(共22张PPT)
矩形有哪些性质？
O
A
B
C
D
(1)AB CD，AD BC
//
=
//
=
(2)∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90O
(3) OA=OB=OC=OD
（矩形的对角线相等且互相平分）
温故知新
矩形的判定：
定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
有一个角是直角的平行四边形叫是矩形
温故知新
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
已知:在Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠,
CD是斜边AB上的中线,
求证:CD=1/2AB
C
B
A
D
已知：在RtΔABC中，∠ACB=Rt∠,CD是斜边AB上的中线
求证：CD= AB
1
2
A
C
B
D
E
证明：延长CD到E，使DE=CD= CE，连接AE，BE。
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD=DB。
又∵CD=DE，
∴四边形AEBC是平行四边形
（_________________________________）
∴CE=AB（____________________________），
∴CD= AB。
1
2
∵ ∠ACB=Rt∠
∴四边形AEBC是矩形
（______________________________________）
对角线互相平分的四边形是平行四边形
有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形的对角线相等
请说出这个命题的逆命题，并证明；
一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形
A
B
C
已知：在ΔABC中，CD是边AB上的中线，且
求证： ΔABC是直角三角形
∵CD是边AB上的中线，
∴AD=DB
又∵CD=DE，
∴四边形AEBC是平行四边形
∴CE=AB
D
E
证明：延长CD到E，使DE=CD = CE，
连接AE，BE。
∴四边形AEBC是矩形
∴∠ACB=90°
（对角线相等的平行四边形是矩形）
∴△ABC是直角三角形
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD= AB。
1
2
C
B
A
D
几何语言：
一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形
推论：
几何语言：
在ΔABC中，CD是边AB上的中线，且
∴ΔABC是直角三角形
1、证明一条线段是另一条线段的1/2或2倍，常用的定理：
“三角形的中位线定理”和“直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半”
2、添辅助线的方法：延长短的使它等于原来的，再证相等；或在长的上截取一段使它等于短，再证中点。
（2）如图，一斜坡AB的中点为D，BC=1，CD=2，则斜坡的坡比为______
练一练
（1）在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC= BC=1，则AB边上的中线长为________
（3）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，∠BAE=30O，AE=2，则BD=________
练一练
（4）如图，在Rt△ABC中,中∠ACB=Rt∠,CD是斜边AB上的中线,已知∠DCA=250, ∠A= , ∠B= ;
C
B
A
D
250
650
（5）如图，已知BC=20m， ∠B=∠C=30°， E、G分别为AB，AC的中点，P为BC的中点，且EF⊥BC， GH⊥BC，垂足分别为F，H，求EF、PG的长；
A
P
C
B
F
G
H
E
练一练
（6）一张平行四边形纸片如图。现要求剪一刀，把它分成两部分，然后做适当的图形变换，把剪开的两部分拼成一个矩形，说明你的剪法和所采用的变换。
A
D
C
B
练一练
例、求证：在直角三角形中，300角所对直角边等于斜边的一半。
已知：在RtΔABC中，∠ACB=Rt∠, ∠A= 30°
A
B
C
求证：BC= AB
1
2
D
证明其逆命题
在直角三角形中，等于斜边一半的直角边所对的角等于30°
A
B
C
已知：在RtΔABC中，∠ACB=Rt∠,
BC= AB
1
2
求证：∠A= 30°
D
说明：上面两个性质只能局限于填空和选择题
例1、已知：如图，△ABC中，BD，CE是高，G、F分别是BC，DE的中点。试判断FG与DE的位置关系，并加以证明。
变式：已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC= ∠ADC=Rt∠，M是AC的中点，N是BD的中点。试判断MN与BD的位置关系，并加以证明。
例2、已知：如图，AB与直线 相交于一点，过点A，B作 于C， 于D，M为AB的中点，连结MC，MD。 求证：MC=MD
E
做一做
1、如图Ｒt⊿ABC中，∠ＡＣＢ＝９０°，点Ｄ，Ｆ分别是ＡＣ，ＢＣ边上的中点，点Ｅ是ＡＢ边上的中点，如果ＣＥ＝３，则ＤＦ＝＿＿＿
∵点Ｅ是ＡＢ边上的中点，∠ＡＣＢ＝９０°
∴ＣＥ是Ｒt⊿ABC的斜边的中线
∴ＡＢ＝２ＣＥ＝２×３＝６
（＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半）
∵点Ｄ，Ｆ分别是ＡＣ，ＢＣ边上的中点，
∴DF是三角形ＡＢＣ的中位线
∴
(三角形的中位线等于第三边的一半）
2、 如图：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的中线，已知∠DCA=200，则∠ A ＝＿＿，∠B＝____。
B
C
A
D
20°
70°
∵CD是斜边AB上的中线
∴CD=AD=BD= AB
(直角三角形的斜边中线等于斜边的一半）
∴∠Ａ＝∠ＤＣＡ＝２０°
∴∠Ｂ＝９０°－ ∠Ａ＝ ９０°－２０°＝７０°
（直角三角形两锐角互余）
3、在矩形ABCD中，E是BC上一点，已知AE=AD,DF垂直与AE于点F,求证：CE=FE
D
C
A
F
E
B
4、以 ABC的三边在BC 的同侧分别作三个等边三角形，即 ABC, BCE, ACF,请回答下列问题：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当 ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
F
E
D
C
B
A
证明一条线段是另一条线段的1/2或2倍，
（１）常用的定理：
（2）添辅助线的方法：
“三角形的中位线定理”和“直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半”
延长短的一倍，再证它与长的线段相等；或在长的上截取中点,再证中点取得的一半等于短的，(共18张PPT)
6.1 矩形(2)
回顾：矩形有哪些性质？
O
A
B
C
D
(1)AB CD，AD BC
//
=
//
=
(2)∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90O
(3) OA=OB=OC=OD
（矩形的对角线相等且互相平分）
木工师傅
(1)测量两组对边,发现两组对边分别相等;
(2)将直角尺靠紧窗框的一个角,测得这是直角.
由此说明这个窗框是矩形
你知道这是为什么吗
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形定义判定：
2、要判定一个四边形是矩形只要说明几个角是直角？为什么？
A
B
C
D
矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言：
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形
1、命题“矩形的四个角都是直角”的逆命题是什么？
合作学习
请大家自己进行证明
逆命题：四个角都是直角的四边形是矩形。
真命题
测量两组对边,发现两组对边分别相等;
测量对角线，发现两条对角线相等.
由此说明这个窗框是矩形
你知道这是为什么吗 （用所学的知识去证明）
A
B
C
D
已知：
如图，在□ABCD中，AC=BD
求证：
□ABCD是矩形
想一想
你觉得矩形还有其它判定方法吗？
证法一
A
B
C
D
证明：
在□ABCD中，AB=CD
又∵AC=BD，BC=CB
∴⊿ABC≌⊿DCB
∴∠ABC=∠DCB
又∵∠ABC+∠DCB=180°
∴∠ABC=∠DCB=90°
∴□ABCD是矩形
已知：
如图，在□ABCD中，AC=BD
求证：
□ABCD是矩形
A
B
C
D
O
在□ABCD中，AO=OC，BO=DO，
证明：
又∵AC=BD
∴AO=BO=CO
∴∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB
∵∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB=180°
∴∠OBA+∠OBC=90°即∠ABC=90°
∴□ABCD是矩形
证法二
已知：
如图，在□ABCD中，AC=BD
求证：
□ABCD是矩形
A
B
C
D
矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形；
几何语言：
∵AC=BD
∴□ ABCD是矩形
矩形有几种判定方法？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（定义）
有三个角是直角的四边形是矩形（矩形的判定定理1）
对角线相等的平行四边形是矩形（矩形的判定定理2）
四边形
平行四边形
矩形
有一个角是直角
对角线相等
有三个角是直角
方法总结：
1、判断下命题是否正确，并说明理由。
（1）对角互补的平行四边形是矩形。
（2）一组邻角相等的平行四边形是矩形。
（3）对角线相等的四边形是矩形。
（4）内角都相等的四边形是矩形。
练一练
2、如图，AC，BD是矩形ABCD的两条对角线，AE=CG=BF=DH.
求证：四边形EFGH是矩形
A
B
C
D
E
F
G
H
O
证明：
在矩形ABCD中， AC=BD ，
AO=CO=BO=DO
∵AE=CG=BF=DH
∴ OE=OG=OF=OH, EG=FH
∴四边形EFGH是平行四边形
∴四边形EFGH是矩形
练一练
例1、已知：如图，AC与BD相交于点O，AB CD 且∠1=∠2 。 求证：四边形ABCD是矩形
［问题］一张四边形纸板ＡＢＣＤ形状如图，
（１）若要从这张纸板中剪出一个平行四边形，并且使它的四个顶点分别落在四边形ＡＢＣＤ的四条边上，可怎样剪？
Ｅ
Ｆ
Ｇ
Ｈ
⑵四边形ＡＢＣＤ满足什么情况下中点四边形ＥＦＧＨ为矩形？并说明理由．
解：分别取ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ的中点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，可剪得中点四边形ＥＦＧＨ为平行四边形．
两条对角线互相垂直，ＡＣ⊥ＢＤ
例2、一张四边形的纸板ABCD的形状如图（1），它的两条对角线互相垂直。如果要从这张纸板中剪出一个矩形，并且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可以怎么剪？
(
2
)
(
1
)
O
O
D
B
C
A
A
C
B
D
G
F
H
E
解：
Ｅ
Ｆ
Ｇ
Ｈ
理由如下：
∵ＧＨ是⊿ＡＣＤ的中位线
∴ＧＨ∥ＡＣ
１
２
３
∵ＡＣ⊥ＢＤ
∴∠１＝９０°
（三角形的中位线平行于第三边
且等于第三边的一半）
∴∠２＝∠１＝９０°
∵ＥＨ是⊿ＡＢＤ的中位线
∴ＥＨ∥ＢＤ
∴∠３＝∠２＝９０°，
４
５
（三角形的中位线平行于第三边）
同理可得：∠４＝９０°， ∠５＝９０°
∴四边形ＥＦＧＨ是矩形．
（三个角是直角的四边形是矩形）
做一做
1、已知：如图，Rt△ABC≌Rt△CDA，且AD的对应边是CB，∠B=∠D=Rt∠； 求证：四边形ABCD是矩形。
A
D
C
B
2.已知：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA的中点； 求证：四边形MNPQ是矩形。
A
Q
P
N
M
D
C
B
做一做
3、在直角坐标系中有点A（a，b），B（a，c），C（-a，-b），D（-a，-c）（a≠0，b≠c）。若要使四边形ABCD是矩形，b，c应满足什么条件？说明你的理由。
做一做
