2020年浙教版九年级数学第4章 相似三角形单元综合测试卷（Word版，含解析）

2020年浙教版九年级数学第4章
相似三角形单元综合测试卷解析版
一、选择题（共10题；共30分）
1.已知三条线段的长分别为1．5，2，3，则下列线段中，不能与它们组成比例线段的是（
???）
??????
A.?1????????????
??????????B.?2.25?????
?????C.?4????????
?????D.?2
2.如图，在△ABC中，DE∥AB，且
＝
，则
的值为（??
）
A.???????????????????B.???????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
3.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E
，
交AD于点F
，
交CD的延长线于点G
，
若AF＝2FD
，
则
的值为（???
）
A.??????????????????????B.????????????????????????????C.??????????????????????????D.?
4.生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C将线段AB分成AC、CB两部分，且AC＞BC，如果
，那么称点C为线段AB的黄金分割点．若C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则分割后较短线段长为（??
）
A.?????????????????????B.??????????????????????C.???????????????????D.?
5.一个三角形木架三边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条.要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（??
）
A.?一种?????????????????????B.?两种???????????????????C.?三种??????????????????????D.?四种
6.如图，在
中，D、E分别是AB和AC的中点，
，则
（???
）
A.?30????????????????B.?25?????????????????C.?22．5??????????????????????D.?20
7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，2），B（1，1），C（3，1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（??
）
A.???????????????????B.?2?????????????????????????C.?4???????????????????????????D.?2
8.下列说法正确的个数是(???
)
①位似图形一定是相似图形;②相似图形一定是位似图形;③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间;④若五边形ABCDE与五边形A＇B＇C＇D＇E＇位似，则其中△ABC与△A＇B＇C＇也是位似的且相似比相等.
A.?1个???????????????????B.?2个???????????????????C.?3个???????????????????D.?4个
9.在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（??
）
A.?4个???????????????????????B.?5个?????????????????????C.?6个?????????????????????D.?7个
10.如图，正方形
中，点F是
边上一点，连接
，以
为对角线作正方形
，边
与正方形
的对角线
相交于点H，连接
．以下四个结论：①
；②
；③
；④
．其中正确的个数为（??
）
A.?1个??????????????????????B.?2个??????????????????????C.?3个?????????????????????????????????D.?4个
二、填空题（共8题；共24分）
11.如图，在
与
中，
，要使
与
相似，还需添加一个条件，这个条件可以是________（只需填一个条件）
12.如图，
．若
，
，则
________．
13.如图，
三个顶点的坐标分别为
，以点
为位似中心，相似比为
，将
缩小，则点
的对应点
的坐标是________.
14.如图，点C在
的内部，
，
与
互补，若
，
，则
________．
15.《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD
，
从木杆的顶端D观察井水水岸C
，
视线DC与井口的直径AB交于点E
，
如果测得AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为________米．
16.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为
、
，点
在第一象限内，连接
、
.已知
，则
________.
17.如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝
，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝________.
18.如图，正方形纸片
的边长为5，E是边
的中点，连接
．沿
折叠该纸片，使点B落在F点．则
的长为________．
三、综合题（共7题；共66分）
19.如图，已知点D是
的边AC上的一点，连接
，
，
.
（1）求证：
∽
；
（2）求线段CD的长.
20.如图，点E在矩形ABCD的边AD上，且∠EBC＝∠ECB．
（1）求证：AE＝ED；
（2）连接BD交CB于点F，求△BCF和△DEF的面积之比．
21.已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC
，
若AB=3，AC=4．
（1）求BD、CD的长；
（2）过B作BE⊥DC于E
，
求BE的长．
22.如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB的顶点O，A，B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上．
（1）以O为位似中心，将△OAB放大，使得放大后的△OA1B1
，
与△OAB对应线段的比为2：1，画出△OA1B1
，
（所画△OA1B1与△OAB在原点两侧）；
（2）直接写出点A1、B1的坐标________；
23.如图，AE为△ABC外接圆⊙O的直径，AD为△ABC的高．
求证：
（1）∠BAD=∠EAC；
（2）AB?AC=AD?AE
24.已知：如图，在△ABC中，AB=AC
，
点D、E分别在边BC、DC上，AB2
=BE
·
DC
，
DE:EC=3:1
，
F是边AC上的一点，DF与AE交于点G
．
（1）找出图中与△ACD相似的三角形，并说明理由；
（2）当DF平分∠ADC时，求DG:DF的值；
（3）如图，当∠BAC=90°，且DF⊥AE时，求DG:DF的值．
25.如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝
，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与
相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
答案
选择题
1.解：A、1.5×2=3×1，故A不符合题意；
B、1.5×3=2×2.25，故B不符合题意；
C、2×3=1.5×4，故C不符合题意；
D、
1.5，2，3，2不能组成比例线段，
故D符合题意.
故答案为：D.
2.解：∵DE//AB，
∴
∴
的值为
.
故答案为：A.
3.解：由AF＝2DF
，
可以假设DF＝k
，
则AF＝2k
，
AD＝3k
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
，
AB∥CD
，
AB＝CD
，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG
，
∠ABF＝∠G
，
∵BE平分∠ABC
，
∴∠ABF＝∠CBG
，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G
，
∴AB＝CD＝2k
，
DF＝DG＝k
，
∴CG＝CD+DG＝3k
，
∵AB∥DG
，
∴△ABE∽△CGE
，
∴
，
故答案为：C
．
4.解：根据黄金分割点的概念得：AC=
∴BC=AB-AC=?
；
故答案为：B．
5.解：长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长120cm的木条不能作为一边，
设从120cm的木条上截下两段长分别为xcm，ycm（x+y≤120），
由于长60cm的木条不能与75cm的一边对应，否则x、y有大于120cm，
当长60cm的木条与100cm的一边对应，则
，
解得：x＝45，y＝72；
当长60cm的木条与120cm的一边对应，则
，
解得：x＝37.5，y＝50.
答：有两种不同的截法：把120cm的木条截成45cm、72cm两段或把120cm的木条截成37.5cm、50cm两段.
故答案为：B.
6.解：根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE∥BC且DE=
BC，故可以判断出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知
：
=1：4，则
：
=3：4，题中已知
，故可得
=5，
=20
故本题选择D
7.解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，
而A（1，2），C（3，1），
∴D（2，4），F（6，2），
∴DF＝
＝2
.
故答案为：D.
8.利用位似的定义可知，位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形，因为它是一种特殊的相似，所以①符合题意，②不符合题意；
两个位似图形若全等，根据对应点一定相交于一点，可得到位似中心可能在两个图形之间，也可能在三角形内部或边上，所以③不符合题意；
若五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1位似，则在五边形中连线组成△ABC与△A1B1C1
，
可得它也是位似且相似比相等，故④符合题意.
所以①④符合题意.
故答案为：B.
9.解：
ABC的三边之比为
，
如图所示，可能出现的相似三角形共有以下六种情况：
所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个，
故答案为：C.
10.解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形
∴∠EAG=∠BAD=90°
又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG
∴∠EAB=∠GAD
∴①符合题意
②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形
∴AD=DC，AG=FG
∴AC=
AD，AF=
AG
∴
，
即
又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC
∴∠DAG=∠CAF
∴
∴②符合题意
③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线
∴∠AFH=∠ACF=45°
又∵∠FAH=∠CAF
∴△HAF∽△FAC
∴
即
又∵AF=
AE
∴
∴③符合题意
④由②知
又∵四边形ABCD为正方形，
AC为对角线
∴∠ADG=∠ACF=45°
∴DG在正方形另外一条对角线上
∴DG⊥AC
∴④符合题意
故答案为：D．
二、填空题
11.添加条件：∠B=∠E；
∵
，∠B=∠E，
∴△ABC∽△AED，
故答案为：∠B=∠E（答案不唯一）．
12.解：∵
，
∴
，
又∵
，
，
∴
，
∴
，
故答案为：10．
13.解：∵以点
为位似中心，相似比为
，将
缩小，
∴点
的对应点B′的坐标是（2，4）或（-2，-4）.
故答案为：（2，4）或（-2，-4）.
14.解：∵∠OCA＝∠OCB，∠OCA与∠AOB互补，
∴∠OCA＋∠AOB＝180°，∠OCB＋∠AOB＝180°，
∵∠OCA＋∠COA＋∠OAC＝180°，∠OCB＋∠OBC＋∠COB＝180°，
∴∠AOB＝∠COA＋∠OAC，∠AOB＝∠OBC＋∠COB，
∴∠AOC＝∠OBC，∠COB＝∠OAC，
∴△ACO∽△OCB，
∴
，
∴OC2＝2×
＝3，
∴OC＝
，
故答案为：
．
15.解：∵BD⊥AB
，
AC⊥AB
，
∴BD
AC
，
∴△ACE∽△DBE
，
∴
，
∴
，
∴AC=7(米)，
故答案为：7(米)．
16.解：如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，
∴∠DCE＝∠CAO，
∵∠BCA＝2∠CAO，
∴∠BCA＝2∠DCE，
∴∠DCE＝∠DCB，
∵CD⊥y轴，
∴∠CDE＝∠CDB＝90°，
又∵CD＝CD，
∴
CDE≌
CDB（ASA），
∴DE＝DB，
∵B（0，4），C（3，n），
∴CD＝3，OD＝n，OB＝4，
∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n，
∴OE＝OD－DE
＝n－（4－n）
＝2n－4，
∵A（－4，0），
∴AO＝4，
∵CD∥AO，
∴
AOE∽
CDE，
∴
，
∴
，
解得：
，
故答案为：
.
17.解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，
∵E为CD的中点，
∴DE＝
CD＝
AB，
∴△ABP∽△EDP，
∴
＝
，
∴
＝
，
∴
＝
，
∵PQ⊥BC，
∴PQ∥CD，
∴△BPQ∽△DBC，
∴
＝
＝
，
∵CD＝2，
∴PQ＝
，
故答案为：
.
18.根据折叠的性质，△ABE
△BFE，AE垂直平分BF，且E是边BC的中点，
∴BE=EF=EC，∠BEA=∠FEA，
∴∠EFC=∠ECF，
∵∠BEF
=∠BEA+∠FEA=∠EFC+∠ECF，
∴∠BEA=∠ECF，
∴AE∥FC，
∵四边形
是边长为5的正方形，且E是边BC的中点，
∴∠ABC=90
，AB=5，BE=
，
∴
，
连接BF交AE于点G，如图：
∵AE垂直平分BF，
∴∠BGE=90
，
∴Rt△EBG∽Rt△EAB，
∴
，即
，
∴
，
∵GE∥FC，E是边BC的中点，
∴CF=2GE=
，
故答案为：
．
三、解答题
19.（1）解：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A（公共角），
∴△ABD∽△ACB
（2）解：由（1）知：△ABD∽△ACB，
∵相似三角形的对应线段成比例
，∴
=
，即
＝
，
解得：CD＝5
20.
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠CDE＝90°，
∵∠EBC＝∠ECB，
∴EB＝EC，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），
∴AE＝ED
（2）解：∵BC＝AD，AE＝ED，
∴BC＝2DE，
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴
21.
（1）解：Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC=
=5，
∵Rt△ABC∽Rt△BDC，
∴
，
，
∴BD=
，CD=
（2）解：在Rt△BDC中，
S△BDC=
BE?CD=
BD?BC，
∴BE=
=
=3
22.
（1）解：如图2，△OA1B1即为所求；
（2）（4，0）和（2，﹣4）
解：（1）由图2可知，A1、B1的坐标为（4，0）和（2，﹣4）；
故答案为：（4，0）和（2，﹣4）；
23.
（1）证明：如图，连接CE，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠B=90°，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠EAC+∠E=90°，
又∵∠B=∠E，
∴∠BAD=∠EAC
（2）在△ABD与△AEC中，
，
∴△ABD∽△AEC，
∴,
∴AB?AC=AD?AE
24.
（1）解：与△ACD相似的三角形有：△ABE、△ADC，理由如下：
∵AB2
=BE
·
DC
，
∴
．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
，
∴△ABE∽△DCA．
∴∠AED=∠DAC．
∵∠AED=∠C+∠EAC，∠DAC=∠DAE+∠EAC，
∴∠DAE=∠C．
∴△ADE∽△CDA
．
（2）解：∵△ADE∽△CDA，DF平分∠ADC，
∴
，
设CE=a，则DE=3CE=3a，CD=4a，
∴
，解得
（负值已舍）
∴
；
（3）解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°
，
∴∠DAE=∠C=45°，
∵DG⊥AE，
∴∠DAG=∠ADF=45°，
∴AG=DG=
，
∴
，
∵∠AED=∠DAC
，
∴△ADE∽△DFA，
∴
，
∴
，
∴
.
25.
（1）解：设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），
则x＝
＝
（2t﹣t），解得：t＝1，
故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）解：对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，故点C（0，2），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，
设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），
则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，
∵﹣1＜0，故DF有最大值，此时m＝1，点D（1，2）；
（3）解：存在，理由：
点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则OD＝m，DE＝﹣m2+m+2，
以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，
则
或
，即
＝2或
，即
＝2或
，
解得：m＝1或﹣2（舍去）或
或
（舍去），
故m＝1或
．