3.5 弧长及扇形的面积(2)

(共27张PPT)
在半径为R 的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为
计算半径和圆心角的公式为：
在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长3m的绳子,绳子的另一端拴着一只狗.
问题（1）这只狗的最大活动区域有多大
问题（2）如果这只狗只能绕柱子转过n°角,那么它的最大活动区域有多大
(2) 狗的活动区域是扇形。扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的是整圆的面积，l°的圆心角对应的圆面
积的 ，即 × ＝ ， °的圆心
角对应的圆面积为 × ＝ ．
(1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，
即．
如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。
半径
半径
圆心角
圆心角
弧
A
B
O
B
A
扇形
如图，扇形AOB的半径为R,∠AOB=n°
怎样求扇形AOB的面积
O
A
B
扇形面积的大小到底和哪些因素有关呢？
（当圆半径一定时）扇形的面积随着圆心角的增大而增大。
1. 圆心角是3600的扇形面积是整个圆的几分之几？
2. 圆心角是1800的扇形面积是整个圆的几分之几？
3. 圆心角是900的扇形面积是整个圆的几分之几？
4. 圆心角是2700的扇形面积是整个圆的几分之几？
在半径为R 的圆中,n°的圆心角所对的扇形面积的计算公式为
如果圆的半径为R，则圆的面积为
l°的圆心角对应的扇形面积为
n0的圆心角对应的扇形面积为
l 弧
＝ πR
180
n
S扇形
360
n
＝ πR2
在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n°、半径R有关系，因此l 和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗
扇形面积大小（ ）
(A)只与半径长短有关 (B)只与圆心角大小有关
(C)与圆心角的大小、半径的长短有关
C
如果半径为r，圆心角为n0的扇形的面积是S，那么n等于（ ）
(A) (B) (C) (D)
360S
πr
360S
πr2
180S
πr
180S
πr2
B
3. 如果一个扇形面积是它所在圆的面积的 ，则此扇形的圆心角是（ ）
(A)300 (B)360 (C)450 (D)600
1
8
C
选一选
如图，有一把折扇和一把团扇。已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120 °，问哪一把扇子扇面的面积大？
a
a
1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S扇=_ .
6
2、已知扇形面积为 ，圆心角为30°，则这个扇形的半径R=____．
3、已知半径为5cm的扇形，其弧长为 ，
则这个扇形的面积，S扇=——．
4、已知扇形的圆心角为1500，弧长为 ，则扇形的面积为__________．
5、已知一扇形的半径等于另一个圆的直径，且它的面积等于该圆的面积，则这个扇形的圆心角是 。
900
例2、如图,水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm,截面中有水部分弓形的高为6cm,求截面中有水部分弓形的面积.
O
A
B
6cm
C
我国著名的引水工程的主干线输水管的直径为2.5m,设计流量为12.73m3 /s.如果水管截面中水面面积如图所示,其中∠AOB=45°,那么水的流速应达到多少m/s.
O
A
B
(精确到0.01m/s).
D
C
讨论归纳
S弓形=S扇形-S三角形
当弓形所对的是劣弧时
当弓形所对的是优弧时
S弓形=S扇形+S三角形
当弓形所对的是半圆弧时
S弓形=S半圆
想一想
如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所围成的两个新月形，它的面积与直角三角形的面积有什么关系？请说明理由。
例4、如图,扇形AOB的圆心角为直角，边长为1的正方形OCDE的顶点C，E，D分别在OA，OB，AB上,过点A作AF⊥ED，交ED的延长线于点F，求图中阴影部分的面积.
⌒
做一做
如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=2，以B为圆心，以BA为半径作圆弧，交CB的延长线于点E，连结DE，求图中阴影部分的面积。
E
2．探索弧长及扇形的面积之间的关系，并能已知l、n、R、S中的两个量求另一两个量．
1．探索扇形的面积公式 ，并运用公式进行计算．
S扇形
360
n
＝ πR2
3.扇形的面积大小与哪些因素有关？
（1）与圆心角的大小有关
（2）与半径的长短有关
4.扇形面积公式与弧长公式的区别：
l弧＝ C圆
360
n
S扇形＝ S圆
360
n
5.扇形面积单位与弧长单位的区别：
（1）扇形面积单位有平方的
（2）弧长单位没有平方的