∴ AB =BC +AC ，
A’B’ =B’C’ +A’C’ （勾股定理） 即： BC =AB -AC ，
B’C’ =A’B’ -A’C’ ∵ AB=A’B’，AC=A’C’ ∴ BC =B’C’ ∴ BC=B’C’
Ａ
Ｃ
Ｂ
A’
C’
B’
∴ ΔABC ≌ ΔA’B’C’（SSS）
如图在Δ ABC和Δ A’B’C’中， ∠ C= ∠ C’=Rt ∠ AB=A’B’，AC=A’C’ 说明Δ ABC和Δ A’B’C’ 全等的理由。
分析：无论RtΔ ABC和RtΔ A’B’C’的位置如何。我们总是可以通过作旋转、平移、轴对称变换得到图形，如图，即Ａ‘Ｃ’ 和ＡＣ重合，点Ｂ'和点Ｂ分别在ＡＣ两侧.
解∵ ∠ 1= ∠ 2=90 °
∴ Ａ，C，B'在同一直线上，AC ⊥BB’
Ｂ
Ｃ（Ｃ′）
Ｂ'
Ａ（Ａ‘）
∵ AB=A'B'
∴ BC=B'C'（等腰三角形三线合一）
又∵ AC=A'C'（公共边）
∴ ΔABC ≌ ΔA‘B’C‘（SSS）
如图在Δ ABC和Δ A’B’C’中， ∠ C= ∠ C’=Rt ∠ AB=A’B’，AC=A’C’ .
说明Δ ABC和Δ A’B’C’ 全等的理由。
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
(可以简写：“斜边、直角边”或“HL”）
直角三角形全等的判定方法
“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.
应用“HL”时，必须先有两个Rt△的条件.
所以数学表达式应为：
在Rt△ACB和 Rt△A'C'B'中
A C= A C
A B=A B
∴Rt△ABC≌Rt△ A B C (H L)
∵
因为“HL”仅适用直角三角形,
如图，在学校的教学楼前有两根绳子，长度为12米。一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。
解： 相等 （BD=CD）
如图，在学校的教学楼前有两根绳子，长度为12米。一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？说明你的理由。
由题意可知：AD⊥BC
∴ △ABD和△ACD都为Rt△
∴ BD=CD
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)
在Rt△ABD和Rt△ACD中
AD=AD
AB=AC
例、如图，已知 P是∠AOB内部一点，PD⊥OA， PE⊥OB，D，E分别是垂足,且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上.请说明理由。
解: 作射线OP
在Rt Δ PDO 和 RtΔ PEO中：
PD=PE
OP=OP
∴ RtΔ PDO ≌ RtΔ PEO（HL）
∵ PD ┴ OA，PE ┴ OB，
∴ ∠ PDO= ∠ PEO=Rt ∠
∴ ∠ 1= ∠ 2，即点P在∠ AOB的平分线上。
同学们，你得出什么结论？
角平分线的判定：
角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
三条公路两两相交，现在要在三条公路围成的封闭区域内建一个小亭，使它到三条公路的距离相等。你能找出这个亭子的位置吗？
D
E
F
能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？
小 结
1.你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？
SSS, SAS, ASA,AAS, HL
2.你认为用HL证明两个三角形全等需要什么？
HL只适合证明两个直角三角形全等
3. 角平分线的判定：
角的内部，到角两边距离相等的点，
在这个角的平分线上.
1、作业本2.7
2、《导学新作业》2.7
作业：
祝同学们学习进步！
节日快乐！
如图是一只彩虹风筝,它由若干根竹竿做为骨架支撑而成。若不考虑三条尾带，彩虹风筝的主体形状是△ABC 。若D是竹竿BC边上的中点,竹竿DE⊥AB，DF⊥AC,且竹竿DE=DF. 请说明彩虹风筝的主体形状是等腰三角形.（备用题）
∴∠B=∠ C
∴ △ABC 是等腰三角形。即风筝的主体形状是等腰三角形.
解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC
∴ ∠ BED= ∠ CFD=Rt ∠
又∵ 点D是BC的中点
∴ BD=CD
在Rt △BDE 和 Rt △CDF中：
DE=DF(已知）
BD=CD
∴ Rt△BDE ≌ Rt △CDF(HL)
A
B
C
D
E
F
