2020-2021学年浙教新版九年级上册数学《第4章 相似三角形》单元测试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年浙教新版九年级上册数学《第4章
相似三角形》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝6，DE＝2，则DF的值为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．若△ABC∽△DEF，相似比为2：1，则△ABC与△DEF的周长的比为（　　）
A．2：1
B．4：1
C．1：2
D．1：4
3．如图（　　）图形是将已知图形按2：1放大后得到的图形．
A．A
B．B
C．C
D．D
4．已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则线段AP的长为（　　）
A．
+1
B．﹣1
C．
D．
5．已知线段a、b、c，求作第四比例线段x，则以下正确的作图是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝3.5m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为（　　）
A．1.2m
B．1.3m
C．1.4m
D．1.5m
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（　　）
A．∠ACD＝∠B
B．CD2＝AD?BD
C．AC?BC＝AB?CD
D．BC2＝AD?AB
8．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，连接EF，若矩形ABFE与矩形ABCD相似，AB＝1，则矩形ABCD的面积为（　　）
A．1
B．
C．
D．2
9．如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的周长之比为1：2，点C的坐标为（﹣2，0），若点A的坐标为（﹣4，3），则点E的坐标为（　　）
A．（，﹣6）
B．（4，﹣6）
C．（2，﹣6）
D．
10．如图，E是矩形ABCD中AD边的中点，BE交AC于点F，△AEF的面积为2，则四边CDEF的面积为（　　）
A．6
B．8
C．10
D．12
二．填空题（共10小题）
11．如图：已知AD∥BE∥CF，且AB＝4，BC＝5，EF＝4，则DE＝　
　．
12．两个相似三角形周长之比为2：3，面积之差为10cm2，则它们的面积之和为　
　cm2．
13．已知2x＝5y，那么的值为　
　．
14．如图所示，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为　
　．
15．如图，△ABC为一块铁板余料，BC＝10cm，高AD＝10cm，要用这块余料裁出一个矩形PQMN，使矩形的顶点P，N分别在边AB，AC上，顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为　
　cm2．
16．如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点的连线交于一点，那么这两个三角形叫做位似三角形，这个点叫做位似中心．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB＝4．则A1B1的长为　
　．
17．若线段AB＝6厘米，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则线段AC＝　
　厘米．
18．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，剪去一个矩形AEFD后，余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，则CF的长为　
　．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（2，6），B（4，2），C（6，2）．
（1）在第一象限内，以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△DEF，请画出△DEF．
（2）在（1）的条件下，点A的对应点D的坐标为　
　，点B的对应点E的坐标为　
　．
20．如图，△ABC的顶点在1×3的正方形网格的格点上，在图中画出一个与△ABC相似但不全等的△DEF（△DEF的顶点在格点上），则△DEF的三边长分别是　
　．
三．解答题（共7小题）
21．两个相似多边形的最长边分别为4cm和6cm，它们的周长之和为40cm，面积之差为15cm2，求较小多边形的周长与面积．
22．已知＝＝≠0，求的值．
23．如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于F，求证：F是DE的中点．
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E是AB上动点，以DE为直径的圆交对角线AC于F，EG⊥AC垂足为G．
（1）求证：△EFD∽△EGA；
（2）求FG的长；
（3）直接写出DF+DG的最小值为　
　．
25．△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示．
（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C1，使其位似比为1：2．且△A1B1C1位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．
（2）作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C2．
26．E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．选择图中任意一对相似三角形证明．
27．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，求它的内接正方形CDEF的边长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，即＝，
解得，EF＝4，
则DF＝DE+EF＝6，
故选：D．
2．解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2：1，
∴△ABC与△DEF的周长的比为2：1，
故选：A．
3．解：原图占2×3格，则放大2倍后图形应该占4×6格，
故选：D．
4．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
∴AP＝×AB＝×2＝﹣1，
故选：B．
5．解：∵线段x为线段a、b、c的第四比例线段，
∴＝，
∴正确的作图是B；
故选：B．
6．解：由题意可得：FC∥DE，
则△BFC∽BED，
故＝，
即＝，
解得：BC＝3，
则AB＝5.4﹣3＝2.4（m），
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC＝∠GBA，
又∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴＝，
∴＝，
解得：AG＝1.2（m），
故选：A．
7．解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，A正确，不符合题意；
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴CD2＝AD?BD，B正确，不符合题意；
由三角形的面积公式得，
?AC?BC＝AB?CD，
∴AC?BC＝AB?CD，C正确，不符合题意；
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴BC2＝BD?AB，D错误，符合题意；
故选：D．
8．解：设AE＝x，则AD＝2AE＝2x，
∵矩形ABFE与矩形ABCD相似，
∴，即，
解得，x＝，
∴AD＝2x＝，
∴矩形ABCD的面积为AB?AD＝1×＝，
故选：C．
9．解：∵△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，
而△ABC和△EDC的周长之比为1：2，
∴△ABC和△EDC的位似比为1：2，
把C点向右平移2个单位到原点，则A点向右平移2个单位的对应点的坐标为（﹣2，3），
点（﹣2，3）以原点为位似中心的对应点的坐标为（4，﹣6），
把点（4，﹣6）向左平移2个单位得到（2，﹣6），
∴E点坐标为（2，﹣6）．
故选：C．
10．解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，BC＝AD，AB＝CD，∠ABC＝∠D＝90°，
∴S△ABC＝S△ADC，
∵E是矩形ABCD中AD边的中点，
∴BC＝AD＝2AE，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
∴S△CBF＝4S△AEF＝8，
∴S△ABF＝S△CBF＝4，
∴S△ABC＝S△ADC＝S△CBF+S△ABF＝12，
∴四边CDEF的面积为：S△ADC﹣S△AEF＝12﹣2＝10，
故选：C．
二．填空题（共10小题）
11．解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，即＝，
解得，DE＝，
故答案为：．
12．解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比为：4：9，
设此两个三角形的面积分别为4xcm2，9xcm2，
∵它们的面积之差为10cm2，
∴9x﹣4x＝10，
解得：x＝2，
∴它们的面积之和是：9x+4x＝13x＝26（cm2）．
故答案为：26．
13．解：∵2x＝5y，
∴设x＝5a，则y＝2a，
那么＝＝；
故答案为：．
14．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，
∴S△ADE＝S四边形DBCE，
∴＝2，
∴＝，
故答案为：．
15．解：设QM＝xcm，则PN＝xcm，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴＝，
即＝，
则AE＝x，
故DE＝10﹣x，
则矩形PQMN面积为：x（10﹣x）＝﹣x2+10x＝﹣（x﹣5）2+25，
∴矩形PQMN面积的最大值为25cm2．
故答案为：25．
16．解：∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，
∴OC1：OC＝OA1：OA＝1：2，A1B1∥AB，
∴OA1：OA＝A1B1：AB＝1：2，
∴A1B1＝AB＝×4＝2．
故答案为2．
17．解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），
∴AC＝AB，
∵AB＝6厘米，
∴AC＝（3﹣3）厘米；
故答案为：（3﹣3）．
18．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，AB＝DC＝4，
∵四边形EFBC是矩形，
∴EF＝BC＝2，CF＝BE，
∵余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，
∴，
即，
∴CF＝1，
故答案为：1．
19．解：（1）如图所示：△DEF，即为所求；
（2）由（1）得：点A的对应点D的坐标为：（1，3），点B的对应点E的坐标为：（2，1）．
故答案为：（1，3），（2，1）．
20．解：如图所示：△ABC∽△DEF，
DE＝，ED＝2，EF＝．
故答案为：，2，．
三．解答题（共7小题）
21．解：设较小多边形的周长为xcm，面积为ycm2，则较大多边形的周长为（40﹣x）cm，面积为（y+15）cm2，
∵两个相似多边形的最长边分别为4cm和6cm，
∴两个相似多边形的相似比为2：3，
∴两个相似多边形的周长比为2：3，面积比为4：9，
∴＝，＝，
解得，x＝16，y＝12，
经检验，x＝16，y＝12都是原方程的解，
答：较小多边形的周长为16cm，面积为12cm2．
22．解：设＝＝＝k≠0，则a＝2k，b＝3k，c＝5k，
则＝＝．
23．证明：∵D是△ABC的边AB的中点，
∴AD＝DB，
∵DE∥BC，
∴＝＝1，
∴AF＝FC，
∵CE∥AB，
∴＝＝1，
∴DF＝EF，即F是DE的中点．
24．解：（1）∵以DE为直径的圆交对角线AC于F，
∴∠EAG＝∠EDF，∠EFD＝90°，
∵EG⊥AC垂足为G，
∴∠EGA＝90°＝∠EFD，
∴△EFD∽△EGA；
（2）∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，
∴∠EAD＝90°＝∠EFD，
∴tan∠EAG＝＝＝，
∴∠EAG＝30°，
∴在三角形EGA中，sin∠EAG＝＝，
∵∠EGF＝∠EAD＝90°，
∵DE为圆的直径，
∴∠GFE＝∠ADE，
∴△EGF∽△EAD，
∴＝＝，
∵DA＝BC＝4，
∴FG＝2；
（3）过点G作GM⊥AD于点M，如下图所示：
设AE＝2x，
∵∠EAG＝30°，
∴∠GAM＝60°，
∴EG＝x，GA＝x，
∴在直角三角形GAM中，AM＝x，GM＝x，
∵AD＝BC＝4，
∴MD＝4﹣x，
∴在直角三角形GMD中，GD2＝GM2+MD2，
∴GD2＝x2+16+x2﹣4x＝3x2﹣4x+16，
∵在直角三角形AED中，直径ED＝，
∵在直角三角形EFD中，∠EDF＝∠EAG＝30°，
∴DF＝×ED，
∴DF2＝3x2+12，
∵当DF＝DG时，DF+DG取最小值，
∴3x2﹣4x+16＝3x2+12，
∴x＝，
∴DF＝，DG＝，
∴DF+DG取最小值为2．
故答案为：2．
25．解：（1）如图，△A1B1C1所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；
（2）如图，△A2B2C2为所作．
26．解：△ADF∽△ECF；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥CE，
∴△ADF∽△ECF．
27．解：∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝ED，DE∥CF，
设ED＝x，则CD＝x，AD＝5﹣x，
∵DE∥CF，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴正方形CDEF的边长为．