(共26张PPT)
6.3 正方形
2002年世界数学大会会标
1、给你一张正方形的彩色纸，你能一刀剪出如图的正方形孔吗？
正方形
矩形
2、给你一张矩形纸能把它折成一个正方形吗？
邻边相等的矩形
正方形
菱形
想一想
菱形经这样变化能成为正方形呢？
一个角是直角的菱形
平行四边形
正方形
矩形
菱形
一组邻边相等
一组邻边相等
一内角是直角
一内角是直角
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
菱形
矩形
平行四边形
正
形
方
平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。
边: 对边平行
四边相等
角 ：四个角都是直角
对角线： 相等
互相垂直平分
每条对角线平分一组对角。
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
1、
正方形
菱形
2、
一内角是直角
矩形
3、
一组邻边相等
正方形
你觉得什么样的四边形是正方形呢 ( 判断一个四边形是正方形有哪些方法？）
议一议
√
√
√
×
(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的
等腰直角三角形（ ）
(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（ ）
(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定
是正方形 （ ）
(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它
一定是正方形 （ ）
(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形
是正方形（ ）
√
试一试
1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
（A）四条边相等 （B）对角线互相垂直平分
（C）对角线平分一组对角（D）对角线相等
2、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
（A）四个角相等 （B）对角线互相垂直平分
（C）对角线相等 （D）对角互补
3、如图：正方形ABCD的周长为15cm，则矩形EFCG的周长为 cm。
A
B
C
D
E
G
F
D
B
7.5
试一试
已知：如图正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O。
求证： △ABO ≌ △BCO ≌ △CDO ≌△ADO
例1、求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个
全等的等腰直角三角形。
例2、如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。
证明：
∴OA－OM＝OB－ON
∴OM＝ON
∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45°
又∵MN∥AB
∠1＝∠2＝∠3＝45°
∴OA＝OB AB=BC
∵四边形ABCD是正方形
即：AM=BN
∴△ABM≌△BCN
∴BM=CN
1.已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝2cm，则AC= ,
正方形的面积S=______.
2
2
4
6
36
2.已知：在正方形ABCD中，对角线AC、
BD相交于点O，且AC＝6 cm，
面积S=________.则边长AB＝______,
3、如图，正方形ABCD的周长为15cm，则矩形EFCG的周长为 cm。
例3、 直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥AB。求证：四边形CEDF是正方形。
A
B
C
D
E
F
∴四边形ABCD是正方形（ )
∴ DE=DF( )
DE⊥AC， DF⊥BC
∵ CD平分∠ACB
∴ 四边形ABCD为矩形( )
而∠ACB=90°
∴ ∠DEC=90°， ∠DFC=90°
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB
例4、已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M， 求证：∠MFD＝45°
证明：
∴DM=DF
∴Rt△CDM≌Rt△ADF (AAS)
又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC=Rt∠
∴∠1＝∠2
∵∠CMD＝∠AME
∴∠ADC＝∠AEM＝90°
∵CE⊥AF 四边形ABCD是正方形
∴∠MFD＝45°
1、如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB (2) BH⊥AF
练一练
2、如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。 求证：∠CEA＝∠ABG
证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。 ∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90° 又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∴∠EAC＝∠BAG ∴△AEC≌△ABG (SAS)
∴∠CEA＝∠ABG
3、在正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ`，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分别在ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上，且ＡＡ`＝ＢＢ`＝ＣＣ`＝ＤＤ`.四边形Ａ`Ｂ`Ｃ`Ｄ`是正方形吗？为什么？
D`
C`
B`
A`
D
C
B
A
A
B
C
D
E
F
G
4、如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF，探索图中AE与BF的关系。
A
B
D
C
F
E
5、如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长线上，且CE=AC，AE交CD于F，则求∠AFC的度数。
6、在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别是E,F.
1)试说明:DE=DF
2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.
请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外
添加辅助线,无需证明)
1、通过这节课的学习活动
你有哪些收获？
2、你还有什么想法？
1、在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）
课外拓展：
2、如图所示是一块在电脑屏幕上出现矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，若中间最小的一个正方形边长为1，你能求这矩形色块的面积吗？
课外拓展：(共21张PPT)
七巧板
铜钱
方巾
回顾 与 思考
. 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
特殊的平行四边形：矩形和菱形
你觉得什么样的 平行四边形是正方形呢
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
矩形
+(1)
正方形
+(2)
正方形
菱形
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
(2)+(3)
(1)+(3)
(1)
(2)
(3)
正方形是特殊的 ， 是特殊的 ，也是特殊的 。
平行四边形
菱形
正
方
形
矩形
平行四边形
矩形
菱形
关系图:
正方形同时具有矩形和菱形的性质。
回顾平行四边形，矩形，菱形的性质，完成表格前三列
平行四边形 矩 形 (所特有) 菱形 (所特有)
边
角
对角线
图形的对称性
对边平行且相等
四条边相等
对边平行且四条边相等
对角相等
四个角都是直角
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线相等
对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角
对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
中心对称图形
既是中心对称图形又是轴对称图形
既是中心对称图形又是轴对称图形
既是中心对称图形又是轴对称图形
图形
性质
分类
正方形
对角线：相等
互相垂直平分
每条对角线平分一组对角。
边: 对边平行
四边相等
正方形性质:
角 ：四个角都是直角
图形的对称性：既是轴对称图形,
又是中心对称图形.
有一组邻边相等
有一个角是直角
判定正方形的方法
菱形
矩形
正方形
2、有一组邻边相等的矩形是正方形；
常用判定方法
3、有一个角是直角的菱形是正方形。
1、有一组邻边相等且有一个角是直角
的平行四边形叫做正方形.
矩形
+(1)
正方形
+(2)
正方形
菱形
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
(2)+(3)
(1)+(3)
(1)
(2)
(3)
正方形的一条对角线把正方形
分成两个全等的等腰直角三角形.( )
√
判断对错并说明理由(对的打√，错的打×）
如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是正方形.( )
√
判断对错并说明理由(对的打√，错的打×）
如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形.( )
√
判断对错并说明理由(对的打√，错的打×）
四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形.( )
√
判断对错并说明理由(对的打√，错的打×）
正方形具有而菱形不一定具有的
性质是（ ）
A、四条边相等.
B、对角线互相垂直平分.
C、对角线平分一组对角.
D、对角线相等.
D
正方形具有而矩形不一定具有的
性质是（ ）
A、四条角相等.
B、对角线互相垂直平分.
C、对角互补.
D、对角线相等.
B
1.给你一张矩形纸条，折一次，你能截出一个正方形吗
2.将一张正方形纸片，对折两次，然后选择适当的位置沿直线方向剪一刀，展开铺平后的图形能得到如下图形吗(纸片里面剪去的为四边形孔)？请选择一种图形剪剪看。请与你的同桌交流一下你的剪法。
若是一块长方形木板，你又能怎样从中
截出面积最大的正方形木板呢？
已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，
CD是∠ACB的平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，
垂足分别是E、F
求证：四边形CFDE是正方形
通过这节课的学习，请你谈谈 你对正方形的认识。
会说出下图的演变过程吗？
