(共21张PPT)
（1）菱形的定义是什么？
（2）菱形有哪些性质？
（3）判定一个四边形是不是菱形可根据什么？
（4）菱形还有其他判定方法吗？
回 顾
定义法
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
1.具有平行四边形的一切性质。
2.菱形本身具有的特殊性质:四条边相等, 两条对角线互相垂直平分, 每一条对角线平分一组对角.
1.(1)已知菱形ABCD的边长为4, ∠DAB=60°,则对角线AC=______,BD=____,面积S菱形ABCD=________.
(2)已知菱形ABCD的两条对角线长分别为2cm, cm,则菱形ABCD的边长为_____cm.
2.已知点E为菱形ABCD的一条对角线AC上的任意一点,连结BE并延长交AD于点F,连结DE.
求证:∠AFB=∠CDE.
A
B
C
D
F
E
4
取一张长方形纸片,按下图的方法对折两次,并沿图(3)中的斜线剪开,把剪下的1这部分展开,平铺在桌面上.
(1)
(2)
(3)
1
议一议:(1)剪出的这个图形是哪一种四边形 一定是菱形吗
(2)根据折叠, 剪裁的过程,这个四边形的边和对角线分别具有什么性质
(3)一个平行四边形具备怎样的条件,就可以判定它是菱形
定理1.四条边相等的四边形是菱形.
定理2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
A
B
C
D
O
已知:在平行四边形ABCD中,BD⊥AC,O为垂足.
求证:平行四边形ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=OC
∵BD⊥AC
∴AD=CD
∴平行四边形ABCD是菱形
菱形的判定：
四条边都相等的四边形是菱形.
AB=BC=CD=DA
A
B
C
D
菱形ABCD
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
四边形ABCD
A
B
C
D
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
AC⊥BD
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
∵□ABCD，AC⊥BD
∴ □ABCD是菱形
一组邻边相等
对角线互相垂直
四条边相等
四种判定方法
四边形
平行四边形
菱形
菱形的判定方法：
1、画一个菱形，使它的两条对角线的长分别为4cm和6cm。
o
A
C
D
B
6cm
4cm
练一练
（1）两条对角线互相垂直的四边形是菱形. ( )
2、辨一辨
（2）两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形. ( )
A
B
C
D
O
错
对
A
D
C
B
例1、如图，在 矩形ABCD中，对角线AC垂直平分与AD，BC分别交于E，F 求证：四边形AFCE是菱形
O
E
F
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AE//FC(矩形的定义)
∴∠EAC=∠ACF
又∵∠AOE=∠COF,AO=CO,
∴△AOE≌△COF,
∴EO=FO.
∴四边形是平行四边形
(对角线相互平分的四边形是平行四边形).
∵EF⊥AC
∴四边形AFCE是菱形
(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
A
D
C
B
O
2
1
解：（1）∵ AB= ，AO=2，OB=1.
∴
∴ ∠AOB=Rt∠， ∴AC⊥BD.
（2）∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形.
1、如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB= ，AO=2，OB=1.
（1）AC，BD互相垂直吗？为什么？
（2）四边形ABCD是菱形吗？为什么？
练一练:
2、一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，求证：这个平行四边形为菱形。
练一练:
3、如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是各边的中点。连结DE、EF、FD图中有菱形吗？如果有，请你把它们找出来。
A
B
C
D
E
F
练一练:
4、已知如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H
依次是AB、BC、CD、DA的中点，请添一个
条件，使四边形DFGH为菱形。
解：添加的条件是：
理由是：
E
F
G
A
B
C
D
H
练一练:
例2、求证：有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
A
B
C
D
1
2
已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC平分∠DAB
求证：四边形ABCD是菱形
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB∥CD
（平行四边形的定义）
∴ ∠2=∠ACD
（两直线平行，内错角相等）
∵ AC平分∠DAB
∴ ∠1=∠2
∴ ∠1=∠ACD
∴ AD=AC
（在一个三角形中，等角对等边）
∴ 四边形ABCD是菱形
（邻边相等的平行四边形是菱形）
1、如图，两张等宽的纸条交重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？
A
D
C
B
做一做
2、如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线与BC交于点E，∠ABC的平分线与AD交于点F，AE与BF相交于点O。
求证：四边形ABEF是菱形
A
B
E
C
D
F
1
2
3
4
做一做
A
B
C
D
F
E
B1
A1
C1
D1
3、将菱形ABCD沿AC方向平移至A1B1C1D1, A1D1交CD于点E, A1B1交BC于点F. 判断四边形A1FCE是不是菱形,并说明理由.
做一做
4、在直角坐标系中,点A,B,C,D的坐标依次为(-1,0), (x,y),(-1,5),(w,z).要使四边形ABCD为菱形,x,y,w,z的值必须满足什么条件
做一做
文字语言 图形语言 符号语言
判定法一
判定
法二
判定法三
全课小结——菱形的判定
A
B
C
D
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
∵□ABCD
AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
∵□ABCD
AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
A
B
C
D
四边相等的四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
一组邻边相等的平行四边形是菱形
DE,EF是△ABC的两条中位线,我们探究的问题是:这两条中位线和三角形的两条边所围成的四边形的形状与原三角形的形状有什么关系.建议按下列步骤探索:
(1)围成的四边形是否必定是平行四边形
(2)在什么条件下,围成的四边形是菱形
(3)在什么条件下,围成的四边形是矩形
(4)你还能发现其他什么结论吗
A
B
C
D
F
E(共28张PPT)
合作学习 1:拼平行四边形
请用四个全等的直角三角形拼成一个平行四边形。
1
2
3
4
5
6
7
观察以下由火柴棒摆成的图形:
议一议:(1)三个图形都是平行四边形吗
(2)与图1相比,图2与图3有什么共同特点
6.2菱形 (1)
平行四边形
菱形
一组邻边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
菱形具有工整,匀称,美观等许多优点,常被人们用在图案设计上.
图片欣赏
“法兰西巡逻兵”飞行表演队称得上是世界最著名、同时也是世界最古老的飞行特技小组之一，他们的飞行秉承法国文化中固有的优雅风范，编排巧妙，它的飞行表演也并不在意是否雷霆万钧气势迫人，而是专注于芭蕾般的优美与法国击剑一样的敏捷和灵活。
由于平行四边形的对边相等，
而菱形的邻边相等，故：
菱形的性质1：
菱形的四条边都相等。
A
B
D
C
菱形是特殊的平行四边形，
具有平行四边形的所有性质.
一、菱形的性质的研究
他是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角。
A
D
C
B
O
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=DA
∴ ∠DAC=∠BAC
∠DCA=∠BCA
又∵ AC = AC
∴ △ADC ≌ △ABC
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD,OD=OB
又∵ AO = AO
∴ △AOD ≌ △AOB
∴ ∠DOA=∠BOA
又∵ ∠DOA+∠BOA= 180°
∴ ∠DOA=∠BOA= 90°
已知:四边形ABCD是菱形
求证: ∠DAC=∠BAC
∠DCA=∠BCA
AC⊥BD
菱形的性质2：
证明：
相等的线段：
相等的角：
等腰三角形有：
直角三角形有：
全等三角形有：
已知四边形ABCD是菱形
AB=CD=AD=BC
OA=OC OB=OD
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
△ABC △ DBC △ACD △ABD
Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA
Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
A
B
C
D
O
1
2
3
4
5
6
7
8
【二、菱形的面积公式】
菱形是特殊的平行四边形,
那么能否利用平行四边形
面积公式计算菱形的面积吗
菱形
A
B
C
D
O
E
S菱形=BC. AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能 计算菱形的面积公式吗
ABCD=S△ABD+S△BCD= AC×BD
S菱形
面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
为什么
想一想 矩形、菱形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，对称轴各几条
矩形是轴对称图形，对称轴有两条。
菱形是轴对称图形，对称轴有两条。
菱形 边 对称性 角 对角线
性
质
面积
对边平行
四条边都相等
中心对称图形
轴对称图形
对角相等
对角线互相垂直
对角线互相平分
每一条对角线平分一组对角
2、 （a，b表示两条对角线的长度）
用列表形式小结出菱形的性质
归纳小结,提炼知识
1、底乘以高
三、运用新知
例1.在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O, ∠BAC=30°,BD=6.求菱形的边长和对角线AC的长.
A
B
C
D
O
解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CD(菱形的定义)
AC平分∠BAD(菱形的每条对角线平分一组对角)
∵∠BAC=30°
∴∠BAD=60°
又∵OB=OD=3(平行四边形的对角线互相平分)
AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)
由勾股定理,得AO=
AC=2AO=
∴ABD是等边三角形.
AB=BD=6
C
学以致用
1、如图，在一种可伸缩的衣帽架中，每个菱形的周长都为100厘米，固定在墙上的两点A、B之间的距离为25厘米，则∠ACB= .
A
B
C
2、在菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD，求菱形各角的度数及∠EAF的度数。
例1：如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠BAD＝1200。对角线AC、BD相交于点O，求这个菱形的对角线长和面积。。
解：∵ ∠BAD＝1200
∴∠BAC＝600
又∵ AB ＝B C
∴ △ BAC是等边三角形
∴ AC ＝ 4cm
∴B O ＝2√ 3
∴B D ＝ 4√ 3
＝ 8√ 3
菱形ABCD的周长为16，相邻两角的度数比为1：2．
例1变形
⑴求菱形ABCD的对角线的长；
⑵求菱形ABCD的面积．
D
O
A
C
B
例2、已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=1。
求（1）∠ABC的度数；
（2）对角线AC、BD的长；
（3）菱形ABCD的面积。
A
B
C
D
E
O
（2）已知：菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且 AC=12，BD=16，则菱形ABCD的面积为 ，边长为 ，周长为 。
（1）在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，则∠B= , △ABC是 三角形，∠ABD的度数为________ 。
等边
30 °
96
10
40
60 °
A
B
C
D
（3）在菱形ABCD中∠BAC=30°，BD=6㎝，则 ∠BAD= , ∠ABD= , AB= .
60 °
60 °
6㎝
1、已知,在菱形ABCD中,∠BAD= ,现将一块含 角的三角尺AMN(其中∠NAM= )叠放在菱形上,然后将三角尺绕点A旋转.在旋转过程中,设AM交边BC于点E,AN交边CD于点F,那么BE+DF与AB有着怎样的数量关系 请你通过动手操作、度量、猜想、验证等方法予以探索。
挑战自我
2.菱形ABCD中∠ABC=60°,AB=4cm,P为BD上任意一点,E为BC中点,求PE+PC的最小值.(共16张PPT)
已知三角形ABC，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，
剪剪拼拼
沿DE剪下来，得到两个图形，请用
这两个图形去拼，你能拼成一个这
样的特殊四边形？并说明理由。
在三角形ABC中，如果沿中位线DE剪下来，能拼成一个菱形。那么三角形ABC需要满足一个这样的条件？
1.如图在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.
（1）若AB=5cm,则菱形的周长是
_______cm
(2)如果AB=5cm,BD=6cm.求另一条对角线AC的长及菱形ABCD的面积。
（3）如果AB=6cm, ∠DAB=60°
求菱形ABCD的对角线AC、BD的长及面积。
20
1.如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由点A开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动，行走2008厘米后停下，则这只蚂蚁停在 点．
2.已知菱形ABCD的面积为24平方厘米，一条
对角线长为6cm,则菱形的周长=____cm.
20
A
3.如图，菱形ABCD的边AB=2,∠ABC=45°.则点D的坐标______.
4.菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB=4cm．
则菱形 ABCD的面积是 ，对角线的BD长是 ．
1.如图1，菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°
（1）如果点E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、 EF、FA, 求△AEF的面积。
图1
1.如图1，菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°
图1
（2）如图2，如果点E、F分别是BC、CD边上的动点，连接AE、EF、FA、AC.
图2
① 当动点E、F满足怎样的运动条件时⊿ABE≌⊿ACF。
② 根据①中条件，试判断⊿AEF的形状，并说明理由.
③ 在①中条件下设△AEF的面积为S，求S的取值范围.
2.有一种汽车用“千斤顶”，它由4根连杆组成菱形ABCD，当螺旋装置顺时针旋转时，B、D两点的距离变小，从而顶起汽车。若AB=30，螺旋装置每顺时针旋转1圈，BD的长就减少2。设BD=a，AC=h.
A
B
D
C
（2）从a=40开始，设螺旋装置顺时针方向旋转x圈，求h关于x的函数解析式；
（1）当a=40 时，求h 值；
2.有一种汽车用“千斤顶”，它由4根连杆组成菱形ABCD，当螺旋装置顺时针旋转时，B、D两点的距离变小，从而顶起汽车。若AB=30，螺旋装置每顺时针旋转1圈，BD的长就减少2。设BD=a，AC=h.
A
B
D
C
（3）从a=40开始，螺旋装置顺时针方向连续旋转2圈，设第1圈使“千斤顶”增高m，第2圈使“千斤顶”增高n，试判定m与n的大小，并说明理由。
3.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形ABCD是什么形状？说说你的理由。
F
E
1.如图，下列条件之一能使平行四边
形ABCD是菱形的为（ ）
①AC⊥BD, ②∠BAD=90°,③AB=BC, ④AC=BD
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
2.如图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线
交CD的延长线于E点，则下列式子不成立的是（ ）
DA=DE B. DB=CE
C. ∠EAC=90 ° D. ∠ABC=2∠E
3.如图，在三角形ABC中，AB＞AC，D、E分别是AB、AC上的点，△ ADE沿线段DE翻折，使点落在边BC上，记为M．若四边形ADME是菱形，则下列说法正确的是( )
A. 是DE△的中位线 B. AM是边BC上的中线
C. AM是边BC上的高 D. AM是△ABC的角平分线
4.如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想
5.如图，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接AF.
请你再添加一个条件（不再增添辅助线），
使四边形AFCD成为菱形，并说明理由.
菱形的性质 菱形的判定
一、菱形的认识
四边都相等
互相平分、垂直且
平分一组对角
中心对称、轴对称
四边相等的四边形
一组邻边相等的平行四边形
对角线互相垂直
的平行四边形
二、菱形的性质与判定
边
角
对角线
对称性
